位相空間

数学において、位相空間（ちょうけいかん、ちょうけいかん、topological space）とは、大まかに言えば、近さが定義されるものの、必ずしも数値的な距離で測れるとは限らない幾何学的な空間のことである。より具体的には、位相空間とは、点と呼ばれる要素と、位相と呼ばれる追加の構造を持つ集合である。位相は、近さの概念を形式化するいくつかの公理を満たす各点の近傍の集合として定義できる。位相には同値な定義がいくつかあるが、最も一般的に用いられるのは開集合による定義である。

位相空間は、極限、連続性、連結性の定義を可能にする最も一般的なタイプの数学的空間です。^{[1] [2]一般的な位相空間の種類には}、ユークリッド空間、計量空間、多様体などがあります。

位相空間の概念は非常に一般的ですが、基礎的なものであり、現代数学のほぼすべての分野で用いられています。位相空間そのものの研究は、一般位相幾何学（または点集合位相幾何学）と呼ばれます。

歴史

1735年頃、レオンハルト・オイラーは凸多面体、ひいては平面グラフの頂点数（V）、辺数（E）、面数（F）を関連付ける公式 を発見した。この公式の研究と一般化は、特にコーシー（1789–1857）とルイリエ（1750–1840）によって行われ、位相幾何学の研究を飛躍的に発展させた。1827年、カール・フリードリヒ・ガウスは『曲面の一般論』を出版した。その第3節では、現代の位相幾何学の理解と同様の方法で曲面を定義している。「曲面は、点AからAから無限小距離にある点へ引いたすべての直線の方向が、Aを通る同一平面から無限小に偏向している場合、その点Aにおいて連続的な曲率を持つという。」^{[3] [非一次資料が必要]}${\displaystyle V-E+F=2}$

しかし、「 1850年代初頭のリーマンの研究までは、曲面は常に局所的な観点から（媒介変数曲面として）扱われ、位相的な問題は考慮されることはなかった」^[4] 。 「（コンパクト）曲面の位相に関する主要な問題は、曲面の同値性、つまり2つの曲面が同相であるかどうかを判断するための不変量（できれば数値的）を見つけることであると最初に認識したのは、メビウスとジョーダンであると思われる。」^[4]

この主題は、フェリックス・クラインの『エアランゲン・プログラム』（1872年）において明確に定義されています。それは、幾何学の一種である任意の連続変換の幾何学的不変量です。「位相幾何学（topology）」という用語は、ヨハン・ベネディクト・リスティングによって1847年に導入されましたが、彼は数年前から書簡の中で、それ以前に使用されていた「位置解析（Analysis situs）」の代わりにこの用語を使用していました。この科学の基礎は、あらゆる次元の空間を対象としており、アンリ・ポアンカレによって築かれました。この主題に関する彼の最初の論文は1894年に発表されました。^[5] 1930年代には、ジェームズ・ワデル・アレクサンダー2世とハスラー・ホイットニーが、曲面は局所的にユークリッド平面に類似した位相空間であるという考えを初めて提唱しました。

位相空間は、1914年にフェリックス・ハウスドルフによって彼の画期的な著書『集合論の原理』の中で初めて定義されました。距離空間はそれより前の1906年にモーリス・フレシェによって定義されていましたが、「計量空間」（ドイツ語：metrischer Raum ）という用語を普及させたのはハウスドルフでした。^{[6] [7] [より適切な出典が必要]}

定義

位相の概念の有用性は、この数学的構造に複数の同値な定義が存在するという事実によって示される。したがって、応用に適した公理化を選択する。最も一般的に用いられるのは開集合を用いた公理化であるが、近傍を用いた公理化の方がおそらくより直感的であるため、まずこれを示す。

近隣地域による定義

この公理化はフェリックス・ハウスドルフによるものです。を（おそらく空の）集合とします。 の元は通常点と呼ばれますが、任意の数学的対象とすることができます。を の空でない部分集合のコレクション内の各（点）に割り当てる関数とします。 の元は、に関する の近傍（または、単に の近傍）と呼ばれます。関数は、以下の公理^[8]が満たされる場合、近傍位相と呼ばれます。また、を伴う は位相空間と呼ばれます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

