n乗根

変数xのn乗根の現代的な表記

数学において、数xのn乗根とは、n 乗したときにxとなる数r のことです。正の整数nは指数または次数と呼ばれ、根が取られる数xは被根号と呼ばれます。2次根は平方根、3 次根は立方根と呼ばれます。より高い次数の根は、 4 乗根、20 乗根などのように序数を使用して表されます。n乗根の計算は、根の抽出です。 $${\displaystyle r^{n}=\underbrace {r\times r\times \dotsb \times r} _{n{\text{ factors}}}=x.}$$

xのn乗根は根号記号を用いてと表されます。平方根は通常⁠ ⁠と表され、次数は省略されます。⁠ ⁠を固定した数値のn乗根は、数値をn乗することの逆であり、^[1]分数指数として表すことができます。 ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\phantom {x}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}.}$$

正の実数xに対して、はxの正の平方根を表し、 は正の実数n乗根を表します。たとえば、3 は3 ² = 9であるため9の平方根であり、また、(-3) ² = 9であるため、-3も9の平方根です。^[2]負の実数− xには実数値の平方根はありませんが、x を複素数として扱うと、 ⁠ ⁠と⁠ ⁠の 2 つの虚数平方根が存在します。ここで、iは虚数単位です。 ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$ ${\displaystyle +i{\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle -i{\sqrt {x}}}$

一般に、任意の 0 でない複素数は、 n個の異なる複素数値のn乗根を持ち、絶対値が一定の複素円 の周りに均等に分布します。( 0のn乗根は、重複度がn のときに 0 であり、この円は点に退化します。)したがって、複素数xのn乗根を抽出することは、多値関数と見なすことができます。慣例により、この関数の主値は主根と呼ばれ、 ⁠ ⁠と表記され、実部が最大のn乗根とされ、 xが負の実数である特別な場合には、虚部が正の n 乗根とされます。したがって、正の実数の主根も正の実数です。関数 として、主根は、負の実軸に沿う場合を除き、複素平面全体で連続しています。1のn乗根は 1 の乗根と呼ばれ、数論、方程式の理論、フーリエ変換など、数学のさまざまな分野で基本的な役割を果たします。 ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$

未解決の根、特に根号記号が使われている根は無理数^[3]または根号^[4]と呼ばれることもあります。根号を含む式は、平方根、立方根、高次の根など、根号式と呼ばれ、超越関数や超越数を含まない場合は代数式と呼ばれます。

歴史

バビロニア人は、紀元前 1800 年という早い時期に、粘土板に2 の平方根などの無理数の数値近似値を、 YBC 7289 の粘土板に見られるように、小数点以下 6 桁に相当する精度で示していました。^[5]ラルサの楔形文字板には、整数の平方根と立方根の表が含まれています。^[6] √2 の無理数を最初に証明したのは、おそらくピタゴラス学派の ヒッパソスでした。^[7] プラトンは著書『テアイテトス』の中で、キュレネのテオドロス(紀元前 400 年頃) が 、 などから までの無理数をどのようにして証明したかを説明しています。^[8]紀元後 1 世紀には、アレクサンドリアのヘロンが平方根 を計算する反復的な方法を考案しましたが、これは実際にはより一般的なニュートン法の特殊なケースです。^[9]${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {17}}}$

無理数（ surd）という用語は、アル＝フワーリズミー（ 825年頃）に由来し、彼は有理数を「聞こえる」、無理数を「聞こえない」と表現しました。これが後に、無理数を表すアラビア語のأصم（asamm 、「耳が聞こえない」または「口がきけない」の意味）がラテン語のsurdus（「耳が聞こえない」または「口がきけない」の意味）に翻訳されるようになりました。クレモナのジェラルド（ 1150年頃）、フィボナッチ（1202年）、そしてロバート・レコード（1551年）は、いずれもこの用語を「解決されない無理数根」、つまり の形式の式（とは整数で、式全体は無理数を表す）を指すのに使用しました。^{[10] が}有理数であるの形式の無理数は「純粋二次無理数」と呼ばれます。の形をした無理数（ ただし、とは有理数）は混合二次無理数と呼ばれる。^[11] n乗根を求める演算は15世紀後半の古語で根号（radication）と呼ばれ、^{[12] [13]}未解決の根号は根号である。^[4]${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \pm {\sqrt {a}},}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a\pm {\sqrt {b}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

