自然数

数学において、自然数は0、1、2、3 などの数字で、0は除外される場合があります。[ a ] ^[^1]正の整数、非負の整数、整数、および数という用語も使用されます。^[2]^[3]自然数の集合は、一般的に太字のNまたは黒板 $太字$ で表されます。 $\mathbb {N}$

自然数は、数を数えるため、また「 1週間は7日ある」のように数え上げの結果をラベル付けするために用いられ、基数と呼ばれます。また、「月の3日目」のように、順序付けられた数列における位置をラベル付けするためにも用いられ、序数と呼ばれます。さらに、スポーツチームの背番号のように、自然数はラベル付けにも用いられます。この場合、自然数は特定の数学的性質を持たず、名目数と呼ばれます。^[4]

自然数には、加算と乗算という2つの自然演算が定義されています。算術はこれらの演算を実行する方法を研究する学問です。数論はこれらの演算の性質とその一般化を研究する学問です。組合せ論の多くは、自然数を用いて定義される数学的対象、パターン、構造を数えることに関わっています。

多くの数体系は自然数から構築され、自然数を含んでいます。例えば、整数は0と負の数を含んで構成されます。有理数は分数を加算し、実数はすべての無限小数を加算します。複素数は $-1$ の平方根を加算します。^[5] このように、自然数はあらゆる数学の基礎となっています。^[6]

用語と表記

自然数という用語には、 $0, 1, 2, ...$ または $1, 2, 3, ...$ という2つの一般的な定義があります。普遍的な慣習がないため、定義は使用状況に応じて選択されます。^[1]^{[7]曖昧さを排除するために、} $1, 2, 3, ...$ と $0, 1, 2, ...$ という数列は、それぞれ正の整数と非負の整数と呼ばれることがよくあります。

整数という用語は、0を含む自然数を指すのによく使われますが、正負すべての整数を指す場合もあります。^[8]^[2]初等教育では、数える数は通常1から始まる自然数を指しますが、^[3]この定義は変化する場合もあります。^[9]^[10]

自然数全体の集合は、通常Nと表記されるか、 $黒板$ 太字で[ 7 ^]^[11]^[b]と表記されます。0が含まれるかどうかは文脈によって決まることが多いですが、または（整数全体の集合）に添え字または上付き文字を付けて指定することもできます。例としては、1から始まる集合の場合は^[13]または^[14] 、 0を含む集合の場合は[ ^15]または^{[16]などがあります。} $\mathbb {N} .$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {N} _{1}$ $\mathbb {Z} ^{+}$ $\mathbb {N} _{0}$ $\mathbb {Z} ^{0+}$

直感的なコンセプト

自然数に対する直感的かつ暗黙的な理解は、数を数えたり、順序付けたり、基本的な算術に使うことで自然に培われます。この中には、自然数とは何かという2つの密接に関連する側面、すなわち集合の大きさと、列における位置が含まれます。

コレクションのサイズ

自然数は、「テーブルの上にリンゴはいくつあるか？」といった質問に答えるために使うことができます。^{[17]このように使われる自然数は}、物体の集合の特性を表します。この特性、つまり集合の大きさは基数と呼ばれ、それを記述または測定するために使用される自然数は基数と呼ばれます。

2つのコレクションが同じサイズまたは基数を持つとは、それぞれのコレクション内のオブジェクトと、もう一方のコレクション内のオブジェクトとの間に1対1の対応関係がある場合を指します。例えば、右の図では、すべてのリンゴは1つのオレンジとペアにすることができ、すべてのオレンジは1つのリンゴとペアにすることができます。このことから、数を数えたり使用したりしなくても、リンゴのグループとオレンジのグループは同じ基数を持つことがわかります。つまり、両方に同じ基数が割り当てられているということです。

自然数 3 は、上で説明した特定の基数、およびこれらのグループのいずれかに同じように組み合わせることができる他の任意のオブジェクトの集合の基数として使用されます。

シーケンス内の位置

自然数は1、2、3、…と続く、よく知られた数列で、一定の順序を持っています。自然数は、他の数列における特定の位置を表すために使用することができ、その場合、それは序数と呼ばれます。数列において特定の位置を持つということは、数列中の他のすべての位置よりも、定義された方法で前または後に来ることを意味します。これが順序の概念です。

自然数3は、2と1の後に来る数であり、 4、5、…の前に来る数です。2は1の後に来る数であり、1は数列の最初の要素です。それぞれの数は、その位置が無限数列の残りの部分と持つ関係を表しています。^[18]

