複数当選者[1]または委員会[2] [3] 投票とは、複数の候補者を一度に選出する選挙制度を指します。このような方法は、議会、委員会、取締役会など の選挙に用いられます。

目標

複数当選者投票が有用なシナリオは数多く存在します。委員会選出の主な目的に基づいて、大きく3つのクラスに分類できます。[4]

  1. 優秀性。ここでは、投票者は各候補者の質を個別に判断します。目標は、「客観的に」最も優れた候補者を見つけることです。一例として、ショートリスト作成が挙げられます。これは、候補者リストから少数の最終候補者を選出し、最終評価段階（面接など）に進むものです。この段階では、各候補者は他の候補者とは独立して評価されます。2人の候補者が類似している場合、おそらく両方とも選出されるか、両方とも落選するでしょう。
  2. 多様性。ここでは、選出される候補者は可能な限り異なる人物であるべきです。例えば、消防署やその他の施設の立地を2つ選ぶコンテストを考えてみましょう。ほとんどの市民は当然のことながら、市内中心部の消防署を好みます。しかし、同じ場所に2つの消防署を設置する必要はありません。選択肢を多様化し、2つ目の消防署を中心部から離れた場所に設置する方がよいでしょう。「優秀さ」という設定とは対照的に、似たような候補者が2人選ばれても、最良の結果は得られません。多様性が重要となるもう一つのシナリオは、検索エンジンが表示する検索結果を選択する場合や、航空会社が機内で上映する映画を選択する場合です。同様に、選出される議員は、投票者の多様な意見、つまり彼らの投票によって示される意見を可能な限り代表するべきです。
  3. 比例性。ここでは、当選候補者は、有権者の投票数（投票数で測定）によって示される多様な投票グループを可能な限り公平に代表するべきである。多数派グループが過半数の議席を獲得し、人気の低い政党はより少ない議席を獲得するべきである。これは議会選挙における共通の目標である。比例代表制を参照。

メソッドのファミリー

複数当選者投票の研究における大きな課題は、単一当選者投票の概念を合理的に応用する方法を見つけることです。これらは、投票の種類（即決選投票における順位付け投票、および単記移譲式投票と承認投票）に基づいて分類できます。

複数当選者投票では、どの候補者を当選させるかを決める方法が複数あります。各有権者が候補者を順位付けする方法もあれば、X票を投じる方法もあります。さらに、システムによっては、各有権者が1票または複数票を投じる場合があります。

一部の選挙制度では、個々の候補者間の競争によって複数の議員を選出します。各有権者は、1 人以上の個々の候補者に直接投票します。これらの制度には、多数決ブロック投票と単記移譲式投票があり、これらは複数当選者の選挙に小選挙区制を適応させたものです。SNTV では、各有権者は 1 票のみを投じるため、1 つの政党がすべての議席を獲得することはできません。ただし、議席の割り当てには多数決システムが使用されるため、政党が比例配分された議席を獲得するとは限りません。SNTV の順位付け投票バージョンである単記移譲式投票では、ほとんどの場合、単一の選挙で混合されたバランスの取れた議員グループが選出されます。

他の制度では、候補者は委員会（候補者名簿または政党名簿）にグループ化され、有権者は委員会（または候補者名簿）に投票します。1つの候補者名簿または政党がすべての議席を獲得する場合もありますが、複数の候補者名簿から選出される場合もあります。

順位投票

単記移譲式投票は、単一の選挙で、多様な候補者をバランスよく選出する選挙区制です。これは、当選不可能な候補者に投じられた票をより人気の高い候補者に移譲することで、部分的に実現されます。単記移譲式投票で用いられるクォータ制は、少数派の代表性を確保します。つまり、選挙区の規模が小さい場合、または特定の政党が投票の大部分を占める場合を除き、特定の政党がすべての議席を獲得することはできません。

委員会の承認投票

承認投票は、一人勝ちの選挙、そして場合によっては複数勝ちの選挙でよく使われる方法です。一人勝ちの選挙では、有権者は承認した候補者に投票し、最も多くの票を獲得した候補者が当選します。

1895年に既にティーレは、重みに基づく一連のルール、いわゆるティーレの投票ルールを提案していた。[2] [5]このルール群の各ルールは、 k個の弱正の重みw 1 , ..., w k（kは委員会の規模）の列で定義される。各投票者は、投票者が承認したp人の候補者を含む各委員会に、 w 1 + ... + w pに等しいスコアを割り当てる。合計スコアが最も高い委員会が選出される。ティーレのルール群における一般的な投票ルールには、以下のものがある。

