非線形システム

数学と科学において、非線形システム（または非線形システム）は、出力の変化が入力の変化に比例しないシステムである。 ^[1]^{[2]非線形問題は、ほとんどのシステムが本質的に非線形であるため、}エンジニア、生物学者、^[3]^[4]^[5]物理学者、^[6]^[7]数学者、その他多くの科学者の関心事である。^[8]時間の経過に伴う変数の変化を記述する非線形動的システムは、はるかに単純な線形システムとは対照的に、混沌としていたり、予測不可能であったり、直感に反したりするように見えることがある。

通常、非線形システムの挙動は数学では非線形方程式系によって記述されます。これは、未知数 (微分方程式の場合は未知の関数) が 1 より高次の多項式の変数として、または 1 次多項式ではない関数の引数として現れる一連の同時方程式です。言い換えると、非線形方程式系では、解くべき方程式は、そこに登場する未知の変数または関数の線形結合として記述することはできません。既知の線形関数が方程式に現れるかどうかに関わらず、系は非線形として定義できます。特に、微分方程式は、そこに現れる他の変数に関しては非線形であっても、未知の関数とその導関数に関して線形であれば 線形です。

非線形動的方程式は解くのが難しいため、非線形システムは一般に線形方程式で近似されます (線形化)。この方法は、ある程度の精度と入力値の範囲まではうまく機能しますが、ソリトン、カオス^[9]、特異点などの興味深い現象が線形化によって隠れてしまいます。そのため、非線形システムの動的動作のいくつかの側面は、直感に反し、予測不可能で、さらにはカオス的に見えることがあります。このようなカオス的な動作はランダムな動作に似ている場合がありますが、実際にはランダムではありません。たとえば、天気のいくつかの側面はカオス的であり、システムの一部で単純な変化が起こると、システム全体に複雑な影響が生じます。この非線形性は、現在の技術では正確な長期予報が不可能な理由の 1 つです。

一部の著者は、非線形システムの研究に「 非線形科学」という用語を使用しています。この用語については異論もあります。

非線形科学のような用語を使用することは、動物学の大部分をゾウ以外の動物の研究であるとみなすようなものです。

— スタニスワフ・ウラム^[10]

意味

数学において、線型写像（または線型関数）とは次の両方の特性を満たすものです。 $f(x)$

加法性または重ね合わせの原理： $\textstyle f(x+y)=f(x)+f(y);$
均質性: $\textstyle f(\alpha x)=\alpha f(x).$

加法性は任意の有理関数 αに対して同次性を意味し、連続関数 αに対しては任意の実関数 αに対して同次性を意味します。複素関数 αの場合、同次性は加法性から導き出されません。例えば、反線型写像は加法性はありますが、同次ではありません。加法性と同次性の条件は、重ね合わせ原理においてしばしば組み合わされます。

f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)

次のように書かれた方程式

f(x)=C

は、（上で定義したように）線型写像である場合には線型、そうでない場合には非線型と呼ばれます。この方程式は、が同次関数である場合には同次と呼ばれます。 $f(x)$ $C=0$ $f(x)$

の定義は非常に一般的であり、は任意の数学的オブジェクト（数値、ベクトル、関数など）にすることができ、関数は文字通り任意の写像にすることができ、これには関連する制約（境界値など）を伴う積分や微分も含まれます。がについて微分を含む場合、結果は微分方程式となります。 $f(x)=C$ $x$ $f(x)$ $f(x)$ $x$

非線形方程式系

非線形方程式系は、複数の変数を持つ方程式の集合で構成され、そのうちの少なくとも 1 つは線形方程式ではありません。

形式の単一方程式に対しては、多くの手法が考案されています。「根を求めるアルゴリズム」を参照してください。f $が$ 多項式の場合、次のような多項式方程式が存在します。一般的な根を求めるアルゴリズムは多項式の根に適用されますが、一般的にすべての根が求まるわけではなく、根が見つからない場合でも、根が存在しないことを意味するわけではありません。多項式に特有の手法では、すべての根または実根を求めることができます。「実根分離」を参照してください。 $f(x)=0,$ $x^{2}+x-1=0.$

多項式方程式系を解くこと、つまり複数の変数を持つ複数の多項式の集合の共通零点を見つけることは難しい問題であり、グレブナー基底アルゴリズムなどの精巧なアルゴリズムが設計されてきた。^[11]