カウント

数を数えるというプロセスには、自然数の基数と序数の両方が含まれ、この2つがどのように組み合わされているかを示しています。集合内の物体の数を数えるには、各物体を自然数とペアにして、通常は心の中で、または口頭でその数の名前を唱え、それを特定の物体に割り当てます。数は1から始まる順番に割り当てる必要があります（序数です）。ただし、各物体に1つの番号だけが割り当てられている限り、選択する物体の順序は任意です。すべての物体に番号が割り当てられると、最後の物体に割り当てられた序数がカウントの結果となり、これが集合全体の基数となります。

歴史

古代のルーツ

自然数を表す最も原始的な方法は、指を使って数えることです。指の数え方にも原始的な方法があります。それぞれの対象に目盛りを付けるというのも原始的な方法です。後に、目盛りを消して対象を一つ取り除くことで、対象の集合が等しいか、過剰か、不足かを判定できるようになりました。

抽象化における最初の大きな進歩は、数を数で表すようになったことです。これにより、大きな数を記録するためのシステムが開発されました。古代エジプト人は、1、10、そして100万を超えるすべての10の累乗を表す明確な象形文字を用いた強力な数体系を開発しました。紀元前1500年頃のカルナック神殿の石彫（現在はパリのルーブル美術館所蔵）には、276が2つの百、7つの十、6つの一として描かれています。4622も同様です。バビロニア人は、基本的に1と10の数字に基づく位取り記数法を用いており、60を基数としていました。そのため、60の記号は1の記号と同じで、その値は文脈から判断されていました。^[22]

ずっと後の進歩として、 0 は独自の数字をもつ数とみなせるという考え方が発展した。位取り記数法 (他の数の中の) で0 という数字の使用は、早くも紀元前 700 年のバビロニア人によって行われ、その数字の最後の記号となるはずだった数字を省略した。 ^[c]オルメカ文明とマヤ文明では、早くも紀元前 1 世紀に 0 を独立した数として使用していたが、この用法はメソアメリカを越えて広まらなかった。^[24]^[25]現代における数字 0 の使用は、インドの数学者Brahmaguptaが 628 年に始めた。しかし、中世の computus (復活祭の日付の計算) では、 525 年のDionysius Exiguusに始まり、 0 は数字で示されずに数として使用されていた。標準的なローマ数字には 0 の記号はない。代わりに、ラテン語で「なし」を意味するnullusのnulla (または属格形nullae ) が0 値を表すために使用されました。^[26]

数を抽象概念として体系的に研究した最初の人物は、ギリシャの哲学者ピタゴラスとアルキメデスとされる。ギリシャの数学者の中には、1をそれより大きな数とは異なる扱いをし、時には数として扱わなかった者もいた。^[d]例えばユークリッドは、まず単位を定義し、次に数を単位の集合として定義した。したがって、彼の定義によれば、単位は数ではなく、一意の数は存在しない（例えば、無限に多くの単位から任意の2つの単位を引いたものは2である）。^{[28]しかし、そのすぐ後に現れる}完全数の定義では、ユークリッドは1を他の数と同様に扱っている。^[29]

数字に関する独立した研究は、インド、中国、メソアメリカでもほぼ同時期に行われました。^[30]

用語としての「出現」

ニコラ・シュケは1484年に「自然進行」という用語を使用した。^[31]「自然数」という完全な英語のフレーズとして最も古い使用は1763年のものである。^[32]^[33] 1771年のブリタニカ百科事典では、対数の項目で自然数が定義されている。^[33]

0から始まるか1から始まるかは、長い間定義の問題でした。1727年、ベルナール・ル・ボヴィエ・ド・フォントネルは、距離と元の概念が、自然数を0を含むか含まないかで定義することにつながったと記しました。^[34] 1889年、ジュゼッペ・ペアノは正の整数としてNを使用し、1から始めましたが^{[35] 、後にN}₀とN ₁を使用するように変更しました。^[36]歴史的に、ほとんどの定義は0を除外してきましたが、 ^[33]^{[37 ]}^[38]ジョージ・A・ウェントワース、バートランド・ラッセル、ニコラ・ブルバキ、ポール・ハルモス、スティーブン・コール・クリーネ、ジョン・ホートン・コンウェイなどの多くの数学者は0を含めることを好みました。 ^[39]^[33]このアプローチは1960年代に広く採用され、 ^[33]ISO 31-11 （1978）で正式化され、自然数はゼロを含むように定義され、現在のISO 80000-2規格にも引き継がれています。^[40]