14 世紀、ジャムシード・アル・カシは、現在ルフィニ・ホーナー法と呼ばれている反復技法を使用して、任意のnのn乗根を算出しました。この技法は古代から平方根を求めるために使用され、その後、10 世紀には中国とクシュヤール・イブン・ラバンによって立方根を求めるために使用されました。 ^[14] 1665 年、アイザック・ニュートンは一般二項定理を発見しました。これは、 n乗根を無限級数に変換できます。^[15]フランソワ・ヴィエトによって開発された手法に基づいて、ニュートンはの形式の非線形関数を解く反復法を考案しました。これはn乗根を算出できるものです。この技法はジョセフ・ラプソンによってさらに改良され、ニュートン・ラプソン法として知られるようになりました。^[16] 1690 年、ミシェル・ロールは値aのn乗根の表記法を導入しました。^[17]${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$

1629年、アルベール・ジラールは代数学の基本定理を提唱したが、証明できなかった。^{[18]この定理は、} n次のすべての一変数多項式にはn個の根がある、ということを述べている。 ^[19]さらに、複素係数の多項式には少なくとも1つの複素根がある。同様に、この定理は複素数体が代数的に閉じていることを述べている。18世紀と19世紀に証明に取り組んだ著名な数学者には、ダランベール、ガウス、ボルツァーノ、ワイエルシュトラスがおり、通常、ガウスが最初の正しい証明をしたとされている。この証明の結果、実数または複素数の任意のn乗根は複素平面上にあることになる。^{[20] [21]}

古代ギリシャの数学者たちは、単位長さの補助線が与えられた場合、コンパスと定規を使って与えられた長さの平方根に等しい長さを作図する方法を知っていました。1837年、ピエール・ヴァンツェルは、 nが2のべき乗でない場合、与えられた長さのn乗根は作図できないことを証明しました。 ^[22]

定義と表記

数xのn 乗根 ( nは正の整数)とは、 n乗がxであるn個の実数または複素数rのいずれかです。

$${\displaystyle r^{n}=x.}$$

すべての正の実数 xには、主n乗根と呼ばれる正のn乗根が1 つだけ存在します。これは主 n 乗根 と表記されます。 ^[23] nが 2 の場合、これは主平方根と呼ばれ、 nは省略されます。n乗根は、指数関数を用いてx 1 ^/nと表すこともできます。^[2]${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$

nが偶数の場合、正の数には負のn乗根も存在しますが、負の数には実数のn乗根はありません。nが奇数の場合、すべての負の数xには実数の負のn乗根があります。^[23]例えば、 −2 には実数の 5 乗根がありますが、 −2 には実数の 6 乗根はありません。 ${\displaystyle {\sqrt[{5}]{-2}}=-1.148698354\ldots }$

実数、複素数を問わず、すべての非ゼロ数xにはn種類の異なる複素数の n乗根があります。^{[24] (} xが実数の場合、この数には任意の実数のn乗根が含まれます。) 0 の唯一の複素根は 0 です。

ほとんどすべての数のn乗根（n乗以外のすべての整数と、2つのn乗の商以外のすべての有理数）は無理数である。 [ ^25]例えば、

$${\displaystyle {\sqrt {2}}=1.414213562\ldots }$$

有理数のn乗根はすべて代数的数であり、整数のn乗根はすべて代数的整数です。

平方根

グラフ。${\displaystyle y=\pm {\sqrt {x}}}$

数xの平方根は、平方するとxになる数rです。

$${\displaystyle r^{2}=x.}$$

すべての正の実数には、正と負の2つの平方根があります。例えば、25の平方根は5と-5です。正の平方根は主平方根とも呼ばれ、^[2]根号を用いて表されます。

$${\displaystyle {\sqrt {25}}=5.}$$

すべての実数の平方は非負であるため、負の数には実平方根はありません。^[26]しかし、すべての負の実数には2つの虚平方根があります。例えば、-25の平方根は5 iと -5 iです。ここで、i は平方値が-1である数を表します。

立方根

グラフ。${\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}}$

数xの立方根とは、その立方体がxである数rのことです。

$${\displaystyle r^{3}=x.}$$

あらゆる実数xには、ちょうど1つの実数立方根^[2]が存在する。例えば、 ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt[{3}]{8}}&=2\\{\sqrt[{3}]{-8}}&=-2.\end{aligned}}}$$