1. が （すなわち）の近傍である場合、 言い換えれば、集合の各点はに関するその近傍のそれぞれに属します。${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x\in N.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$
2. が のサブセットであり、 の近傍を含む場合、 はの近傍である。すなわち 、点の近傍のすべてのスーパーセットは、再び の近傍である。${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x.}$
3. 2つの近隣の交差点は近隣である${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$
4. の任意の近傍には、 の各点の近傍となるようなの近傍が含まれる。${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M.}$

近傍に関する最初の3つの公理は明確な意味を持っています。4番目の公理は理論の構造において非常に重要な役割を担っており、異なる点の近傍を結びつける役割を果たします。${\displaystyle X.}$

このような近傍系の標準的な例としては、実数直線の部分集合が、以下の開区間を含む場合に実数の近傍であると定義されるものがある。${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

このような構造が与えられたとき、の部分集合はが のすべての点の近傍であるとき開集合であると定義される。このとき開集合は、次の位相空間の定義で示される公理を満たす。逆に、位相空間の開集合が与えられたとき、上記の公理を満たす近傍は、 が を含む開集合であって^[9]であるとき、を の近傍と定義することによって復元できる。${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x\in U.}$

開集合による定義

集合X上の 位相は、 Xの部分集合（開集合と呼ばれる）の集合として定義され、以下の公理を満たす：^[10] ${\displaystyle \tau }$

1. 空集合とそれ自身は${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$
2. の任意の（有限または無限の）メンバーの和集合は、${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau .}$
3. の任意の有限個の要素の交差は、${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau .}$

この位相の定義は最も一般的に使用されているため、開集合の集合は一般に位相と呼ばれます。${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X.}$

部分集合が閉集合 であるとは、その補集合が開集合であることを意味します。この定義から、空集合と は同時に開集合かつ閉集合である、つまり、2つの集合は互いに補集合でありながら、それぞれが開集合である、ということがわかります。一般に、この性質を持つ の部分集合は閉開集合であると言われます。${\displaystyle C\subseteq X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X\setminus C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

トポロジの例

を円で表すと、3 点セット上の位相の例が 4 つと例でない例が 2 つあります。左下の例は、と[すなわち] の和集合が欠落しているため位相ではありません。右下の例は、と[すなわち] の積集合が欠落しているため位相ではありません。${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \{1,2,3\}.}$ ${\displaystyle \{2\}}$ ${\displaystyle \{3\}}$ ${\displaystyle \{2,3\}}$ ${\displaystyle \{1,2\}}$ ${\displaystyle \{2,3\}}$ ${\displaystyle \{2\}}$

1. 上の自明な位相、すなわち離散的でない位相が与えられた場合、公理によって要求される2つの部分集合のみからなる族は上の位相を形成する。${\displaystyle X=\{1,2,3,4\},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau =\{\{\},\{1,2,3,4\}\}=\{\varnothing ,X\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
2. 6つの部分集合の形の族が与えられた場合、別の位相は${\displaystyle X=\{1,2,3,4\},}$ $${\displaystyle \tau =\{\varnothing ,\{2\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,2,3\},X\}}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
3. 上の離散位相がの冪集合であるとすると、その冪集合はのすべての可能な部分集合からなる族となります。この場合、位相空間は離散空間と呼ばれます。${\displaystyle X=\{1,2,3,4\},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \tau =\wp (X)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$
4. 整数の集合が与えられたとき、整数の有限部分集合全体にそれ自身を加えた族は位相ではない。なぜなら、例えば、ゼロを含まない有限集合全体の和集合は有限ではないため、有限集合族の要素ではないからである。ゼロを含まない有限集合全体の和集合もまた、 のすべてではないため、 に含まれることはない。${\displaystyle X=\mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \tau .}$

閉集合による定義

ド・モルガンの法則を用いると、開集合を定義する上記の公理は閉集合を定義する公理になる。

1. 空集合と は閉じています。${\displaystyle X}$
2. 任意の閉集合の集合の交差も閉じています。
3. 任意の有限個の閉集合の和集合も閉じています。

これらの公理を使用して、位相空間を定義する別の方法は、の閉じた部分集合のコレクションと一緒になった集合として定義することです。したがって、位相内の集合は閉集合であり、 内のそれらの補集合は開集合です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$

その他の定義

位相空間を定義する同等の方法は他にも多数あります。言い換えれば、近傍の概念、または開集合や閉集合の概念は、他の出発点から再構築でき、正しい公理を満たすことができます。