  • 複数非譲渡性投票（MNTV）：重みベクトルは(1, 1, ..., 1)です。これは多数決承認投票とも呼ばれます。
  • 承認・チェンバリン・クーラン（ACC）：重みベクトルは（1, 0, ..., 0）です。つまり、各投票者は、委員会に自分が承認した候補者が含まれている場合にのみ、委員会に1ポイントを付与します。
  • 比例承認投票（PAV）：重みベクトルは調和数列 （1、1/2、1/3、...、1/ k）です。

ミニマックス承認投票[6]とその一般化[7] 、フラグメンの投票規則[8]、均等割付法[9] [10]など、他の原則に基づいた規則もあります。

勝者を決定する複雑さは様々である。MNTVの勝者は多項式時間で見つけられるが、Chamberlin-Courant [11]とPAVはどちらもNP困難である。

委員会のポジションスコアリングルール

順位に基づく単独当選者投票では、順位に基づくスコアリングルールが一般的です。各投票者は候補者を最も良いものから最も悪いものの順に順位付けし、事前に設定された関数によって各候補者の順位に基づいてスコアが割り当てられ、合計スコアが最も高い候補者が当選します。

これらのシステムを用いて複数当選者を選出する投票では、個々の候補者ではなく委員会にスコアを割り当てる必要があります。これには様々な方法があり、例えば[1]

  • 単一譲渡不可投票：投票者は、委員会に最も支持する候補者がいる場合、委員会にそれぞれ1ポイントを付与します。言い換えれば、複数の当選者が選出される選挙において、各投票者は単一の候補者に投票し、得票数の多い上位k人の候補者が当選します。これは小選挙区制を一般化したもので、多項式時間で計算できます。
  • 譲渡不能な複数投票（ブロック投票とも呼ばれる）：各有権者は、上位k議席の空席ごとに委員会に1ポイントを付与します。言い換えれば、各有権者はk議席が空席になっているk人の候補者に投票し、得票数が最も多いk人の候補者が当選します。
  • k-ボルダ：各投票者は、各委員会メンバーにボルダカウントを付与する。各投票者は候補者に順位を付け、その順位は合計点数として計算される。ボルダスコアの合計が最も高いk人の候補者が選出される。
  • ボルダ・チェンバリン・クーラン（BCC）：各投票者は、各委員会に対し、委員会内で最も支持する候補者のボルダカウントを提出する。[12] BCCで勝者を計算することはNP困難である。[11]

コンドルセ委員会

単独勝者投票において、コンドルセ勝者とは、他の候補者との直接対決において常に勝利する候補者のことです。コンドルセ方式とは、コンドルセ勝者が存在する場合は必ずその候補者を選択する方法です。コンドルセ基準を複数勝者投票に適用する方法はいくつかあります。

  • 最初の適応はピーター・フィッシュバーンによるものである。[13] [14]ある委員会がコンドルセ委員会であるとは、投票者の過半数によって他のどの委員会よりも好まれる場合を言う。フィッシュバーンは、投票者が委員会を承認集合内のメンバー数で順位付けすると仮定した（つまり、二分的選好を持つ）。その後の研究では、投票者が委員会をボルダ数などの他の基準で順位付けすると仮定した。委員会がこの基準を満たしているかどうかを確認することはcoNP完全であり、コンドルセ委員会が存在するかどうかを判断することはcoNP困難である。[15]
  • もう一つの応用はゲールライン[16]とラトリフ[17]によるもので、委員会はコンドルセ委員会であると言える。委員会内の各候補者が、投票者の過半数によって委員会外の各候補者よりも支持される。複数当選者投票規則は、コンドルセ集合が存在する場合に必ずそれを選択する場合、安定的であると言われることがある[18 ]。安定的な規則の例としては、以下のものがある[19]。
  • 3番目の適応はエルキンド、ラング、サフィディンによって行われた。[21]コンドルセ勝利集合とは、集合に含まれない各要素dに対して、投票者の過半数が集合内のある要素をdよりも好む集合である。

