微分同相写像

数学において、微分同相写像は微分可能多様体の同型写像です。これは、ある微分可能多様体を別の微分可能多様体に写す可逆関数であり、その関数とその逆関数の両方が連続的​​に微分可能です。

正方形からそれ自身への微分同相写像の下にある正方形上の長方形グリッドの像。

定義

2つの微分可能多様体とが与えられたとき、連続的に微分可能な写像は、それが全単射であり、その逆関数も微分可能である場合、微分同相写像と呼ばれます。これらの関数が倍連続的に微分可能である場合、は-微分同相 写像と呼ばれます${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f\colon M\rightarrow N}$ ${\displaystyle f^{-1}\colon N\rightarrow M}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{r}}$

2つの多様体とが微分同相写像（通常 と表記）を持つとは、からへの微分同相写像が存在することを意味します。2つの- 微分可能多様体は、それらの間に回連続的に微分可能な全単射写像が存在し、その逆写像も回連続的に微分可能である場合、 - 微分同相写像を持つということです。 - 微分同相写像は単に微分同相写像であり、 - 微分同相写像は同相写像です。${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M\simeq N}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle C^{r}}$ ${\displaystyle C^{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle C^{0}}$

多様体の部分集合の微分同相写像

多様体の部分 集合と多様体 の部分集合が与えられたとき、関数が滑らかであるとは、 のすべての に対しての近傍と、制約が一致するような滑らかな関数が存在することを意味します（ はの拡張であることに注意）。関数が全単射で滑らかであり、その逆写像が滑らかである場合、関数は微分同相写像であると言われています。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subset M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g:U\to N}$ ${\displaystyle g_{|U\cap X}=f_{|U\cap X}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

局所記述

微分可能写像が微分同相写像であるかどうかを検証することは、いくつかの軽い制約の下で局所的に行うことができます。これはアダマール・カチョッポリ定理です。^[1]

が単連結であるようなの連結開部分集合である場合、微分可能写像は、それが真であり、の各点で微分が全単射（したがって線型同型）であるときに、微分同相写像です。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle Df_{x}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$

注釈：

関数が大域的に逆写像であるためには（その導関数が各点で全単射写像であるという唯一の条件の下で）、 が単連結であることが不可欠です。例えば、複素平方関数 の「実現」を考えてみましょう。${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\to \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\\(x,y)\mapsto (x^{2}-y^{2},2xy).\end{cases}}}$

すると は全射であり、 を満たします。 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \det Df_{x}=4(x^{2}+y^{2})\neq 0.}$

したがって、は各点で全単射ですが、は単射ではないため逆写像ではありません（例：）。 ${\displaystyle Df_{x}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(1,0)=(1,0)=f(-1,0)}$

ある点における微分（微分可能関数の場合）

${\displaystyle Df_{x}:T_{x}U\to T_{f(x)}V}$

は線型写像であり、その逆写像が明確に定義されているのは、 が全単射である場合に限ります。の行列表現は、行 列目の要素が であるような一階偏微分行列です。このいわゆるヤコビ行列は、明示的な計算によく用いられます。 ${\displaystyle Df_{x}}$ ${\displaystyle Df_{x}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \partial f_{i}/\partial x_{j}}$

微分同相写像は必然的に同じ次元の多様体間に存在します。次元 から次元 へ進むことを想像してみてください。 の場合、は決して射影的になることはなく、 の場合、 は決して単射的になることはありません 。したがって、どちらの場合も、は全単射ではありません。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n<k}$ ${\displaystyle Df_{x}}$ ${\displaystyle n>k}$ ${\displaystyle Df_{x}}$ ${\displaystyle Df_{x}}$

が における全単射である場合、 は局所微分同相写像であると言われています（連続性により、 に十分近いすべての に対しても全単射となるため）。 ${\displaystyle Df_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Df_{y}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

次元から次元への滑らかな写像が与えられたとき、（または局所的に）が射影的である場合、は沈み込み（または局所的に「局所沈み込み」）であると言われています。また、 （または局所的に）が単射的である場合、は浸み込み（または局所的に「局所浸み込み」） であると言われています${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Df}$ ${\displaystyle Df_{x}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Df}$ ${\displaystyle Df_{x}}$ ${\displaystyle f}$

