局所定数関数

ドメインに制限されたシグナム関数は局所的に一定です。${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$

数学において、局所定数関数とは、その定義域のあらゆる点の周りにその点の近傍が存在し、その上で関数が定数関数に制限されるという性質を持つ、位相空間から集合への関数です。

意味

を位相空間から集合への関数とします。が で 局所的に一定であるとは、 がで定数であるようなの近傍が存在する場合です。これは定義により、すべての に対してであることを意味します。 関数がその定義域内のどの点でも局所的に一定である場合、関数は局所的に一定であると呼ばれます。 ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle f(u)=f(v)}$ ${\displaystyle u,v\in U.}$ ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle x\in X}$

例

すべての定数関数は局所定数である。その定義域が連結空間である場合、逆は成立する。

実数 からへのすべての局所定数関数は、の連結性により定数です。しかし、およびによって定義される有理数からへの関数は局所定数です (これは が無理数であり、したがって と の 2 つの集合が両方ともにおいて開いているという事実を利用しています)。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle f:\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f(x)=0{\text{ for }}x<\pi ,}$ ${\displaystyle f(x)=1{\text{ for }}x>\pi ,}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} :x<\pi \}}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} :x>\pi \}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

が局所的に定数である場合、の任意の連結成分上で定数です。逆は、連結成分が開集合である空間である局所連結空間に対して当てはまります。 ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle A.}$

さらに次のような例もあります。

• 被覆写像 が与えられれば、各点にファイバーの濃度を割り当てることができます。この割り当ては局所的に一定です。${\displaystyle p:C\to X,}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p^{-1}(x)}$ ${\displaystyle x}$
• 位相空間から離散空間への写像は、それが局所的に定数である場合にのみ連続である。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

層理論との関連

上には局所定数関数の層が存在します。より明確に言えば、 上の局所定数整数値関数は、 の各開集合に対してこの種の関数を形成できるという意味で層を形成します。そして、この構成に対して層の公理が成り立つことを検証すると、アーベル群（可換環 でさえ）の層が得られます。 ^[1]この層は と書くことができ、茎を用いて記述できます。茎には、各 に対してのコピーがあります。これは定数層と呼ばれることもあり、これはまさに、 （同じ）群に値を取る局所定数関数の層 を意味します。もちろん典型的な層はこのようには定数ではありませんが、この構成は、層コホモロジーをホモロジー理論と結び付ける際や、層の論理的応用において有用です。局所係数システムという考え方は、局所的にはそのような「無害な」層（任意の の近く）のように見えても、大域的な観点からは何らかの「ねじれ」を示す 層の理論を持つことができるというものです。${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z_{X}}$ ${\displaystyle Z_{x},}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle x}$

参照

• リウヴィルの定理（複素解析）  – 複素解析における定理
• 局所定数層

参考文献

1. ハーツホーン、ロビン (1977).代数幾何学. シュプリンガー. p. 62.