位相空間を定義するもう一つの方法は、クラトフスキー閉包公理を使うことである。これは、閉集合を、${\displaystyle X.}$

ネットはシーケンスの概念を一般化したものです。トポロジーは、その集積点の集合内の各ネットについてが指定されている場合に完全に決定されます。 ${\displaystyle X}$

トポロジの比較

位相空間を形成する集合上には、多くの位相を定義することができます。ある位相の開集合が、ある位相に対しても開集合である場合、は より細かく、はより粗い と言えます。特定の開集合の存在のみに依存する証明は、より細かい位相に対しても成り立ち、同様に、特定の集合が開集合でないことをのみに依存する証明は、より粗い位相に対しても成り立ちます。「より細かい」と「より粗い」の代わりに、「より大きい」と「より小さい」という用語が使用されることがあります。文献では「より強い」と「より弱い」という用語も使用されていますが、その意味についてはほとんど合意が得られていないため、読む際には著者の慣例を常に確認する必要があります。 ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle \tau _{2},}$ ${\displaystyle \tau _{2}}$ ${\displaystyle \tau _{1},}$ ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle \tau _{2}.}$

与えられた固定集合上のすべての位相の集合は完全な格子を形成する。 が 上の位相の集合である場合、の交わりはの共通部分であり、の結合はのすべての要素を含む上のすべての位相の集合の交わりである。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F=\left\{\tau _{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F.}$

連続関数

位相空間間の関数が連続であるとは、 の任意の近傍と の任意の近傍に対して となるような近傍が存在することを意味する。これ は解析学における通常の定義と容易に関連付けられる。同様に、 は任意の開集合の逆像が開集合である場合に連続である。 ^[11] これは、関数に「ジャンプ」や「分離」が存在しないという直感を捉えようとする試みである。同相写像とは、連続であり、かつその逆写像も連続であるような一対一写像である。2つの空間の間に同相写像が存在する場合、それらの空間は同相的であることを意味する。位相幾何学の観点から、同相空間は本質的に同一である。^[12]${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(M)\subseteq N.}$ ${\displaystyle f}$

圏論において、基本圏の一つはTopであり、これは位相空間を対象とし、その射が連続関数である位相空間の圏を表す。この圏の対象（同相写像を除く）を不変量によって分類する試みは、ホモトピー理論、ホモロジー理論、K理論といった研究分野を刺激してきた。^[要出典]

位相空間の例

与えられた集合は、多くの異なる位相を持つ場合があります。集合に異なる位相が与えられた場合、それは異なる位相空間として扱われます。任意の集合には、すべての部分集合が開集合となる離散位相を与えることができます。この位相において収束する列またはネットは、最終的に定数となるものだけです。また、任意の集合には、空集合と空間全体のみが開集合となる自明位相（非離散位相とも呼ばれる）を与えることができます。この位相におけるすべての列とネットは、空間のすべての点に収束します。この例は、一般的な位相空間において、列の極限は必ずしも一意である必要がないことを示しています。しかし、多くの場合、位相空間は、極限点が一意となる ハウスドルフ空間でなければなりません。

任意の有限集合上には無数の位相が存在する。そのような空間は有限位相空間と呼ばれる。有限空間は、位相空間一般に関する予想に対する例や反例を提供するために用いられることがある。

任意の集合には、開集合が空集合であり、補集合が有限集合であるような余有限位相が与えられる。これは任意の無限集合上の最小のT ₁位相である。^[13]

任意の集合には可算位相が与えられ、その集合は空集合であるか、その補集合が可算集合である場合に開集合と定義される。集合が非可算集合である場合、この位相は多くの状況で反例として用いられる。

実数直線には、下限位相を与えることもできる。ここで、基本開集合は半開区間 である。 この位相は、上で定義したユークリッド位相よりも厳密に細かい。つまり、列がこの位相上の点に収束する場合、かつ、その列がユークリッド位相上で上から収束する場合に限る。この例は、集合上には多くの異なる位相が定義され得ることを示している。 ${\displaystyle [a,b).}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

が順序数である場合、集合は区間とによって生成される順序位相を備え、ここでとは次の要素である。${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma =[0,\gamma )}$ ${\displaystyle (\alpha ,\beta ),}$ ${\displaystyle [0,\beta ),}$ ${\displaystyle (\alpha ,\gamma )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma .}$