微分可能な一対一写像は必ずしも微分同相写像ではありません。例えば、は微分同相写像ではありません。なぜなら、その導関数は0でゼロになるからです（したがって、その逆写像は0で微分可能ではありません）。これは、微分同相写像ではない 同相写像の例です。${\displaystyle f(x)=x^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

が微分可能多様体間の写像である場合、微分同相写像は同相写像よりも強い条件です。微分同相写像の場合、その逆写像は微分可能である必要があります。同相写像の場合、その逆写像は連続であれば十分です。すべての微分同相写像は同相写像ですが、すべての同相写像が微分同相写像であるとは限りません ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f:M\to N}$ は、座標チャートにおいて上記の定義を満たすとき、微分同相写像である。より正確には、適合する座標チャートによる任意の被覆を選び、についても同様とする。とをそれぞれ上のチャートとし、とをそれぞれと の像とする。すると、写像は、がのときはいつでも、上記の定義のように微分同相写像となる。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi f\phi ^{-1}:U\to V}$ ${\displaystyle f(\phi ^{-1}(U))\subseteq \psi ^{-1}(V)}$

例

任意の多様体は局所的に媒介変数化できるため、 からへの明示的な写像を考えることができる。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

• と

${\displaystyle f(x,y)=\left(x^{2}+y^{3},x^{2}-y^{3}\right).}$

ヤコビ行列を計算できる

${\displaystyle J_{f}={\begin{pmatrix}2x&3y^{2}\\2x&-3y^{2}\end{pmatrix}}.}$

ヤコビ行列の行列式が零となるのは、 の場合のみである。は -軸と-軸から離れたところでのみ微分同相写像となり得ることがわかる。しかし、は であるため全単射ではないため、微分同相写像にはなり得ない。${\displaystyle xy=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x,y)=f(-x,y)}$

• と

${\displaystyle g(x,y)=\left(a_{0}+a_{1,0}x+a_{0,1}y+\cdots ,\ b_{0}+b_{1,0}x+b_{0,1}y+\cdots \right)}$

ここで、と は任意の実数であり、省略された項はxとyにおいて少なくとも2次である。0における ヤコビ行列を計算できる${\displaystyle a_{i,j}}$ ${\displaystyle b_{i,j}}$

${\displaystyle J_{g}(0,0)={\begin{pmatrix}a_{1,0}&a_{0,1}\\b_{1,0}&b_{0,1}\end{pmatrix}}.}$

gが0における局所微分同相写像であるためには、そしてその場合に限ります。

${\displaystyle a_{1,0}b_{0,1}-a_{0,1}b_{1,0}\neq 0,}$

つまり、 gの成分の線型項は、多項式として線型独立です。

• と

${\displaystyle h(x,y)=\left(\sin(x^{2}+y^{2}),\cos(x^{2}+y^{2})\right).}$

ヤコビ行列を計算できる

${\displaystyle J_{h}={\begin{pmatrix}2x\cos(x^{2}+y^{2})&2y\cos(x^{2}+y^{2})\\-2x\sin(x^{2}+y^{2})&-2y\sin(x^{2}+y^{2})\end{pmatrix}}.}$

ヤコビ行列は、どこでも行列式がゼロになります！実際、hの像は単位円であることがわかります。

表面変形

力学では、応力誘起変換は変形と呼ばれ、微分同相写像によって記述できます。2つの曲面との間の微分同相写像は、可逆行列であるヤコビ行列を持ちます。実際、においてに対して、ヤコビ行列が非特異性を保つの近傍が存在する必要があります。曲面のチャートにおいて、${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Df}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle Df}$ ${\displaystyle f(x,y)=(u,v).}$

uの全微分は

${\displaystyle du={\frac {\partial u}{\partial x}}dx+{\frac {\partial u}{\partial y}}dy}$ 、vについても同様です

すると、像は原点を固定した線型変換となり、特定の種類の複素数の作用として表現できます。( dx ,  dy )もその種類の複素数として解釈される場合、作用は適切な複素数平面における複素乗算となります。したがって、そのような乗算では保存される角度の種類（ユークリッド角度、双曲角度、または傾き）があります。Dfは可逆であるため、複素数の種類は曲面上で均一です。したがって、曲面変形、つまり曲面の微分同相写像は、（適切な種類の）角度を保存するという 共形的な性質を持ちます。${\displaystyle (du,dv)=(dx,dy)Df}$