選挙制度に関する主な目的

優秀者選挙

優秀性とは、選出された委員会に「最良の」候補者が含まれていなければならないことを意味します。優秀性に基づく投票ルールは、しばしばスクリーニングルールと呼ばれます。[18]これらは、単一の最良の候補者を選択するための最初のステップ、つまり候補者リストを作成する方法としてよく使用されます。このようなルールが満たすべき基本的な特性は、委員会単調性（リソース単調性の変形であるハウス単調性とも呼ばれます）です。つまり、あるルールによってk人の候補者が選出され、その後委員会の規模がk + 1に増加してルールが再適用された場合でも、最初のk人の候補者は選出される必要があります。委員会単調ルールのいくつかのファミリーは次のとおりです。

  • 逐次ルール：[18]任意の単一勝者投票ルールを用いて、候補者を1人選び、委員会に追加する。このプロセスをk回繰り返す。
  • ベストkルール：[1]任意のスコアリングルールを用いて各候補にスコアを割り当て、スコアが最も高いk個の候補を選択する。

委員会の単調性という性質は、安定性という性質（コンドルセ基準の特定の適応）と両立しない。つまり、サイズ2のコンドルセ集合とサイズ3のコンドルセ集合を一意に許容する単一の投票プロファイルが存在し、それらは互いに素である（サイズ2の集合はサイズ3の集合に含まれない）。[18]

一方、委員会単調な位置スコアリング規則（分離可能な位置スコアリング規則）の族が存在する。これらの規則も、（その基礎となる単一勝者スコアリング関数が多項式時間で計算可能である場合）多項式時間で計算可能である。[1]例えば、k-ボルダ投票は分離可能であるが、譲渡不能な複数投票は分離可能ではない。

多様性選挙

多様性とは、選出された委員会には可能な限り多くの有権者が最も支持する候補者が含まれるべきであることを意味します。形式的には、多様性を重視した適用においては、以下の原則が妥当です。

  • ナロートップ基準: [1]すべての有権者のトップランクの候補者を含むサイズkの委員会が存在する場合、その委員会が選出される必要がある。
  • トップメンバーの単調性: [22]委員会が選出され、ある有権者が自分の最も好ましい勝者の順位を上げた場合には、同じ委員会が選出されるべきである。

比例選挙

比例性とは、有権者の各凝集性グループ（つまり、同様の好みを持つ有権者のグループ。全会一致の選挙区と呼ばれることもある）が、そのサイズ（獲得した票数）に比例した数の当選者によって代表されるべきであることを意味します。正式には、委員会のサイズがkで、投票者がn人いる場合、各委員会メンバーはn / k の有権者を代表します。また、L × n / k の投票者が同じL人の候補者をトップにランク付けする場合（または同じL人の候補者を承認する場合）、そのL人の候補者が選出される必要があります。この原則は、有権者が政党に投票する場合（政党名簿システム）には簡単に実装できますが、承認投票に適用したり、STV 選挙システムによって生成したりすることもできます。 「 強固な連合の正当な代表性と比例性 」を参照してください。

比例性は、投票の配置を決定する1つの使用可能な優先順位のみに基づいて測定できます。実際、STVでは、各投票に対して1つの優先順位のみが考慮されます（グレゴリー法のように部分的な移行が使用されない限り）。予備優先順位が党派に沿ってマークされている場合、党派の投票ブロックはそのまま維持されますが、常にそうであるとは限りません。STVでは、有権者は党派を超えて、希望に応じて優先順位をマークする自由があります。STVでは、選出された委員会は多様な代表者で構成されます。使用可能な最上位の優先順位に従って投票の配置によって決定される、相当規模の（定員規模の）各グループは、自らの支持する候補者を選出します。

予算編成ゲームとしての表現

Haret, Klumper, Maly, Schafer [23]は、各複数勝者投票インスタンスについて、対応する予算ゲームを定義している。彼らのゲームでは、各プレイヤーは固定予算を持ち、この予算を候補者間でどのように配分するかを選択できる（したがって、各プレイヤーの戦略空間は単体である）。各議案は、その総配分額が1以上の場合アクティブ、そうでない場合は非アクティブとなる。プレイヤーの効用は、プレイヤーが承認するアクティブな議案の数である。

彼らは、このゲームが潜在的ゲームであり、したがって常に純粋戦略ナッシュ均衡が存在することを証明した。また、このゲームにおける均衡のいくつかのバリエーションを提示し、それらが（特定の仮定の下で）複数勝者投票における正当化された代表性の様々な概念と等価であることを証明した。

参照

  • 参加型予算編成は、候補者ごとに異なる費用がかかる複数当選者投票の一般化と見ることができる。

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