正式な建設

19世紀のヨーロッパでは、自然数の正確な性質について数学的・哲学的な議論が交わされました。アンリ・ポアンカレは、公理は有限の適用においてのみ証明できると述べ、同じ行為の無限の繰り返しを思い描くことができるのは「心の力」であると結論づけました。^[41] レオポルド・クロネッカーは、自身の信念を「神は整数を創造し、それ以外はすべて人間の業である」と要約しました。^[e]

構成主義者たちは、数学の基礎における論理的厳密さを改善する必要性を感じていた。^[f] 1860年代、ヘルマン・グラスマンは自然数の再帰的定義を提唱し、自然数は実際には自然ではなく、定義の帰結であると述べた。後に、集合論とペアノの公理を用いた2種類の形式的定義が登場した。さらに後に、これらはほとんどの実用的応用において等価であることが示された。

自然数の集合論的定義はフレーゲによって開始された。彼は当初、自然数を特定の集合と一対一に対応するすべての集合のクラスとして定義した。しかし、この定義はラッセルのパラドックスを含むパラドックスにつながることが判明した。こうしたパラドックスを回避するために、自然数は特定の集合として定義され、その集合と一対一に対応できる任意の集合はその数の要素を持つと言われるように形式論が修正された。^[44]

1881年、チャールズ・サンダース・パースは、自然数算術の最初の公理化を行った。 ^[45]^[46] 1888年、リチャード・デデキントは、自然数算術の別の公理化を提案し、^[47] 1889年にペアノは、デデキントの公理の簡略化されたバージョンを彼の著書『新手法による算術の原理』（ラテン語：Arithmetices principia, nova methodo exposita）で発表した。このアプローチは現在、ペアノ算術と呼ばれている。これは、順序数の特性の公理化に基づいている。すなわち、各自然数は後続の数を持ち、すべての非ゼロの自然数は一意の先行数を持つ。ペアノ算術は、集合論のいくつかの弱いシステムと等価である。そのようなシステムの1つが、無限公理をその否定に置き換えたZFCである。^[48] ZFCで証明できるがペアノ公理では証明できない定理にはグッドスタインの定理がある。^[49]

正式な定義

自然数の正式な定義は、既存の直感的な自然数概念と算術規則を、より基本的な数理論理学の用語で定義するものです。これを行うための標準的な方法は2つあります。ペアノの公理と集合論です。

ペアノ公理（ジュゼッペ・ペアノにちなんで名付けられた）は、自然数が何であるかを明示的に定義するのではなく、自然数がどのように定義されても必ず成り立つ命題または公理のリストで構成されています。対照的に、集合論は各自然数を特定の集合として定義します。集合は一般的に、異なるオブジェクトまたは要素の集合として理解できます。2つのアプローチは異なりますが、自然数集合が全体としてペアノ公理を 満たすという点で一貫しています。

ペアノの公理

ペアノの5つの公理は以下の通りである: ^[50]^[g]

0は自然数です。
すべての自然数には、それと同じ自然数が存在します。
0 はどの自然数の後続数でもありません。
の後続がの後続に等しい場合、はに等しくなります。 $x$ $y$ $x$ $y$
帰納法の公理:ある文が 0 について真であり、ある数についてその文が真であれば、その数の次の数についても真であることを意味する場合、その文はすべての自然数について真である。

これらはペアノが最初に発表した公理ではありませんが、彼に敬意を表して名付けられました。ペアノ公理のいくつかの形では、0の代わりに1が使われます。通常の算術では、の次の公理はです。 $x$ $x+1$

集合論的定義

集合論において、各自然数 $n$ は明示的に定義された集合として定義され、その要素によって他の集合の要素を数えることができる。様々な構成法が提案されているが、標準的な解法（フォン・ノイマンによる）^[51]は、各自然数 $nを$ $n$ 個の要素を含む集合として以下のように定義することである。

$0 = { }$ 、つまり空集合を呼び出します。
任意の集合 $aの$ 後継集合 $S (a)を$ $S$ $($ $a$ $)=$ $a\cup$ ${$ $a$ $}$ で定義する。
無限公理により、0を含み、後続関数に関して閉じた集合が存在する。そのような集合は帰納的集合と呼ばれる。すべての帰納的集合の共通集合は、やはり帰納的集合である。
この共通部分は自然数の集合です。

