線形部分空間

数学、特に線型代数学において、線型部分空間またはベクトル部分空間^{[1] [注 1]とは、あるより大きなベクトル空間の}部分集合であるベクトル空間である。線型部分空間は、文脈上他の種類の部分空間と区別する必要がある場合、通常単に部分空間と呼ばれる。

意味

Vが体 K上のベクトル空間である場合、 Vの部分集合WがVの線型部分空間であるとは、それがVの演算に対してK上のベクトル空間となることである。同様に、 Vの線型部分空間とは、w ₁、w ₂がWの元であり、α、βがKの元であるとき、 αw ₁ + βw ₂がWに含まれるような空でない部分集合Wのことである。^{[2] [3] [4] [5] [6]}

零ベクトルのみからなる単集合とベクトル空間全体は線型部分空間であり、ベクトル空間の自明部分空間と呼ばれる。 ^[7]

例

例I

ベクトル空間V = R ³ (実数体R上の実座標空間) において、最後の要素が 0 であるV内のすべてのベクトルの集合をWとします。このとき、 WはVの部分空間です。

証拠：

1. Wのuとvが与えられている場合、これらはu = ( u ₁ , u ₂ , 0)、v = ( v ₁ , v ₂ , 0)と表すことができます。すると、u + v = ( u ₁ + v ₁ , u ₂ + v ₂ , 0+0) = ( u ₁ + v ₁ , u ₂ + v ₂ , 0)となります。したがって、u + vもWの元となります。
2. WのuとRのスカラーcが与えられ、u = ( u ₁ , u ₂ , 0)とすると、c u = ( cu ₁ , cu ₂ , c 0) = ( cu ₁ , cu ₂ ,0) となる。したがって、c uもWの元である。

例II

再び体Rとし、ベクトル空間Vを直交平面 R ²とする。WをR ^{2の点 (} x , y ) の集合でx = yを満たすものとすれば、 WはR ²の部分空間となる 。

証拠：

1. p = ( p ₁ , p ₂ ) 、 q = ( q ₁ , q ₂ )をWの元、つまり平面上の点でp ₁ = p ₂かつq ₁ = q ₂とします。するとp + q = ( p ₁ + q ₁ , p ₂ + q ₂ )と_なります。p 1 = p ₂かつq ₁ = q ₂なので、p ₁ + q ₁ = p ₂ + q ₂となり、p + qはWの元となります。
2. p = ( p ₁ , p ₂ )をWの元、つまりp ₁ = p ₂となる平面上の点とし、c をRのスカラーとします。するとc p = ( cp ₁ , cp ₂ )となります。p 1 = p ₂なのでcp ₁ = cp ₂となり、c p_はWの元となります。

一般に、同次線形方程式系によって定義される実座標空間R ⁿの任意の部分集合は部分空間を生成します。（例 I の方程式はz  = 0 であり、例 II の方程式はx  =  yでした。）

例3

再び体Rをとり、ベクトル空間VをRからRへのすべての関数の集合R ^Rとする。C( R ) を連続関数からなる部分集合とする。すると C( R ) はR ^Rの部分空間となる。

証拠：

1. 微積分から0∈C( R ) ⊂RR^であることがわかります。
2. 微積分から、連続関数の和は連続であることがわかっています。
3. 繰り返しますが、微積分から、連続関数と数値の積は連続であることがわかります。

例IV

体とベクトル空間は前と同じままですが、今度はすべての微分可能関数の集合 Diff( R ) を考えます。前と同じ議論から、これも部分空間であることが示されます。

これらのテーマを拡張する例は、関数解析ではよく見られます。

部分空間の性質

ベクトル空間の定義から、部分空間は空ではなく、和とスカラー倍について閉じていることがわかる。 ^[8]同様に、部分空間は線型結合について閉じているという性質によって特徴付けられる。つまり、空でない集合Wが部分空間であるための必要十分条件は、 Wの有限個の元のすべての線型結合がWにも属することである。同値の定義は、一度に2つの元の線型結合を考えることも同値である、と述べている。

