ネットフォース

粗い傾斜面上に置かれたブロックの自由体図。重量 (W)、垂直反力 (N)、摩擦 (F) が表示されます。

力学において、正味の力とは、物体に作用するすべての力の合計です。例えば、ある物体に2つの力が反対方向に作用していて、一方の力が他方の力よりも大きい場合、これらの力は、大きい方の力と小さい方の力の差である単一の力に置き換えることができます。この力が正味の力です。^[1]

物体に力が作用すると、その加速度が変化します。正味の力とは、ニュートンの運動の第二法則で説明されているように、物体の加速度に作用するすべての力の合成効果です。

物体の特定の点に正味の力が作用すると、それに伴うトルクを計算できます。正味の力とトルクの合計は合力と呼ばれ、これにより物体は、作用するすべての力が個別に作用した場合と同じように回転します。^[2]

物体に作用するすべての力が全くトルクを生じないという状況も考えられます。これは、作用線に沿って正味の力が作用した場合に起こります。

一部の文献では、 「合力」と「正味の力」という用語が同じ意味であるかのように使用されています。これは必ずしも当てはまりません。特に、回転する物体の運動や、静的平衡と呼ばれる、すべてが完全にバランスが取れている状況など、複雑なトピックでは当てはまりません。このような場合、「正味の力」と「合力」は異なる意味を持つ場合があることを理解することが重要です。

コンセプト

物理学では、力はベクトル量とみなされます。つまり、力は大きさ（または大きさ）だけでなく、作用する方向も持ちます。力は通常、太字の記号Fで表しますが、ベクトルの性質を示すために、次のように記号の上に矢印を付けることもあります。 ${\displaystyle \mathbf {F} }$

力を視覚的に表現する必要がある場合、線分を描きます。この線分は、力が作用する点Aから始まり、別の点Bで終わります。この線は、力の方向（ AからBへ）だけでなく、その大きさも示します。線が長いほど、力は強くなります。

物理学における重要な概念の一つは、力は加法可能であるというものであり、これはベクトル加法の基礎となります。この概念はガリレオとニュートンの時代から物理学の中心であり、1800年代後半から1900年代初頭にかけて確立されたベクトル微積分学の基礎となりました。 ^[3]

力の加法。注：この図では、ベクトルの変数としてaとbを使用しています。これは、数学を中心としたベクトルの加法ではより一般的です。物理学では力を表すのにFを使用するため、 ではなく と書きます。${\displaystyle \mathbf {F} _{t}={\mathbf {\mathbf {a} }}+{\mathbf {\mathbf {b} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {F_{t}} =\mathbf {F_{1}} +\mathbf {F_{2}} }$

右の図は、「先端から尾まで」法を用いて2つの力を加算する方法を示しています。この方法では、最初の力の先端から、、、の力を描きます。そして、結果として生じる力、つまり「合計」の力 を、最初の力の始点（尾）から2番目の力の終点（先端）まで描きます。この概念を理解することは、力がどのように相互作用し、組み合わさって物体の運動と平衡に影響を与えるかを理解するための基礎となります。 ${\displaystyle {\mathbf {\mathbf {a} }}}$ ${\displaystyle {\mathbf {\mathbf {b} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{t}={\mathbf {\mathbf {a} }}+{\mathbf {\mathbf {b} }}}$

拡張された物体（一点ではない物体）に力が作用する場合、力は複数の点に作用することがあります。このような力は「境界ベクトル」と呼ばれます。これらの力を合計するには、同じ点に作用させる必要があることを覚えておくことが重要です。

「正味の力」という概念は、物体に作用するこれらの力の総合的な効果を考察する際に役立ちます。しかし、正味の力だけでは、必ずしも物体の運動が維持されるとは限りません。これは、正味の力に加えて、これらの力に伴う「トルク」、つまり回転効果も重要だからです。元の力の効果を再現するには、正味の力を適切な位置に、適切なトルクで加える必要があります。

正味の力と適切なトルクが一点に加えられると、それらは合力と呼ばれるものを形成します。この合力とトルクの組み合わせは、物体に対して、元の力とそれに関連するトルクと同じ効果をもたらします。