これは、フォン・ノイマン順序数と呼ばれることもある、ペアノ公理を満たす自然数の反復定義を生成します。

$0 = { }$
$1 = 0 \cup {0} = {0} = {{ }}$
$2 = 1 \cup {1} = {0, 1} = {{ }, {{ }}}$
$3 = 2 \cup {2} = {0, 1, 2} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}$
$n = n -1 \cup {n -1} = {0, 1, ..., n -1} = {{ }, {{ }}, ..., {{ }, {{ }}, ...}}$

この定義では、各自然数はそれより小さい自然数全体の集合に等しい。自然数 $n$ が与えられたとき、「集合 $Sは$ $n$ 個の要素を持つ」という文は、「 $n$ から $S$ への一対一性が存在する」と正式に定義できる。これは $S$ の要素を数える操作を形式化する。また、 $n$ $\leq$ $m$ となるのは、 $n が$ $m$ の部分集合である場合に限る。言い換えれば、集合包含は自然数上の通常の全順序を定義する。この順序は整順序である。

もう一つの建造物は、ツェルメロ順序数^[52] $0 = {}$ および $S (a)={a}$ を定義しており、現在では主に歴史的な関心の対象となっている。

プロパティ

このセクションでは、規則を使用します。 $\mathbb {N} =\mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} ^{*}\cup \{0\}$

追加

自然数の集合と、各自然数を次の自然数に渡す後続関数が与えられれば、すべての $a$ 、 $bについて$ $a$ $+ 0 =$ $a$ および $a$ $+$ $S$ $($ $b$ $) =$ $S$ $($ $a$ $+$ $b$ $)$ と設定することにより、自然数の加算を再帰的に定義できます。したがって、 $a$ $+ 1 =$ $a$ $+ S(0) = S($ $a$ $+0) = S($ $a$ $)$ 、 $a$ $+ 2 =$ $a$ $+ S(1) = S($ $a$ $+1) = S(S($ $a$ $))$ などとなります。代数構造は、単位元が 0である可換モノイドです。これは、 1 つの生成元上の自由モノイドです。この可換モノイドは消去特性を満たすため、グループに埋め込むことができます。自然数を含む最小のグループは整数です。 $\mathbb {N}$ $S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ $(\mathbb {N} ,+)$

$1 をS (0)$ と定義すると、 $b + 1 = b + S (0) = S (b + 0) = S (b)$ となる。つまり、 $b + 1は単に$ $b$ の次数である。

乗算

同様に、加算が定義されている場合、乗算演算子は $a$ $\times 0 = 0$ および $a$ $\times S($ $b$ $) = ($ $a$ $\times$ $b$ $) +$ $a$ によって定義できます。これは単位元が1である自由可換モノイドになります。このモノイドの生成元集合は素数集合です。 $\times$ $(\mathbb {N} ^{*},\times )$

加算と乗算の関係

加算と乗算は両立し、分配法則 $a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$ で表現されます。加算と乗算のこれらの性質により、自然数は可換半環の一例となります。半環は、乗算が必ずしも可換ではない、自然数の代数的一般化です。加法逆数が存在しないことは、減算に関して閉じていない（つまり、ある自然数から別の自然数を減算しても、必ずしも別の自然数にならない）という事実と同等であり、は環ではなく、半環（リグとも呼ばれる）であることを意味します。 $\mathbb {N}$ $\mathbb {N}$

自然数を「0を除く」かつ「1から始まる」とすると、+と×の定義は上記と同じですが、 $a + 1 = S (a)$ と $a \times 1 = a$ で始まります。さらに、には単位元がありません。 $(\mathbb {N^{*}} ,+)$

注文

$この節では、 ab$ などの並置された変数は積 $a \times b$ を示し、^[53]標準的な演算順序が想定されています。

自然数の全順序は、a ≤ b と、a + c = b となる別の自然数 c が存在する場合に限り定義されます。この $順序は、$ $次$ $の$ $意味$ $で$ $算術$ 演算 $と$ 両立します。a 、 $b$ $、$ c $が$ 自然数であり、 $a$ $\leq$ $b$ である場合、 $a$ $+$ $c$ $\leq$ $b$ $+$ $c$ かつ $ac$ $\leq$ $bc です$ 。

自然数の重要な性質の一つは、それらが整列していることである。すなわち、空でない自然数の集合はすべて最小元を持つ。整列集合間の順位は順序数で表され、自然数の場合、これは $ω$ （オメガ）で表される。

分割

$このセクションでは、 ab$ などの並置された変数は積 $a \times b$ を示し、標準的な演算順序が想定されています。

一般に、ある自然数を別の自然数で割って自然数を得ることはできませんが、剰余除算やユークリッド除算の手順を代わりに使用できます。つまり、 $b$ $\neq0$ である任意の2つの自然数 $a$ と $bに対して、自然数$ $q$ と $r$ が存在し、

a=bq+r{\text{ and }}r<b.