位相ベクトル空間 Xにおいて、部分空間Wは位相的に閉じている必要はないが、有限次元部分空間は常に閉じている。^[9]有限次元の部分空間（すなわち、有限個の連続線型関数によって決定される部分空間）についても同様である。

説明

部分空間の記述には、同次線型方程式系の解集合、同次線型媒介変数方程式系によって記述されるユークリッド空間の部分集合、ベクトル集合のスパン、行列の零空間、列空間、行空間などが含まれる。幾何学的には（特に実数体およびその部分体上では）、部分空間とは原点を通る n空間内の平坦な空間である。

1 次元部分空間の自然な記述は、1 つの非ゼロベクトルvをすべての可能なスカラー値にスカラー乗算することです。2 つのベクトルによって指定される 1 次元部分空間は、1 つのベクトルが別のベクトルからスカラー乗算によって得られる場合にのみ等しくなります。

${\displaystyle \exists c\in K:\mathbf {v} '=c\mathbf {v} {\text{ (or }}\mathbf {v} ={\frac {1}{c}}\mathbf {v} '{\text{)}}}$

この考え方は線形スパンを持つ高次元に一般化されますが、kベクトルのセットによって指定されるk空間の等価性の基準はそれほど単純ではありません。

線型関数（通常は線型方程式として実装される）は、双対記述を提供する。1つの非零線型関数F は、その核部分空間F = 0 を余次元 1 で指定する。2つの線型関数によって指定される余次元 1 の部分空間は、一方の関数がもう一方の関数からスカラー乗算によって得られる場合（双対空間）  に限り、等しい。

${\displaystyle \exists c\in K:\mathbf {F} '=c\mathbf {F} {\text{ (or }}\mathbf {F} ={\frac {1}{c}}\mathbf {F} '{\text{)}}}$

これは、方程式系を用いて高次元に一般化されます。以下の2つのサブセクションでは、後者の記述を詳細に示し、残りの4つのサブセクションでは、線形スパンの概念についてさらに詳しく説明します。

線形方程式のシステム

n変数の同次線形方程式の解集合は、座標空間K ⁿの部分空間である。 $${\displaystyle \left\{\left[\!\!{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\!\!\right]\in K^{n}:{\begin{alignedat}{6}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=0&\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=0&\\&&&&&&&&&&\vdots \quad &\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=0&\end{alignedat}}\right\}.}$$

例えば、方程式を満たす すべてのベクトル( x , y , z )（実数または有理数）の集合は 、1次元部分空間です。より一般的には、n個の独立した関数の集合が与えられた場合、 K ^kにおける部分空間の次元は、 n個の関数の合成行列であるAの零集合の次元になります。 $${\displaystyle x+3y+2z=0\quad {\text{and}}\quad 2x-4y+5z=0}$$

行列の零空間

有限次元空間では、同次線形方程式系は単一の行列方程式として表すことができます。

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} .}$

この方程式の解の集合は行列の零空間として知られている。例えば、上で述べた部分空間は行列の零空間である。

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&-4&5\end{bmatrix}}.}$

K ⁿのすべての部分空間は、何らかの行列のヌル空間として記述できます (詳細については、以下の § アルゴリズムを参照してください)。

線形媒介変数方程式

同次線形媒介変数方程式のシステムによって記述されるK ⁿの部分集合は部分空間である。

${\displaystyle \left\{\left[\!\!{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\!\!\right]\in K^{n}:{\begin{alignedat}{7}x_{1}&&\;=\;&&a_{11}t_{1}&&\;+\;&&a_{12}t_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1m}t_{m}&\\x_{2}&&\;=\;&&a_{21}t_{1}&&\;+\;&&a_{22}t_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2m}t_{m}&\\&&\vdots \;\;&&&&&&&&&&&\\x_{n}&&\;=\;&&a_{n1}t_{1}&&\;+\;&&a_{n2}t_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{nm}t_{m}&\\\end{alignedat}}{\text{ for some }}t_{1},\ldots ,t_{m}\in K\right\}.}$