あらゆる多様体は局所ユークリッド的であるため、自然な位相を持つ。同様に、あらゆる単体とあらゆる単体複体は から自然な位相を継承する。

シェルピンスキー空間は最も単純な非離散位相空間であり、計算理論と意味論に重要な関係を持つ。

他のトポロジからのトポロジ

位相空間のすべての部分集合には、より大きな空間の開集合とその部分集合との交差を開集合とする部分空間位相を与えることができる。任意のインデックス付き位相空間族に対して、積には積位相を与えることができる。これは、射影写像の下での因子の開集合の逆像によって生成される。例えば、有限積では、積位相の基底はすべての開集合の積から構成される。無限積では、基本開集合において、その射影の有限個を除くすべてが空間全体であるという追加の要件がある。この構成は、初期位相の特殊なケースである。

商空間は次のように定義されます。 が位相空間で が集合であり、 が射影関数である場合、 上の商位相はの下で開逆像を持つの部分集合の集合です。言い換えれば、商位相は が連続となる 上の最も微細な位相です。商位相の一般的な例として、位相空間 上に同値関係が定義されている場合が挙げられます。この場合、写像は同値類 の集合への自然な射影となります。この構成は、最終位相の特殊なケースです。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$

計量空間

距離空間は、点間の距離の正確な概念である距離を具体化します。

あらゆる計量空間には計量位相を与えることができ、その位相では基本開集合は計量によって定義される開球となる。これは任意のノルム付きベクトル空間上の標準的な位相である。有限次元ベクトル空間では、この位相はすべてのノルムに対して同一である。

実数集合上の位相を定義する方法は数多くある。 上の標準的な位相は、開区間によって生成される。すべての開区間の集合は位相の基底または基数となり、すべての開集合は基底からの集合の集合の和集合となる。特に、集合内のすべての点について半径がゼロでない開区間が存在する場合、その集合は開集合であることを意味する。より一般的には、ユークリッド空間に位相を与えることができる。上の通常の位相では、基本開集合は開球体である。同様に、複素数集合、、には、基本開集合が開球体である標準的な位相がある。 ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

代数構造からの位相幾何学

任意の代数的対象に対して離散位相を導入することができ、その位相の下では代数的演算は連続関数となる。有限でない任意の構造に対しては、代数的演算と両立する自然な位相が存在することが多く、この場合も代数的演算は連続的である。このことから、位相群、位相環、位相体、そして位相体上の位相ベクトル空間といった概念が生まれる。局所体は数論において重要な位相体である。

ザリスキー位相は、環または代数多様体のスペクトル上で代数的に定義されます。ザリスキー位相上または閉集合は、多項式方程式系の解集合です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$

順序構造を持つ位相空間

• スペクトル: 空間がスペクトル空間である場合、かつそれが環の素スペクトルである場合に限ります(ホッホスターの定理)。
• 特殊化事前順序: 空間において、特殊化事前順序(または標準事前順序)は、 が Kratowski 閉包公理を満たす演算子を表す場合、かつ の場合にのみによって定義されます。${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} \{x\}\subseteq \operatorname {cl} \{y\},}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} }$

他の構造からのトポロジー

が集合上のフィルタである場合、が集合上の位相である。${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{\varnothing \}\cup \Gamma }$ ${\displaystyle X.}$

関数解析における線形演算子の多くのセットには、特定の関数のシーケンスがゼロ関数に収束するタイミングを指定することによって定義されるトポロジが備わっています。

線形グラフには、頂点と辺を持つグラフの幾何学的側面の多くを一般化する自然なトポロジがあります。

自由群 の外側の空間は^、[14]の第1巻のいわゆる「マークされた計量グラフ構造」から構成される。${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F_{n}.}$

位相空間の分類

位相空間は、同相写像に至るまで、その位相的性質によって広く分類できる。位相的性質とは、同相写像に対して不変な空間の性質である。2つの空間が同相でないことを証明するには、それらの空間に共通しない位相的性質を見つければ十分である。このような性質の例としては、連結性、コンパクト性、そして様々な分離公理などが挙げられる。代数的不変量については、代数的位相幾何学を参照のこと。

参照

• 完全 Heyting 代数– 包含によって順序付けられた与えられた位相空間のすべての開集合の系は、完全 Heyting 代数です。
• コンパクト空間 – 数学的空間の種類
• 収束空間 – 一般位相幾何学に見られる収束の概念の一般化
• 屋外スペース
• ハウスドルフ空間 – 位相空間の種類
• ヒルベルト空間 – 数学におけるベクトル空間の種類
• 半連続性 – 集合値関数の半連続性
• 線形部分空間 – 数学ではベクトル部分空間
• 無意味なトポロジー
• 準位相空間 – 位相における関数
• 相対的にコンパクトな部分空間 – 閉包がコンパクトである位相空間の部分集合
• 空間（数学）  - 構造が追加された数学的集合