数 $q$ は $a を$ $b$ で割ったときの商、 r は余りと $呼ば$ れます。数 $q$ と $rは$ $a$ と $b$ によって一意に決まります。このユークリッドの除算は、他のいくつかの性質（割り切れるかどうか）、アルゴリズム（ユークリッド互除法など）、そして数論における概念の鍵となります。

自然数が満たす代数的性質

上記で定義した自然数の加算 (+) と乗算 (×) の演算には、いくつかの代数的性質があります。

加法と乗法の閉包：すべての自然数 $a$ と $b$ に対して、 $a + b$ と $a \times b$ はどちらも自然数である。^[54]
結合法則：すべての自然数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ に対して、 $a + (b + c) = (a + b) + c$ かつ $a \times (b \times c) = (a \times b) \times c$ である。^[55]
交換法則：すべての自然数 $a$ と $b$ に対して、 $a + b = b + a$ かつ $a \times b = b \times a$ である。^[56]
単位元の存在: すべての自然数aに対して、a + 0 = aかつa × 1 = a。
- 自然数を「0を除く」かつ「1から始まる」とすると、すべての自然数 $a$ に対して、 $a \times 1 = a$ となる。しかし、「加法単位元の存在」という性質は満たされない。
$すべての自然数a$ 、 $b$ 、 $c$ に対する乗算と加算の分配性は、 $a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$ です。
非ゼロの零約数は存在しない: $a$ と $bが$ $a \times b = 0$ となる自然数である場合、 $a = 0$ または $b = 0$ (あるいはその両方) となる。

一般化

自然数は、数量化と順序付けという2つの用途で広く用いられます。集合体に含まれる物体の数量を表す数（「テーブルの上には6枚のコインがある」など）は基数（カーディナル）と呼ばれ、集合体に含まれる個々の物体の順序付けを表す数（「彼女はレースで6位になった」など）は序数（オルディナル）と呼ばれます。

自然数のこれら2つの用法は有限集合にのみ適用されます。ゲオルク・カントールは19世紀末に、自然数のこれら2つの用法は無限集合にも一般化できることを発見しましたが、それらは「無限」数という2つの異なる概念、すなわち基数と順序数につながることを示しました。

自然数のその他の一般化については、「数 § 概念の拡張」で説明します。

参照

正の整数の標準表現 - 素数の積としての数の表現
可算集合 – 数え上げることができる数学的な集合
シーケンス – 別の集合内の自然数の関数
順序数 – 「n番目」を無限の場合に一般化
基数 – 無限集合の大きさ
自然数の集合論的定義 – 集合論の公理

注記

^ 0 が自然数であるかどうかは著者と文脈によって異なります。
^ 古い文献では、このセットの記号として $J$ ^{が時々使われていました。 [12]}
^ キシュで発見された粘土板は紀元前700年頃のものと推定されており、位置記法において空いている場所を示すために3つの鉤が用いられている。同時期に作られた他の粘土板では、空いている場所に1つの鉤が用いられている。^[23]
^ この慣例は、例えばユークリッドの『原論』でも使われています。D.ジョイスのウェブ版第7巻を参照。^[27]
^ 英語訳はグレイによる。脚注でグレイはドイツ語の引用を「ウェーバー 1891–1892, 19、1886年のクロネッカーの講義からの引用」としている。^[42]^[43]
^ 「20世紀の数学研究の多くは、数学という学問の論理的基礎と構造の検証に費やされてきた。」（Eves 1990, p. 606）
^ ハミルトン (1988, 117ページ以降) はこれらを「ペアノの公理」と呼び、「1. 0 は自然数である」で始まる。
ハルモス (1974, 46ページ) は、5つの公理について算術言語ではなく集合論の言語を用いている。彼は「(I) $0 \in ω$ (もちろん、 $0 = \emptyset である$ )」( $ω$ はすべての自然数の集合) で始める。モラッシュ (1991) は、自然数が1から始まる「2部構成の公理」を提示している。(第10.1節:正の整数の公理化)

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外部リンク

ウィキメディア・コモンズには、自然数に関連するメディアがあります。

「自然数」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
「公理と自然数の構成」apronus.com。