力の加算に関する平行四辺形の法則

力は境界ベクトルとして知られています。つまり、力には方向と大きさがあり、作用点があります。力を定義する便利な方法は、点Aから点Bへの線分です。これらの点の座標をA = (A _x , A _y , A _z )、 B = (B _x , B _y , B _z )とすると、 Aに作用する力のベクトルは次のように表されます。

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {B} -\mathbf {A} =(B_{x}-A_{x},B_{y}-A_{y},B_{z}-A_{z}).}$

ベクトルの長さは 大きさを定義し、次のように与えられる。 ${\displaystyle \mathbf {\mathbf {B}} -\mathbf {\mathbf {A}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\mathbf {F}} }$

${\displaystyle |\mathbf {F} |={\sqrt {(B_{x}-A_{x})^{2}+(B_{y}-A_{y})^{2}+(B_{z}-A_{z})^{2}}}.}$

Aに作用する2つの力F ₁と F ₂の和は、_それらを定義する線分の和から計算できます。F 1  =  B − A、F ₂  =  D − Aとすると、これら2つのベクトルの和は

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}=\mathbf {B} -\mathbf {A} +\mathbf {D} -\mathbf {A} ,}$

これは次のように書ける。

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}=2\left({\frac {\mathbf {B} +\mathbf {D} }{2}}-\mathbf {A} \right)=2(\mathbf {E} -\mathbf {A} ),}$

ここで、Eは点Bと点Dを結ぶ線分BDの中点です。

したがって、力F ₁とF ₂の和は、2つの力の端点BとDを結ぶ線分の中点EとAを結ぶ線分の2倍になります。この長さを2倍にするには、 ADとABにそれぞれ平行な線分BCとDCを定義し、平行四辺形ABCD を完成させれば簡単に実現できます。この平行四辺形の対角線AC は、2つの力のベクトルの和です。これは、力の加法における平行四辺形の法則として知られています。

力による並進と回転

ポイントフォース

粒子に力が作用する場合、力は一点（粒子の体積は無視できる）に作用します。これは点力であり、粒子が作用点となります。一方、拡張された物体（物体）に作用する外力は、その構成粒子の複数に作用する可能性があり、つまり、物体のある体積または表面に「広がる」可能性があります。しかし、物体に対する回転効果を決定するには、作用点（実際には、後述するように作用線）を特定する必要があります。この問題は通常、以下の方法で解決されます。

• 多くの場合、力が作用する体積または表面積は物体の大きさに比べて比較的小さいため、点で近似することができます。このような近似によって生じる誤差が許容できるかどうかを判断することは、通常、難しくありません。
• それが受け入れられない場合（例えば重力の場合など）、そのような「体積／表面積」力は、それぞれが単一の粒子に作用する力（成分）の系として記述し、それぞれの力について個別に計算を行う必要があります。このような計算は、通常、物体の体積／表面積の微分要素と積分法を用いることで簡略化されます。しかしながら、多くの場合、このような力の系は、実際の計算を行わずに単一の点力に置き換えることができることが示されています（一様重力の場合など）。

いずれにせよ、剛体の運動解析は点力モデルから始まります。そして、物体に作用する力をグラフで表す場合、力を表す有向線分は通常、作用点で「始まる」（または「終わる」）ように描かれます。

剛体

力が物体を加速させる仕組み。

右図の例では、自由剛体の作用点Hに単一の力が作用しています。この剛体は質量を持ち、その重心は点Cです。定質量近似では、この力は次式で表される剛体の運動に変化を引き起こします。 ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \mathbf {a} ={\mathbf {F} \over m}}$    質量加速度の中心であり、

${\displaystyle \mathbf {\alpha } ={\mathbf {\tau } \over I}}$ 物体の角加速度   です。

2番目の式では、はトルクまたは力のモーメントであり、は物体の慣性モーメントです。力によって生じるトルクは、ある基準点に対して定義されるベクトル量です。 ${\displaystyle \mathbf {\tau } }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

${\displaystyle \mathbf {\tau } =\mathbf {r} \times \mathbf {F} }$    はトルクベクトルであり、

${\displaystyle \ \tau =Fk}$    トルクの量です。

ベクトルは力の作用点の位置ベクトルであり、この例では質量中心を基準点として描かれています（図を参照）。直線部分は、質量中心に対する力のてこ作用角です。図が示すように、作用点を力の作用線（黒の点線）に沿って移動させても、トルクは変化しません（てこ作用角は同じです）。より正式には、これはベクトル積の特性から導かれ、力の回転効果は作用線の位置のみに依存し、その線に沿った作用点の特定の選択には依存しないことを示しています。 ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