例えば、方程式によってパラメータ化された すべてのベクトル（ x、  y、  z ）の集合

${\displaystyle x=2t_{1}+3t_{2},\;\;\;\;y=5t_{1}-4t_{2},\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;z=-t_{1}+2t_{2}}$

Kが数体（実数や有理数など）である場合、K ³の2次元部分空間となる。 ^{[注 2]}

ベクトルの範囲

線形代数では、媒介変数方程式のシステムは単一のベクトル方程式として表すことができます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}\;=\;t_{1}\!{\begin{bmatrix}2\\5\\-1\end{bmatrix}}+t_{2}\!{\begin{bmatrix}3\\-4\\2\end{bmatrix}}.}$

右辺の式は、ベクトル (2, 5, −1) とベクトル (3, −4, 2) の線形結合と呼ばれます。これらの2つのベクトルは、結果として得られる部分空間を張ると言われています。

一般に、ベクトルv ₁、  v ₂、...、  v _kの線形結合は、次の形式のベクトルである。

${\displaystyle t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}.}$

すべての可能な線形結合の集合は、範囲と呼ばれます。

${\displaystyle {\text{Span}}\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}\}=\left\{t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}:t_{1},\ldots ,t_{k}\in K\right\}.}$

ベクトルv ₁ , ... ,  v _{k が}n個の要素を持つ場合、それらのベクトルの張力はK ⁿの部分空間となります。幾何学的には、張力はn次元空間において点v ₁ , ... ,  v _kによって決定される原点を通る平面です。

例

R ³の xz 平面は次式でパラメータ化できる 。

${\displaystyle x=t_{1},\;\;\;y=0,\;\;\;z=t_{2}.}$

部分空間として、xz平面はベクトル(1, 0, 0)と(0, 0, 1)によって張られます。xz平面上のすべてのベクトルは、次の2つのベクトルの線形結合として表すことができます。

${\displaystyle (t_{1},0,t_{2})=t_{1}(1,0,0)+t_{2}(0,0,1){\text{.}}}$

幾何学的には、これは、 xz平面上のすべての点に、最初に (1, 0, 0) の方向にある程度移動し、次に (0, 0, 1) の方向にある程度移動することで原点から到達できるという事実に対応します。

列空間と行空間

有限次元空間における線形媒介変数方程式のシステムは、単一の行列方程式として表すこともできます。

${\displaystyle \mathbf {x} =A\mathbf {t} \;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;A=\left[{\begin{alignedat}{2}2&&3&\\5&&\;\;-4&\\-1&&2&\end{alignedat}}\,\right]{\text{.}}}$

この場合、部分空間はベクトルxのすべての可能な値から構成されます。線形代数では、この部分空間は行列Aの列空間（または像）として知られています。これはまさに、 Aの列ベクトルによって張られるK ⁿの部分空間です。

行列の行空間は、その行ベクトルが張る部分空間です。行空間は零空間の 直交補空間であるため興味深いものです（下記参照）。

独立性、基盤、次元

ベクトルuとv は、 R ³のこの 2 次元部分空間の基底です。

一般に、k 個のパラメータによって決定される（またはk個のベクトルによって張られる）K ⁿの部分空間はk次元を持ちます。ただし、この規則には例外があります。例えば、3つの^ベクトル( 1, 0, 0)、(0, 0, 1)、(2, 0, 3) によって張られる K 3 の部分空間はxz平面であり、平面上の各点はt ₁、t ₂、t ₃の無限に異なる値によって記述されます。

一般に、ベクトルv ₁ , ... ,  v _kは、次の場合 、線形独立であるといわれる。

${\displaystyle t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}\;\neq \;u_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +u_{k}\mathbf {v} _{k}}$