微分同相写像群

を第二可算でハウスドルフである微分可能多様体とする。の微分同相群は、 のそれ自身へのすべての微分同相の群であり、または と理解されるとき、 で表される。これは、が0次元でなければ局所コンパクトではないという意味で「大きな」群である。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{r}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}^{r}(M)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}(M)}$ ${\displaystyle M}$

位相

微分同相群には、弱位相と強位相の2つの自然な位相がある（Hirsch 1997）。多様体がコンパクトな場合、これら2つの位相は一致する。弱位相は常に計量化可能である。多様体がコンパクトでない場合、強位相は「無限遠における」関数の振る舞いを捉え、 計量化不可能である。しかし、それでもベール である。

にリーマン計量を固定すると、弱位相は計量の族によって誘導される位相です 。${\displaystyle M}$

${\displaystyle d_{K}(f,g)=\sup \nolimits _{x\in K}d(f(x),g(x))+\sum \nolimits _{1\leq p\leq r}\sup \nolimits _{x\in K}\left\|D^{p}f(x)-D^{p}g(x)\right\|}$

が のコンパクト部分集合上で変化するとき。実際、は-コンパクトであるため、その和がとなるコンパクト部分集合の列が存在します。すると、 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle K_{n}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle d(f,g)=\sum \nolimits _{n}2^{-n}{\frac {d_{K_{n}}(f,g)}{1+d_{K_{n}}(f,g)}}.}$

微分同相群はその弱位相を備え、ベクトル場の空間と局所的に同相である(Leslie 1967)。 のコンパクト部分集合上で、 にリーマン計量を固定し、その計量の指数写像を使用することで、このことが従う。が有限で多様体がコンパクトである場合、ベクトル場の空間はバナッハ空間である。さらに、この地図帳のある図から別の図への遷移写像は滑らかであり、微分同相群は滑らかな右平行移動を伴うバナッハ多様体になる。左平行移動と反転は連続的である。 である場合、ベクトル場の空間はフレシェ空間である。さらに、遷移写像は滑らかであり、微分同相群はフレシェ多様体になり、さらには正則フレシェ リー群になる。多様体が-コンパクトであり、コンパクトでない場合、完全な微分同相群は 2 つの位相のいずれに対しても局所的に縮約可能ではない。多様体である微分同相群を得るには、無限大近傍での恒等元からの偏差を制御することによって群を制限する必要があります。(Michor & Mumford 2013) を参照してください。 ${\displaystyle C^{r}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=\infty }$ ${\displaystyle \sigma }$

リー代数

の微分同相群のリー代数は、ベクトル場のリー括弧を備えた上のすべてのベクトル場から構成されます。やや形式的には、これは空間の各点における 座標を少し変更することで確認できます。${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+\varepsilon h^{\mu }(x)}$

したがって、無限小生成元はベクトル場です。

${\displaystyle L_{h}=h^{\mu }(x){\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}.}$

例

• がリー群のとき、左平行移動により を自身の微分同相群に自然に含めることができます。の微分同相群を とすると、の分割 が存在し、 はのサブグループであり、の恒等元を固定します${\displaystyle M=G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}(G)\simeq G\times {\text{Diff}}(G,e)}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}(G,e)}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}(G)}$
• ユークリッド空間の微分同相群は、向きを保存する微分同相写像と向きを反転する微分同相写像という2つの要素から成ります。実際、一般線型群は、写像の下で原点を固定した微分同相写像の部分群の変形リトラクトです。特に、一般線型群は、完全な微分同相写像群の変形リトラクトでもあります${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}(\mathbb {R} ^{n},0)}$ ${\displaystyle f(x)\to f(tx)/t,t\in (0,1]}$
• 有限点集合に対して、微分同相群は単に対称群である。同様に、任意の多様体に対しては群拡大が存在する。ここで はのすべての成分を保存する の部分群であり、は集合（ の成分）の置換群である。さらに、写像の像は、微分同相類を保存するの全単射である。${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 0\to {\text{Diff}}_{0}(M)\to {\text{Diff}}(M)\to \Sigma (\pi _{0}(M))}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}_{0}(M)}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Sigma (\pi _{0}(M))}$ ${\displaystyle \pi _{0}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}(M)\to \Sigma (\pi _{0}(M))}$ ${\displaystyle \pi _{0}(M)}$