すべての実数にはさらに2つの複素立方根がある。^{[27] [28]}

アイデンティティとプロパティ

n乗根の次数を指数形式で表現すると、べき乗や根号の扱いが容易になります。が非負の実数である場合、^[26]${\displaystyle x^{1/n}}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=(a^{m})^{1/n}=a^{m/n}=(a^{1/n})^{m}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}.}$$

すべての非負数は正確に1つの非負実数n乗根を持つので、非負の被根号を含む無理数の演算規則は実数の範囲内で単純である。[ ^26]${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt[{n}]{ab}}&={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\\{\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}&={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\end{aligned}}}$$

負の数や複素数のn乗根を求める際には、微妙な問題が生じることがあります。例えば、

$${\displaystyle {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}\neq {\sqrt {-1\times -1}}=1,\quad }$$

しかし、むしろ、

$${\displaystyle \quad {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}=i\times i=i^{2}=-1.}$$

この規則は非負の実数根号に対してのみ厳密に成立するため、これを適用することで上記の最初のステップの不等式が得られる。^[29]${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}\times {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{ab}}}$

根号式の簡略形

入れ子になっていない根号式は、被根号の因数が指数以上のべき乗で表すことができず、根号の符号の中に分数が存在せず、分母に根号が存在しない場合、簡略化された形式であると言われる。^[30]

例えば、根号式を簡略化するには、次のように進めます。まず、平方根記号の下にある完全平方数を探してそれを削除します。 ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {32/5}}}$

$${\displaystyle {\sqrt {\frac {32}{5}}}={\sqrt {\frac {16\cdot 2}{5}}}={\sqrt {16}}\cdot {\sqrt {\frac {2}{5}}}=4{\sqrt {\frac {2}{5}}}}$$

次に、根号の下に分数があります。これを次のように変更します。

$${\displaystyle 4{\sqrt {\frac {2}{5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}}$$

最後に、次のように分母から根号を除去します。

$${\displaystyle {\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}={\frac {4}{5}}{\sqrt {10}}}$$

分母に無理数が含まれる場合、分子と分母の両方に掛ける因数を見つけて式を簡略化することが常に可能です。^{[31] [32]}例えば、2つの立方数の和の因数分解を使用します。

$${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{\left({\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}\right)\left({\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}\right)}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{a+b}}.}$$

入れ子になった根号を含む根号式の簡約は非常に困難です。特に、入れ子の解消は常に可能であるとは限らず、可能であっても高度なガロア理論が必要となる場合があります。さらに、完全な入れ子の解消が不可能な場合、 2つの数の等式を単にその標準形を見るだけで判定できるような 一般的な標準形は存在しません。

例えば、

$${\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}.}$$

上記は以下を通じて導き出されます:

$${\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}={\sqrt {1+2{\sqrt {2}}+2}}={\sqrt {1^{2}+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}^{2}}}={\sqrt {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2}}}=1+{\sqrt {2}}}$$

とします。ここで、pとq は互いに素で正の整数です。このとき、 は有理数であり、かつ、 と が両方とも整数である場合に限ります。つまり、pとq は両方とも何らかの整数のn乗 です。${\displaystyle r=p/q}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}={\sqrt[{n}]{p}}/{\sqrt[{n}]{q}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{p}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{q}}}$

無限級数

根号または根号は、一般化された二項定理によって表すことができます。

$${\displaystyle (1+x)^{s/t}=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {x^{m}}{m!}}\prod _{k=0}^{m-1}\left({\frac {s}{t}}-k\right)}$$

となる。この式は二項級数から導出できる。^[33] n乗根の場合、これは ${\displaystyle |x|<1}$

$${\displaystyle (1+x)^{\frac {1}{n}}=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {x^{m}}{m!}}\prod _{k=0}^{m-1}\left({\frac {1}{n}}-k\right)}$$

数値の場合は、次の 値を選択してください。${\displaystyle r\geq 2}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle {\frac {r}{p^{n}}}-1=x',{\text{ where }}|x'|<1}$$

そして、上記に従って、

$${\displaystyle r^{\frac {1}{n}}=p(1+x')^{\frac {1}{n}}}$$

例えば、およびについては、[ ^{33]を選択します。}${\displaystyle r=30}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle p=5}$

$${\displaystyle {\frac {30}{5^{2}}}-1={\frac {5}{25}}=.2}$$

$${\displaystyle {\sqrt {30}}=5{\sqrt {1+.2}}=5\left[1+{\frac {1}{2}}(.2)^{1}-{\frac {1}{8}}(.2)^{2}+{\frac {1}{16}}(.2)^{3}-\cdots \right]\approx 5.4775}$$