( t ₁ ,  t ₂ , ... ,  t _k ) ≠ ( u ₁ ,  u ₂ , ... ,  uk ) の場合。^{[注 3]} _v 1 _, ..., v _kが線形独立であれ ば、その範囲内のベクトルの座標t ₁ , ..., t _kは一意に決定されます。

部分空間Sの基底は、その範囲がSである線型独立なベクトルの集合である。基底の要素数は常に部分空間の幾何学的次元に等しい。部分空間の任意の張集合は、冗長なベクトルを削除することで基底に変換できる（詳細は後述の § アルゴリズム を参照）。

例

SをR ⁴の部分空間とし、次の式で定義される。

${\displaystyle x_{1}=2x_{2}\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;x_{3}=5x_{4}.}$

このとき、ベクトル (2, 1, 0, 0) と (0, 0, 5, 1) はSの基底となる。特に、上記の式を満たすすべてのベクトルは、2つの基底ベクトルの線形結合として一意に表すことができる。

${\displaystyle (2t_{1},t_{1},5t_{2},t_{2})=t_{1}(2,1,0,0)+t_{2}(0,0,5,1).}$

部分空間Sは2次元である。幾何学的には、R ⁴上の点(0, 0, 0, 0)、(2, 1, 0, 0)、(0, 0, 5, 1)を通る平面である。

部分空間上の演算と関係

インクルージョン

集合論的包含二項関係は、すべての部分空間（任意の次元）の集合上の 半順序を指定します。

部分空間は、それより次元の低い部分空間には属さない。 有限数dim U  =  kかつU  ⊂  Wとすれば、 dim  W  =  kはU  =  Wのときのみ成立する。

交差点

R ³では、2つの異なる2次元部分空間の交差は1次元である。

ベクトル空間Vの部分空間UとWが与えられている場合、それらの交差U  ∩  W  := { v  ∈  V  : vはUと W の両方の要素である} もVの部分空間となる。^[10]

証拠：

1. vとw をU  ∩  Wの要素とします。すると、vとw はUとW の両方に属します。U は部分空間なので、 v +  w はUに属します。同様に、Wは部分空間なので、v  +  wはWに属します。したがって、v  +  wはU  ∩  Wに属します。
2. v をU  ∩  Wに所属させ、c をスカラーとします。すると、v はUとW の両方に所属します。UとW は部分空間なので、c v はUと W の両方に所属します。
3. UとWはベクトル空間なので、 0 は両方の集合に属します。したがって、0 はU  ∩  Wに属します。

任意のベクトル空間Vに対して、集合 {0}とV自身はVの部分空間である。^{[11] [12]}

和

UとWが部分空間である場合、それらの和は部分空間^{[13] [14]となる。} $${\displaystyle U+W=\left\{\mathbf {u} +\mathbf {w} \colon \mathbf {u} \in U,\mathbf {w} \in W\right\}.}$$

例えば、2本の直線の和は、その2本を含む平面である。その和の次元は不等式を満たす。 $${\displaystyle \max(\dim U,\dim W)\leq \dim(U+W)\leq \dim(U)+\dim(W).}$$

ここで、最小値は一方の部分空間が他方の部分空間に含まれる場合にのみ生じ、最大値は最も一般的な場合である。交差の次元と和は次の式で関係付けられる。^[15] $${\displaystyle \dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W).}$$

部分空間の集合が独立であるのは、任意の部分空間の組の唯一の交わりが自明な部分空間である場合である。直和は独立部分空間の和であり、 と表記される。同等の言い換えは、直和は、すべての部分空間が和の張力に寄与するという条件の下での部分空間和である、ということである。^{[16] [17] [18] [19]}${\displaystyle U\oplus W}$