推移性

連結多様体に対して、微分同相群はに推移的に作用する。より一般的には、微分同相群は配置空間に推移的に作用する。 が少なくとも2次元である場合、微分同相群は配置空間 に推移的に作用し、 への作用は多重推移的である（Banyaga 1997、p. 29）。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C_{k}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F_{k}M}$ ${\displaystyle M}$

微分同相写像の拡大

1926年、ティボール・ラドは、単位円の任意の同相写像または微分同相写像を単位円板に調和拡張すると、開円板上の微分同相写像が得られるかどうかを問いました。その後まもなく、ヘルムート・クネーザーによって洗練された証明が示されました。1945年、ギュスターヴ・ショケは、この結果を知らなかったようで、全く異なる証明を提示しました

円の（向き保存）微分同相群は経路連結である。これは、任意のそのような微分同相写像が を満たす実数の微分同相写像に持ち上げられることに着目すればわかる。この空間は凸であり、したがって経路連結である。恒等写像への滑らかで、最終的に定数となる経路は、円から開単位円板への微分同相写像を拡張する、より基本的な2つ目の方法を与える（アレクサンダートリックの特殊なケース）。さらに、円の微分同相写像群は、直交群のホモトピー型を持つ。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [f(x+1)=f(x)+1]}$ ${\displaystyle O(2)}$

高次元球面の微分同相写像に対する対応する拡張問題は、1950年代と1960年代にルネ・トム、ジョン・ミルナー、スティーブン・スメールの顕著な貢献により盛んに研究されました。このような拡張の障害は、有限アーベル群、すなわち「ねじれた球面の群」によって与えられます。これは、微分同相写像群のアーベル成分群を球面の微分同相写像に拡張する類の部分群で割ったものとして定義されます。 ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle \Gamma _{n}}$ ${\displaystyle B^{n}}$

連結性

多様体の場合、微分同相群は通常連結ではありません。その構成要素群は写像類群と呼ばれます。次元2（つまり曲面）では、写像類群はデーンツイストによって生成される有限提示群です。これはマックス・デーン、WBRリコリッシュ、アレン・ハッチャーによって証明されています。^[要出典]マックス・デーンとヤコブ・ニールセンは、それが曲面の 基本群の外部自己同型群と同一視できることを示しました

ウィリアム・サーストンは、写像類群の元を3つのタイプに分類することで、この解析を洗練させました。周期微分同相写像に等価なもの、単純な閉曲線不変量を残す微分同相写像に等価なもの、擬アノソフ微分同相写像に等価なものの3つです。トーラス の場合、写像類群は単にモジュラー群であり、分類は楕円行列、放物線行列、双曲行列の観点から古典的になります。サーストンは、写像類群がタイヒミュラー空間のコンパクト化に自然に作用することを観察することで分類を達成しました。この拡大された空間は閉球に同相であるため、ブラウワーの不動点定理が適用可能になりました。スメールは、が向き付けられた滑らかな閉多様体である場合、向きを保存する微分同相写像群の恒等成分は単純であると予想しました。これは、ミシェル・ヘルマンによって円の積に対して最初に証明され、サーストンによって完全に一般化されて証明されました。 ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle M}$

ホモトピー型

• の微分同相群は、^部分群のホモトピー型を持ちます。これはスティーブ・スメールによって証明されました。^[2]${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (3)}$
• トーラスの微分同相群は、その線型自己同型のホモトピー型を持ちます。${\displaystyle S^{1}\times S^{1}\times {\text{GL}}(2,\mathbb {Z} )}$
• 種数 の向き付け可能な曲面の微分同相群は、その写像類群のホモトピー型を持ちます（つまり、成分は縮約可能です）。${\displaystyle g>1}$
• 3次元多様体の微分同相群のホモトピー型は、イワノフ、ハッチャー、ガバイ、ルービンシュタインの研究を通じてかなりよく理解されていますが、いくつかの未解決のケース（主に有限基本群を持つ3次元多様体）があります
• に対する -多様体の微分同相群のホモトピー型は十分に理解されていません。例えば、が2つ以上の成分を持つかどうかは未解決の問題です。しかし、ミルナー、カーン、アントネッリによれば、 が与えられた場合、有限CW複素のホモトピー型を持たないことが知られています。${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n>3}$ ${\displaystyle \mathrm {Diff} (S^{4})}$ ${\displaystyle n>6}$ ${\displaystyle \mathrm {Diff} (S^{n})}$

