マッピングクラスグループ

数学において、幾何学的位相幾何学の分野において、写像類群は位相空間の重要な代数的不変量である。簡単に言えば、写像類群とは、空間の対称性に対応する特定の離散群である。

モチベーション

位相空間、つまり空間内の点の間に何らかの近接性の概念がある空間を考えてみましょう。空間からその空間自体への同相写像の集合、つまり連続的な逆写像、つまり空間を破壊したり接着したりすることなく連続的に伸縮したり変形する関数を考えることができます。この同相写像の集合は、空間自体と考えることができます。これは関数合成の下で群を形成します。この新しい同相写像の空間上に位相を定義することもできます。この新しい関数空間の開集合は、コンパクト部分集合Kを開部分集合Uに写す関数の集合で構成されます。これは、 KとU が元の位相空間全体に及ぶときに行われ、有限の交差(位相の定義により開いている必要があります) と任意の和(これも開いている必要があります) で完了します。これにより、関数の空間に連続性の概念が得られ、ホモトピーと呼ばれる同相写像自体の連続的な変形を考えることができます。同相写像のホモトピー類を取り、同相写像の空間にすでに存在する関数合成群構造から群構造を誘導することによって、写像類群を定義します。

意味

写像類群という用語は、柔軟に使用されます。最もよく使用されるのは、多様体 Mのコンテキストです。 Mの写像類群は、 Mの自己同型の同位類の群として解釈されます。したがって、 M が位相多様体の場合、写像類群はMの同相写像の同位類の群です。Mが滑らかな多様体の場合、写像類群はMの微分同相写像の同位類の群です。オブジェクトXの自己同型群が自然な位相を持つときはいつでも、 Xの写像類群はと定義されます。ここで、はにおける恒等写像のパス成分です。(コンパクト開位相では、パス成分と同位類が一致することに注意してください。つまり、2 つの写像fとgが同じパス成分にある場合と、それらが同位写像である場合に限ります^[^{引用が必要}^] )。位相空間の場合、これは通常、コンパクト開位相です。低次元位相幾何学の文献では、 Xの写像類群は通常 MCG( X ) と表記されるが、しばしばと表記される。ここで、Aut はX が属する圏に対応する適切な群に置き換えられる。ここでは空間の 0 次ホモトピー群を表す。 $\operatorname {Aut} (X)/\operatorname {Aut} _{0}(X)$ $\operatorname {Aut} _{0}(X)$ $\operatorname {Aut} (X)$ $\pi _{0}(\operatorname {Aut} (X))$ $\pi _{0}$

したがって、一般に、グループの短い正確なシーケンスが存在します。

1\rightarrow \operatorname {Aut} _{0}(X)\rightarrow \operatorname {Aut} (X)\rightarrow \operatorname {MCG} (X)\rightarrow 1.

このシーケンスは分割されないことが多い。^[1]

ホモトピーカテゴリで作業する場合、 Xのマッピングクラスグループは、Xのホモトピー同値のホモトピークラスのグループです。

写像類群には、頻繁に研究される多くの部分群が存在する。Mが有向多様体である場合、Mの向き保存自己同型はとなり、したがって、M が向き反転自己同型を許容する限り、M の写像類群（有向多様体として）は、 Mの写像類群（無向多様体として）において添字2となる。同様に、 Mのすべてのホモロジー群上で恒等写像として作用する部分群は、Mのトレッリ群と呼ばれる。 $\operatorname {Aut} (M)$

例

球

任意のカテゴリ（滑らか、PL、位相的、ホモトピー）^[2]

\operatorname {MCG} (S^{2})\simeq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,

±1次マップに対応します。

トーラス

ホモトピー圏では

\operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{n})\simeq \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} ).

これは、n次元トーラスがアイレンバーグ・マクレーン空間であるためです。 $\mathbf {T} ^{n}=(S^{1})^{n}$

他のカテゴリの場合、^[3]では次の分割完全列が得られます。 $n\geq 5$

位相空間のカテゴリにおいて

0\to \mathbb {Z} _{2}^{\infty }\to \operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{n})\to \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 0

PLカテゴリー

0\to \mathbb {Z} _{2}^{\infty }\oplus {\binom {n}{2}}\mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{n})\to \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 0

（⊕は直和を表す）。滑らかなカテゴリでは

0\to \mathbb {Z} _{2}^{\infty }\oplus {\binom {n}{2}}\mathbb {Z} _{2}\oplus \sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}\Gamma _{i+1}\to \operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{n})\to \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 0

ここで、はホモトピー球面のケルヴェア・ミルナー有限アーベル群であり、は位数2の群である。 $\Gamma _{i}$ $\mathbb {Z} _{2}$

表面

曲面の写像類群は精力的に研究されており、タイヒミュラー空間に作用し、その商が曲面に同相なリーマン面のモジュライ空間となることから、タイヒミュラー・モジュラー群と呼ばれることもある（上記のの特殊ケースに注意）。これらの群は双曲群と高階線型群の両方に類似した特徴を示す^[^要出典^{] 。これらは}サーストンの幾何学的三次元多様体理論に多くの応用がある（例えば、曲面束）。この群の元もそれ自体で研究されており、重要な結果はニールセン・サーストン分類定理であり、この群の生成族はデーンツイストによって与えられ、これはある意味で「最も単純な」写像類である。すべての有限群は、閉じた向き付け可能な曲面の写像類群の部分群である。^[4]実際、任意の有限群は、あるコンパクトなリーマン面の等長変換群として実現することができます（これは、その有限群が基礎となる位相面の写像類群に注入されることを直ちに意味します）。 $\operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{2})$

非有向面

いくつかの非向き付け曲面は、単純な表現を持つ写像類群を持つ。例えば、実射影平面の同相写像はすべて恒等写像と同形である。 $\mathbf {P} ^{2}(\mathbb {R} )$

\operatorname {MCG} (\mathbf {P} ^{2}(\mathbb {R} ))=1.