直和の次元は部分空間の和と同じだが、自明な部分空間の次元はゼロなので短縮されることがある。^[20]${\displaystyle U\oplus W}$

$${\displaystyle \dim(U\oplus W)=\dim(U)+\dim(W)}$$

部分空間の格子

交差と和の演算により、すべての部分空間の集合が有界モジュラー格子になります。ここで、{0} 部分空間(最小要素)は和演算の単位元であり、同一の部分空間V (最大要素) は交差演算の単位元です。

直交補集合

が内積空間でが の部分集合である場合、の直交補集合は再び部分空間となる。^[21]が有限次元で が部分空間である場合、 と の次元は補関係 を満たす。^[22] さらに、どのベクトルもそれ自身に直交しないため、 とはとの直和である。 [23 ^]直交補集合を 2 回適用すると、すべての部分空間 に対して 、元の部分空間が返される。^[24]${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N^{\perp }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N^{\perp }}$ ${\displaystyle \dim(N)+\dim(N^{\perp })=\dim(V)}$ ${\displaystyle N\cap N^{\perp }=\{0\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N^{\perp }}$ ${\displaystyle (N^{\perp })^{\perp }=N}$ ${\displaystyle N}$

この演算は否定（）として理解され、部分空間の格子を（おそらく無限の）直交補格子（ただし分配格子ではない）にする。^[要出典]${\displaystyle \neg }$

他の双線型形式 を持つ空間においても、これらの結果の一部は成立するが、全てが成立するわけではない。例えば、擬ユークリッド空間やシンプレクティックベクトル空間には、直交補空間が存在する。しかし、これらの空間には、自身に直交する零ベクトルが存在する場合があり、その結果、 となる部分空間が存在する。結果として、この操作によって部分空間の格子がブール代数（あるいはヘイティング代数）に変換されることはない。 ^[要出典]${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N\cap N^{\perp }\neq \{0\}}$

アルゴリズム

部分空間を扱うアルゴリズムのほとんどは、行簡約化を伴います。これは、行列に基本的な行演算を適用し、行階段形または簡約行階段形に達するまで処理するプロセスです。行簡約化には、以下の重要な特性があります。

1. 縮小された行列には元の行列と同じヌル空間があります。
2. 行削減では行ベクトルの範囲は変更されません。つまり、削減された行列の行空間は元の行列と同じになります。
3. 行削減は列ベクトルの線形依存性には影響しません。

行空間の基準

m  ×  n行列Aを入力します。

Aの行空間の基底を出力します。

1. 基本的な行演算を使用して、A を階段状形式にします。
2. 階段形式の非ゼロ行は、 Aの行空間の基底です。

例については、行スペースに関する記事を参照してください。

代わりに行列Aを縮約階段形にすると、結果として得られる行空間の基底は一意に決定されます。これにより、2つの行空間が等しいかどうか、ひいてはK ⁿの2つの部分空間が等しいかどうかを判定するアルゴリズムが得られます。

サブスペースメンバーシップ

K ⁿのサブスペースSの基底 { b ₁ , b ₂ , ..., b _k } と、 n個の要素を持つベクトルvを入力します。

出力vがSの要素であるかどうかを判定する

1. 各行にベクトルb ₁、...、  b _k、vが含まれる( k  + 1) ×  n行列Aを作成します。
2. 基本的な行演算を使用して、A を階段状形式にします。
3. 階段形式にゼロの行がある場合、ベクトル{ b ₁、...、b _k、v }は線形従属であるため、v ∈ Sとなります。

列スペースの基礎

入力m  ×  n行列A​

Aの列空間の基底を出力する

1. 基本的な行演算を使用して、A を階段状形式にします。
2. 階段状のどの列にピボットがあるかを決定します。元の行列の対応する列は、列空間の基底となります。

例については、列スペースに関する記事を参照してください。

これにより、元の列ベクトルの部分集合となる列空間の基底が生成されます。ピボットを持つ列は階段形式の列空間の基底であり、行の縮約によって列間の線形依存関係が変化することはないため、この方法は有効です。