微分可能な関数を零点に等しくすることで形成される連立方程式の一般的なケースでは、ニュートン法とその変種が主な手法です。これらの方法は一般に解を与えることはできますが、解の個数に関する情報は提供しません。

非線形再帰関係

非線形回帰関係は、ある数列の連続する項を、先行する項の非線形関数として定義する。非線形回帰関係の例としては、ロジスティック写像や、様々なホフスタッター数列を定義する関係などが挙げられる。広範な非線形回帰関係を表現する非線形離散モデルには、NARMAX（外生入力による非線形自己回帰移動平均）モデルや、関連する非線形システム同定・解析手順などがある。^[12]これらのアプローチは、時間、周波数、時空間領域における広範な複雑な非線形挙動を研究するために用いることができる。

非線形微分方程式

微分方程式系は、線形方程式系でない場合、非線形であると言われます。非線形微分方程式を含む問題は非常に多様であり、解法や解析法は問題によって異なります。非線形微分方程式の例としては、流体力学におけるナビエ・ストークス方程式や生物学におけるロトカ・ヴォルテラ方程式などが挙げられます。

非線形問題における最大の難しさの一つは、既知の解を組み合わせて新しい解を作ることが一般的に不可能であることです。例えば線形問題では、線形独立な解の族を用いて、重ね合わせの原理によって一般解を構築することができます。その良い例として、ディリクレ境界条件を持つ1次元熱輸送が挙げられます。この解は、異なる周波数の正弦波の時間依存線形結合として表すことができます。これにより、解は非常に柔軟になります。非線形方程式には非常に具体的な解が複数見つかることがよくありますが、重ね合わせの原理がないため、新しい解を構築することはできません。

常微分方程式

1階常微分方程式は、特に自律方程式の場合、変数分離によって厳密に解けることが多い。例えば、非線形方程式

{\frac {du}{dx}}=-u^{2}

は一般解として（そしてCが無限大に近づくときの一般解の極限に対応する特殊解としても）持つ。この方程式は非線形であり、次のように書ける。 $u={\frac {1}{x+C}}$ $u=0,$

{\frac {du}{dx}}+u^{2}=0

方程式の左辺はとその導関数の線形関数ではありません。項をに置き換えると、問題は線形関数（指数関数的減少問題）になることに注意してください。 $u$ $u^{2}$ $u$

2 次以上の常微分方程式 (より一般的には、非線形方程式のシステム)では、暗黙的な解や非基本積分を含む解は見られますが、閉じた形式の解が得られることはめったにありません。

非線形常微分方程式の定性分析によく使われる手法には以下のものがあります。

特にハミルトン系における保存量の検討
保存量に類似した散逸量（リアプノフ関数を参照）の検討
テイラー展開による線形化
変数を研究しやすいものに変更する
分岐理論
摂動法（代数方程式にも適用可能）
有限持続解の存在^[13]。これは、いくつかの非線形常微分方程式に対して特定の条件下で発生する可能性がある。

偏微分方程式

非線形偏微分方程式を研究する最も一般的な基本的なアプローチは、変数を変更（あるいは問題を変換）して、結果として得られる問題をより単純化（線形化も可能）することです。場合によっては、変数分離法で見られるように、方程式を1つまたは複数の常微分方程式に変換することがあります。これは、結果として得られる常微分方程式が解けるかどうかに関わらず、常に有用です。

流体力学や熱力学でよく用いられる、もう1つの一般的な（ただし数学的ではない）手法は、スケール解析を用いて、特定の境界値問題における一般的な自然方程式を簡略化することです。例えば、（非常に）非線形なナビエ・ストークス方程式は、円管内の過渡的、層流、一次元流れの場合、1つの線形偏微分方程式に簡略化できます。スケール解析は、流れが層流かつ一次元となる条件を与え、簡略化された方程式も導き出します。

その他の方法としては、特性を調べたり、常微分方程式に上記で概説した方法を使用したりすることが挙げられます。

振り子

古典的で広く研究されている非線形問題の一つに、重力の影響下にある摩擦のない振り子の力学がある。ラグランジュ力学を用いると、振り子の運動は無次元非線形方程式で記述できることが示される^[14]。