クラインの壺 Kの写像類群は次のとおりです。

\operatorname {MCG} (K)=\mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}.

4つの要素は、恒等関数、メビウスの帯を囲まない二辺曲線上のデーンツイスト、リコリッシュのy同相、そしてツイストとy同相の積である。デーンツイストの2乗が恒等関数と同位体であることを示すのは良い練習になる。

また、種数3の向き付け不可能な閉曲面N ₃（3つの射影平面の連結和）には次の性質があることにも留意してください。

\operatorname {MCG} (N_{3})=\operatorname {GL} (2,\mathbb {Z} ).

これは、曲面N が、片側曲線の唯一の類を持ち、そのような曲線Cに沿ってNを切り開くと、得られる曲面は円板を取り除いたトーラスとなるからである。無向曲面として、その写像類群はである。(補題 2.1 ^[5] )。 $N\setminus C$ $\operatorname {GL} (2,\mathbb {Z} )$

3次元多様体

3次元多様体の写像類群も盛んに研究されており、2次元多様体の写像類群と密接に関連している。例えば、任意の有限群は、コンパクト双曲型3次元多様体の写像類群（および等長変換群）として実現することができる。^[6]

ペアのクラスグループのマッピング

空間のペア (X,A)が与えられた場合、そのペアのマッピング類群は、そのペアの自己同型の同位体類です。ここで、(X,A)の自己同型は、 A を保存するXの自己同型として定義されます。つまり、f : X → Xは可逆であり、f(A) = Aです。

結び目とリンクの対称群

K ⊂ S ^3が結び目または絡み目である場合、結び目（または絡み目）の対称群は、ペア（S ³、K ）の写像類群として定義されます。双曲結び目の対称群は二面体群または巡回群であることが知られています。さらに、すべての二面体群および巡回群は、結び目の対称群として実現できます。トーラス結び目の対称群は、位数2 Z ₂であることが知られています。

トレリグループ

写像類群が空間Xのホモロジー（およびコホモロジー）に誘導作用を及ぼすことに注意してください。これは、(コ)ホモロジーが関数的であり、Homeo _{0 が}自明に作用するからです（すべての元が同位体であるため、自明に作用する恒等元にホモトピックであり、(コ)ホモロジーへの作用はホモトピーに関して不変であるため）。この作用の核は、トレリの定理にちなんで名付けられたトレリ群です。

有向面の場合、これは第一コホモロジーH ¹ (Σ) ≅ Z ^{2 g}への作用である。向きを保存する写像は、まさにトップコホモロジーH ² (Σ) ≅ Zに自明に作用するものである。H 1 (Σ) は、カップ積から生じるシンプレクティック構造を持つ^。これらの写像は自己同型であり、写像はカップ積を保存するので、写像類群はシンプレクティック自己同型として作用し、実際、すべてのシンプレクティック自己同型が実現されて、短い完全列が得られる。

1\to \operatorname {Tor} (\Sigma )\to \operatorname {MCG} (\Sigma )\to \operatorname {Sp} (H^{1}(\Sigma ))\cong \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbf {Z} )\to 1

これを拡張すると

1\to \operatorname {Tor} (\Sigma )\to \operatorname {MCG} ^{*}(\Sigma )\to \operatorname {Sp} ^{\pm }(H^{1}(\Sigma ))\cong \operatorname {Sp} _{2g}^{\pm }(\mathbf {Z} )\to 1

シンプレクティック群はよく理解されています。したがって、写像類群の代数構造を理解することは、多くの場合、トレリ群に関する疑問に帰着します。

トーラス (種数 1) の場合、シンプレクティック群への写像は同型であり、トレリ群は消滅することに注意してください。

安定したマッピングクラスグループ

種数gで境界成分が 1 の曲面を、端に追加の穴を付ける（つまり、とを接着する）ことでに埋め込むことができ、境界を固定する小さな曲面の自己同型が大きな曲面にまで拡張されます。これらの群と包含の直接極限を取ると、安定写像類群が得られます。この群の有理コホモロジー環はDavid Mumfordによって予想されました（ Mumford 予想と呼ばれる予想の 1 つです）。2007 年、Ib MadsenとMichael Weiss は、整数（有理数だけでなく）コホモロジー環の計算に基づいて、Mumford 予想の証明を発表しました。^{[7]しかし、滑らかな多様体の}拡張された三角形分割の存在に関する彼らの論文の証明されていない主張に関して疑問が提起されています。^[8] $\Sigma _{g,1}$ $\Sigma _{g+1,1}$ $\Sigma _{g,1}$ $\Sigma _{1,2}$

参照

編組群、穴あき円板の写像類群
ホモトピー群
ホメオトピーグループ
ランタン関係

参考文献

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外部リンク

マドセン・ワイスMCGセミナー; 多くの参考文献