ベクトルの座標

K ⁿの部分空間Sの基底 { b ₁ , b ₂ , ..., b _k }とベクトルv ∈ Sを入力する。

出力数t ₁ , t ₂ , ..., t _{kであって、} v = t ₁ b ₁ + ··· + t _k b _kであるもの

1. 列がb ₁、...、b _kで最後の列がvである拡張行列 Aを作成します。
2. 基本的な行演算を使用して、A を簡約行階段形にします。
3. 縮約階段形式の最終列を、最初のk列の線形結合として表します。係数には、必要な数値t ₁、t ₂、 ... 、t _kを使用します。（これらは縮約階段形式の最終列の最初のk個の要素と正確に一致する必要があります。）

簡約された階段状の最終列にピボットが含まれている場合、入力ベクトルv はSに存在しません。

零空間の基底

m  ×  n行列Aを入力します。

Aの零空間の基底を出力する

1. 基本的な行演算を使用して、A を簡約階段状形式にします。
2. 階乗縮約形を用いて、変数x ₁、x ₂、 ... 、x _nのうちどれが自由変数であるかを判定し、従属変数の式を自由変数を用いて書きなさい。
3. 各自由変数x _{iについて、} x _i = 1かつ残りの自由変数がゼロとなるような零空間のベクトルを1つ選ぶ。得られたベクトルの集合は、 Aの零空間の基底となる。

例については、ヌル空間に関する記事を参照してください。

2つの部分空間の和と交差の基底

Vの2 つの部分空間UとWが与えられれば、 Zassenhaus アルゴリズムを使用して和と交差の基底を計算できます。 ${\displaystyle U+W}$ ${\displaystyle U\cap W}$

部分空間の方程式

K ⁿの部分空間Sの基底 { b ₁ , b ₂ , ..., b _k }を入力する

零空間がSである( n  −  k )×  n行列を出力します。

1. 行がb ₁、b ₂、 ...、b _kである行列Aを作成します。
2. 基本的な行演算を使用して、A を簡約行階段形にします。
3. c ₁ , c ₂ , ..., c _nを縮約階段状の列とする。ピボットのない各列について、その列をピボットのある列の線形結合として表す方程式を書きなさい。
4. この結果、変数c ₁ ,..., c _nを含むn − k 個の線形方程式からなる同次系が得られる。この系に対応する( n − k ) × n行列が、零空間Sを持つ目的の行列となる。

例

Aの簡約階段形が

${\displaystyle \left[{\begin{alignedat}{6}1&&0&&-3&&0&&2&&0\\0&&1&&5&&0&&-1&&4\\0&&0&&0&&1&&7&&-9\\0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0\end{alignedat}}\,\right]}$

列ベクトルc ₁ , ..., c ₆は次の式を満たす。

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}\mathbf {c} _{3}&=-3\mathbf {c} _{1}+5\mathbf {c} _{2}\\\mathbf {c} _{5}&=2\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}+7\mathbf {c} _{4}\\\mathbf {c} _{6}&=4\mathbf {c} _{2}-9\mathbf {c} _{4}\end{alignedat}}}$

したがって、Aの行ベクトルは次の式を満たす。

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x_{3}&=-3x_{1}+5x_{2}\\x_{5}&=2x_{1}-x_{2}+7x_{4}\\x_{6}&=4x_{2}-9x_{4}.\end{alignedat}}}$

特に、Aの行ベクトルは対応する行列のヌル空間の基底となります。

参照

• 巡回部分空間
• 不変部分空間
• 多重線形部分空間学習
• 商空間（線形代数）
• 信号サブスペース
• 部分空間トポロジー

注記

1. 線型部分空間という用語は、平坦部やアフィン部分空間を指すために使用されることがあります。実数体上のベクトル空間の場合、線型部分空間、平坦部、アフィン部分空間は、多様体でもあることを強調するために線型多様体とも呼ばれます。
2. 一般に、 K は、与えられた整数行列が適切な階数を持つような特性を持つ任意の体である。すべての体は整数を含むが、体によっては整数がゼロになることもある。
3. この定義はしばしば異なる方法で述べられる：ベクトルv ₁ , ..., v _kが線形独立であるとは、 ( t ₁ , t ₂ , ..., t _k ) ≠ (0, 0, ..., 0)に対してt ₁ v ₁ + ··· + t _k v _k ≠ 0が成り立つ場合である。2つの定義は同等である。