{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\sin(\theta )=0

ここで、重力は「下向き」を向いており、右図に示すように、振り子が静止位置に対してなす角度である。この方程式を「解く」一つの方法は、積分因子としてを用いることで、最終的には $\theta$ $d\theta /dt$

\int {\frac {d\theta }{\sqrt {C_{0}+2\cos(\theta )}}}=t+C_{1}

これは楕円積分を含む暗黙的な解である。この「解」は、解の性質の大部分が非基本積分（でない限り非基本積分）に隠されているため、一般的にはあまり利用されない。 $C_{0}=2$

この問題へのもう一つのアプローチは、様々な関心点における非線形性（この場合は正弦関数の項）をテイラー展開によって線形化することである。例えば、小角近似と呼ばれるにおける線形化は、 $\theta =0$

{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\theta =0

となるため、の場合に成り立つ。これは単振動子であり、振り子の軌道の底部付近での振動に対応する。もう一つの線形化はにおいてであり、振り子が真上に伸びている状態に対応する。 $\sin(\theta )\approx \theta$ $\theta \approx 0$ $\theta =\pi$

{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\pi -\theta =0

の場合、となるため、この問題の解は双曲正弦曲線を含みます。小角近似とは異なり、この近似は不安定であり、は通常は無限に大きくなりますが、有界解も考えられます。これは振り子を垂直に立ててバランスをとるのが難しいことに相当し、文字通り不安定な状態です。 $\sin(\theta )\approx \pi -\theta$ $\theta \approx \pi$ $|\theta |$

もう 1 つの興味深い線形化はの周りで可能であり、その周りではです。 $\theta =\pi /2$ $\sin(\theta )\approx 1$

{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+1=0.

これは自由落下問題に対応します。右図に示すように、このような線形化を組み合わせることで、振り子の力学に関する非常に有用な定性的な図が得られます。他の手法を用いて、（正確な）位相図やおおよその周期を求めることもできます。

非線形動的動作の種類

振幅の消滅- システム内に存在する振動が、他のシステムとの何らかの相互作用、または同じシステムからのフィードバックによって停止する。
カオス- システムの値は将来まで無期限に予測することはできず、変動は非周期的である
多重安定性– 2つ以上の安定状態の存在
ソリトン– 自己増強孤立波
リミットサイクル– 不安定化した固定点が引き寄せられる漸近的な周期軌道。
自己振動– 開放型の散逸物理システムで発生するフィードバック振動。

非線形方程式の例

参照

参考文献

^ 「線形システムと非線形システムの説明」MITニュース。 2018年6月30日閲覧。
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^ デイヴィッド・トン：古典力学の講義

さらに読む

ディーデリヒ・ヒンリヒセン、アンソニー・J・プリチャード (2005). 『数理システム理論 I - モデリング、状態空間解析、安定性とロバスト性』シュプリンガー出版. ISBN 9783540441250。
ジョーダン, DW; スミス, P. (2007).非線形常微分方程式（第4版）. オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-920824-1。
カリル、ハッサン・K.（2001）『非線形システム』プレンティス・ホール、ISBN 978-0-13-067389-3。
クレイジグ、エルウィン(1998). 『先端工学数学』ワイリー社. ISBN 978-0-471-15496-9。
ソンタグ、エドゥアルド（1998年）『数理制御理論：決定論的有限次元システム』第2版、シュプリンガー、ISBN 978-0-387-98489-6。
サストリー、シャンカール (2009). 非線形システム：解析、安定性、制御. 学際応用数学. 第10巻（Nachdr. ed.）. ニューヨーク、ベルリン、ハイデルベルク：シュプリンガー. doi :10.1007/978-1-4757-3108-8. ISBN 978-0-387-98513-8。
オルランド、ジュゼッペ (2021). 経済学における非線形性：経済ダイナミクス、成長、そして経済循環への学際的アプローチ. 経済と金融における動的モデリングと計量経済学. 第29巻. 出版社: Springer International Publishing AG. doi :10.1007/978-3-030-70982-2. ISBN 978-3-030-70981-5。

外部リンク

指揮統制研究プログラム（CCRP）
ニューイングランド複雑系研究所：複雑系の概念
MIT OpenCourseWare の非線形力学 I: カオス
非線形モデルライブラリ – ( MATLAB内) 物理システムのデータベース
ロスアラモス国立研究所非線形研究センター