トルクベクトルは、力とベクトルによって定義される平面に垂直であり、この例では観測者の方向を向いています。角加速度ベクトルも同じ方向を向いています。右手の法則は、この方向が図の平面における時計回りまたは反時計回りの回転と関連していることを示しています。 ${\displaystyle \mathbf {r} }$

慣性モーメントは、トルクと平行な質量中心を通る軸を基準として計算されます。図に示されている物体が均質な円盤である場合、この慣性モーメントは です。円盤の質量が0.5 kgで半径が0.8 mの場合、慣性モーメントは0.16 kgm ²です。力が2 Nでレバーアームの長さが0.6 mの場合、トルクは1.2 Nmです。図に示されている瞬間、力は円盤に角加速度 α = τ /I = 7.5 rad/s ²を与え、その質量中心に直線加速度a  = F / m  = 4 m/s ²を与えます。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I=mr^{2}/2}$

合力

合力のグラフィカルな配置。

合力とトルクは、剛体の運動に作用する力の系の効果を置き換えるものです。興味深い特殊な例として、トルクフリーの合力があります。これは次のように求められます。

1. ベクトル加算はネット力を求めるために使用されます。
2. 次の式を使用して、トルクがゼロになる適用ポイントを決定します。

${\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {F} _{\mathrm {R} }=\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i})}$

ここでは正味の力、はその作用点の位置を示し、個々の力は作用点 にあります。トルクフリーの結果をもたらす作用点が存在しない可能性があります。 ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {R} }}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$

反対側の図は、単純な平面システムの合力の作用線を見つけるための簡単なグラフィカル手法を示しています。

1. 左端の図では、実際の力の作用線とが交差しています。「 の位置」でベクトルの加算が行われた後、得られた正味の力は、その作用線が共通の交点を通るように平行移動されます。この点に関してすべてのトルクはゼロであるため、合力のトルクは実際の力のトルクの合計に等しくなります。${\displaystyle \mathbf {F} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {R} }}$
2. 図の中央の図は、2つの平行な実力を示しています。「 の位置」でベクトル加算を行った後、正味の力は適切な作用線に変換され、そこで合力 となります。この手順は、すべての力を、作用線（薄い点線）が一点（図の右側に任意に設定されたいわゆる極）で交差する成分に分解することに基づいています。次に、前のケースの議論を力とその成分に適用し、トルクの関係を示します。${\displaystyle \mathbf {F} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {R} }}$
3. 右端の図は、等しいが反対向きの2つの力の対を示しています。これらの力の正味の力はゼロですが、正味のトルクが生じます。   ここで  、 は作用線間の距離です。合力は発生しないため、このトルクは「純粋」トルクと表現できます。${\displaystyle \tau =Fd}$ ${\displaystyle \ d}$

使用法

非平行な力の加算のベクトル図。

一般に、剛体に作用する力の系は、常に1つの力と1つの純粋なトルク（前のセクションを参照）の組み合わせに置き換えることができます。この力は正味の力ですが、追加のトルクを計算するには、正味の力を作用線に割り当てる必要があります。作用線は任意に選択できますが、追加の純粋なトルクはこの選択に依存します。特殊なケースでは、この追加のトルクがゼロとなるような作用線を見つけることが可能です。

合力とトルクは、どのような力の組み合わせに対しても決定できます。しかし、興味深い特殊なケースとして、トルクフリーの合力があります。これは、物体が粒子のように回転せずに運動するため、概念的にも実用的にも有用です。

一部の著者は合力と正味力を区別せず、これらの用語を同義語として使用しています。^[4]

参照

• ねじ理論
• 重心
• 非均一場における重心

参考文献

1. 「University Physics Volume 1」. openstax.org . 2016年9月19日.
2. サイモン、キース・R.（1964年）、力学、アディソン・ウェスレー、LCCN  60-5164
3. Michael J. Crowe (1967).ベクトル解析の歴史：ベクトルシステムの概念の進化. Dover Publications (復刻版; ISBN 0-486-67910-1）。
4. Resnick, Robert and Halliday, David (1966), Physics, (Vol I and II, Combined edition), Wiley International Edition, Library of Congress Catalog Card No. 66-11527