引用

1. ハルモス (1974) pp. 16–17、§ 10
2. アントン（2005年、155ページ）
3. Beauregard & Fraleigh (1973、p. 176)
4. ハーシュタイン（1964年、132ページ）
5. クレイシグ（1972年、200ページ）
6. ネリング（1970年、20ページ）
7. ヘフェロン（2020）100頁、第2章、定義2.13
8. MathWorld (2021) サブスペース。
9. DuChateau (2002) ヒルベルト空間に関する基本的事実 — コロラド州立大学の偏微分方程式 (M645) の授業ノート。
10. ネリング（1970年、21ページ）
11. ヘフェロン（2020）100頁、第2章、定義2.13
12. ネリング（1970年、20ページ）
13. ネリング（1970年、21ページ）
14. ベクトル空間関連の演算子。
15. ネリング（1970年、22ページ）
16. ヘフェロン（2020）148頁、第2章、§4.10
17. アクラー（2015）p.21 § 1.40
18. Katznelson & Katznelson (2008) pp. 10–11、§ 1.2.5
19. ハルモス (1974) pp. 28–29、§ 18
20. ハルモス (1974) pp. 30–31、§ 19
21. アクラー（2015）193頁、§6.46
22. アクラー（2015）195頁、§6.50
23. アクラー（2015）194頁、§6.47
24. アクラー（2015）195頁、§6.51

出典

教科書

• アントン・ハワード（2005年）、初等線形代数（応用版）（第9版）、ワイリー・インターナショナル
• アクラー、シェルドン・ジェイ(2015). 『線形代数を正しく理解する』（第3版）. Springer . ISBN 978-3-319-11079-0。
• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields , Boston: Houghton Mifflin Company , ISBN 0-395-14017-X
• ハルモス、ポール・リチャード(1974) [1958].有限次元ベクトル空間（第2版）.シュプリンガー. ISBN 0-387-90093-4。
• ヘフェロン、ジム(2020).線形代数（第4版）. Orthogonal Publishing. ISBN 978-1-944325-11-4。
• Herstein, IN (1964), Topics In Algebra , Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
• Katznelson, イツハク;カッツネルソン、ヨナタン R. (2008)。線形代数の (簡潔な) 入門。アメリカ数学協会。ISBN 978-0-8218-4419-9。
• クレイジグ、エルウィン（1972）、Advanced Engineering Mathematics（第3版）、ニューヨーク：Wiley、ISBN 0-471-50728-8
• レイ、デイビッド・C.（2005年8月22日）「線形代数とその応用（第3版）」アディソン・ウェスレー、ISBN 978-0-321-28713-7
• レオン、スティーブン J. (2006)、『線形代数の応用』（第 7 版）、ピアソン プレンティス ホール
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ウェブ

• ワイスタイン、エリック・ヴォルフガング. 「部分空間」. MathWorld . 2021年2月16日閲覧。
• デュシャトー、ポール (2002年9月5日). 「ヒルベルト空間に関する基本的事実」(PDF) .コロラド州立大学. 2021年2月17日閲覧.

外部リンク

• ストラング、ギルバート(2009年5月7日). 「4つの基本部分空間」. 2021年12月11日時点のオリジナルよりアーカイブ。2021年2月17日閲覧– YouTube経由。
• ストラング、ギルバート(2020年5月5日). 「線形代数の全体像」. 2021年12月11日時点のオリジナルよりアーカイブ。2021年2月17日閲覧– YouTube経由。