引用

1. シューベルト 1968年、13ページ
2. サザーランド, WA (1975).計量空間と位相空間入門. オックスフォード [イギリス]: クラレンドン・プレス. ISBN 0-19-853155-9. OCLC  1679102。
3. ガウス 1827.
4. Gallier & Xu 2013より。
5. J. スティルウェル『数学とその歴史』
6. 「計量空間」。オックスフォード英語辞典（オンライン版）。オックスフォード大学出版局。 (サブスクリプションまたは参加機関のメンバーシップが必要です。)
7. ハウスドルフ、フェリックス(1914) [1914]. 「プントメンゲン・イン・アルゲマイネン・ロイメン」。グルンジュゲ デア メンゲンレーレ。 Göschens Lehrbücherei/Gruppe I: Reine und Angewandte Mathematik Serie (ドイツ語)。ライプツィヒ: フォン・ファイト (2011 年出版)。 p. 211.ISBN​  9783110989854。2022 年8 月 20 日に取得。Unter einem metrischen R aume verstehen wir eine Menge E , [...]。
8. Brown 2006、セクション2.1。
9. Brown 2006、セクション2.2。
10. Armstrong 1983、定義2.1。
11. Armstrong 1983、定理2.6。
12. マンクレス、ジェームズ・R (2015).トポロジー. ピアソン. pp.  317– 319. ISBN 978-93-325-4953-1。
13. アンダーソン, BA; スチュワート, DG (1969). 「位相の -補集合」.アメリカ数学会誌. 23 : 77–81 . doi :10.2307/2037491. JSTOR  2037491. MR  0244927.${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{1}}$
14. Culler, Marc ; Vogtmann, Karen (1986). 「グラフのモジュライと自由群の自己同型性」(PDF) . Inventiones Mathematicae . 84 (1): 91– 119. Bibcode :1986InMat..84...91C. doi :10.1007/BF01388734. S2CID  122869546.

参考文献

• アームストロング、MA (1983) [1979].基礎位相幾何学.数学の学部テキスト. シュプリンガー. ISBN 0-387-90839-0。
• ブレドン、グレン・E.、『トポロジーと幾何学（数学大学院テキスト）』、シュプリンガー、第1版（1997年10月17日）。ISBN 0-387-97926-3。
• ブルバキ、ニコラ著、『数学の要素：一般位相幾何学』、アディソン・ウェスレー社（1966年）。
• ブラウン、ロナルド（2006年）『位相幾何学と群論』Booksurge. ISBN 1-4196-2722-8。（タイトルが異なる書籍の第3版）
• チェフ、エドゥアルド；点集合、アカデミック出版（1969年）。
• フルトン、ウィリアム、『代数的位相幾何学』（数学大学院テキスト）、シュプリンガー、第1版（1997年9月5日）。ISBN 0-387-94327-7。
• Gallier, Jean; Xu, Dianna (2013).コンパクト曲面の分類定理へのガイド. Springer.
• ガウス、カール・フリードリヒ（1827）『曲面の一般的研究』
• リプシュッツ、シーモア。Schaum の一般トポロジーの概要、McGraw-Hill。初版（1968年6月1日）。ISBN 0-07-037988-2。
• マンクレス、ジェームズ著『トポロジー』、プレンティス・ホール、第2版（1999年12月28日）。ISBN 0-13-181629-2。
• ルンデ、フォルカー著『A Taste of Topology』（Universitext）、シュプリンガー、第1版（2005年7月6日）。ISBN 0-387-25790-X。
• シューベルト、ホルスト（1968年）、トポロジー、マクドナルド・テクニカル＆サイエンティフィック、ISBN 0-356-02077-0
• スティーン、リン・A.、シーバッハ、J.アーサー・ジュニア著『位相幾何学における反例』ホルト、ライナーハート、ウィンストン（1970年）。ISBN 0-03-079485-4。
• ヴァイダナタスワミ, R. (1999).集合位相学. チェルシー出版. ISBN 0486404560。
• ウィラード、スティーブン（2004年）『一般位相幾何学』ドーバー出版、ISBN 0-486-43479-6。

外部リンク

• 「位相空間」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]