同相写像と微分同相写像

すべての微分同相写像は同相写像であるため、互いに微分同相な多様体のペアが与えられたとき、それらは特に互いに 同相である。逆は一般には成り立たない。

微分同相ではない同相写像を見つけるのは簡単ですが、微分同相ではない同相多様体のペアを見つけるのはより困難です。1次元、2次元、3次元では、同相な滑らかな多様体の任意のペアは微分同相です。4次元以上では、同相だが微分同相ではないペアの例が存在します。最初の例は、ジョン・ミルナーによって7次元で構築されました。彼は、標準的な7次元球面に同相だが微分同相ではない、滑らかな7次元多様体（現在はミルナー球面と呼ばれています）を構築しました。実際には、7次元球面に同相な多様体の有向微分同相類は28個あります（それぞれは、3次元球面をファイバーとする4次元球面上のファイバー束の全空間です）。

4次元多様体では、より異常な現象が発生します。1980年代初頭、サイモン・ドナルドソンとマイケル・フリードマンによる研究結果の組み合わせにより、エキゾチックなが 発見されました。すなわち、に同相である対微分同相でない開部分集合が無数に存在し、また、に同相で、滑らかに埋め込まれない対微分同相でない微分可能多様体が無数に存在します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

参照

• アーノルドの猫写像などのアノソフ微分同相写像
• 微分異常（重力異常とも呼ばれる） 、量子力学における型異常
• 微分学、微分空間を形成する集合上の滑らかなパラメータ化
• 微分形態測定、計算解剖学における形状と形態の計量的研究
• エタール写像
• 大微分同相写像
• 局所微分同相写像
• 超微分同相写像

注釈

1. Steven G. Krantz、Harold R. Parks (2013).暗黙関数定理：歴史、理論、そして応用. Springer. p. 定理6.2.4. ISBN 978-1-4614-5980-4.
2. Smale (1959). 「2次元球面の微分同相写像」Proc. Amer. Math. Soc . 10 (4): 621– 626. doi : 10.1090/s0002-9939-1959-0112149-8 .

参考文献

• Krantz, Steven G.; Parks, Harold R. (2013).暗黙関数定理：歴史、理論、そして応用．Modern Birkhäuser classics. ボストン. ISBN 978-1-4614-5980-4.
• Chaudhuri, Shyamoli; Kawai, Hikaru; Tye, S.-H. Henry (1987-08-15). 「閉弦の経路積分定式化」(PDF) . Physical Review D. 36 ( 4): 1148– 1168. Bibcode :1987PhRvD..36.1148C. doi :10.1103/physrevd.36.1148. ISSN  0556-2821. PMID  9958280. S2CID 41709882. 2018-07-21にオリジナルから アーカイブ(PDF) .
• Banyaga, Augustin (1997), The structure of classical diffeomorphism groups, Mathematics and its Applications, vol. 400, Kluwer Academic, ISBN 0-7923-4475-8
• Duren, Peter L. (2004), Harmonic Mappings in the Plane, Cambridge Mathematical Tracts, vol. 156, Cambridge University Press, ISBN 0-521-64121-7
• "Diffeomorphism", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Hirsch, Morris (1997), Differential Topology, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90148-0
• Kriegl, Andreas; Michor, Peter (1997), The convenient setting of global analysis, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 53, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0780-3
• Leslie, J. A. (1967), "On a differential structure for the group of diffeomorphisms", Topology, 6 (2): 263–271, doi:10.1016/0040-9383(67)90038-9, ISSN 0040-9383, MR 0210147
• Michor, Peter W.; Mumford, David (2013), "A zoo of diffeomorphism groups on Rⁿ.", Annals of Global Analysis and Geometry, 44 (4): 529–540, arXiv:1211.5704, doi:10.1007/s10455-013-9380-2, S2CID 118624866
• Milnor, John W. (2007), Collected Works Vol. III, Differential Topology, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4230-0
• 大森秀樹 (1997)、「無限次元リー群」、数学モノグラフ翻訳、第158巻、アメリカ数学会、ISBN 0-8218-4575-6
• クネーザー、ヘルムート(1926)、「Lösung der Aufgabe 41.」、ドイツ数学者協会紀要（ドイツ語）、35 (2): 123