N乗根は根検定を用いてべき級数の収束を確認するために用いられる。^[34]

主根の計算

ニュートン法を使う

数Aのn乗根はニュートン法で計算できる。これは初期推定値x ₀から始めて、再帰関係^[35]を使用して反復する。

$${\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-{\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1}}}}$$

所望の精度に達するまで。計算効率を上げるために、再帰関係は次のように書き直すことができる^[35]。

$${\displaystyle x_{k+1}={\frac {1}{n}}\left[(n-1)\,x_{k}+\,{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}\right].}$$

これにより、関係には 1 つの指数だけが含まれるようになり、各反復ごとに 1 回計算されます。

例えば、34の5乗根を求めるには、n = 5、A = 34、x ₀ = 2（初期推定値）を代入します。最初の5回の反復計算は、おおよそ以下のようになります。

× ₀ = 2

× ₁ = 2.025

× ₂ = 2.02439 7...

× ₃ = 2.02439 7458...

× ₄ = 2.02439 74584 99885 04251 08172...

× ₅ = 2.02439 74584 99885 04251 08172 45541 93741 91146 21701 07311 8...

(正しい数字はすべて表示されます。)

近似値x ₄は小数点以下 25 桁の精度があり、x ₅は 51 になります。

Newton's method can be modified to produce various generalized continued fractions for the nth root. For example,^{[citation needed]}

$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{x^{n}+y}}=x+{\cfrac {y}{nx^{n-1}+{\cfrac {(n-1)y}{2x+{\cfrac {(n+1)y}{3nx^{n-1}+{\cfrac {(2n-1)y}{2x+{\cfrac {(2n+1)y}{5nx^{n-1}+{\cfrac {(3n-1)y}{2x+\ddots }}}}}}}}}}}}.}$$

A suitable initial guess for Newton's method may need to be identified using the bisection method or method of false position.^[36] For large values of n and higher requirements for precision, a more rapid algorithm than Newton's method for finding the nth root is to use a truncated Taylor series with a Padé approximant.^[37]

Digit-by-digit calculation of principal roots of decimal (base 10) numbers

Pascal's triangle showing ${\displaystyle P(4,1)=4}$ .

Building on the digit-by-digit calculation of a square root, it can be seen that the formula used there, ${\displaystyle x(20p+x)\leq c}$ , or ${\displaystyle x^{2}+20xp\leq c}$ , follows a pattern involving Pascal's triangle. For the nth root of a number ${\displaystyle P(n,i)}$ is defined as the value of element ${\displaystyle i}$ in row ${\displaystyle n}$ of Pascal's Triangle such that ${\displaystyle P(4,1)=4}$ , we can rewrite the expression as ${\textstyle \sum _{i=0}^{n-1}10^{i}P(n,i)p^{i}x^{n-i}}$ . For convenience, call the result of this expression ${\displaystyle y}$ . Using this more general expression, any positive principal root can be computed, digit-by-digit, as follows.

Write the original number in decimal form. The numbers are written similar to the long division algorithm, and, as in long division, the root will be written on the line above. Now separate the digits into groups of digits equating to the root being taken, starting from the decimal point and going both left and right. The decimal point of the root will be above the decimal point of the radicand. One digit of the root will appear above each group of digits of the original number.

Beginning with the left-most group of digits, do the following procedure for each group:

1. Starting on the left, bring down the most significant (leftmost) group of digits not yet used (if all the digits have been used, write "0" the number of times required to make a group) and write them to the right of the remainder from the previous step (on the first step, there will be no remainder). In other words, multiply the remainder by ${\displaystyle 10^{n}}$ and add the digits from the next group. This will be the current value c.
2. Find p and x, as follows:
   • Let ${\displaystyle p}$ be the part of the root found so far, ignoring any decimal point. (For the first step, ${\displaystyle p=0}$ and ${\displaystyle 0^{0}=1}$ ).
   • Determine the greatest digit ${\displaystyle x}$ such that ${\displaystyle y\leq c}$ .
   • その数字をルートの次の数字、つまり先ほど下ろした数字のグループの上に置きます。つまり、次のpは元のpに 10 を掛けたものにx を加えたものになります。${\displaystyle x}$
3. から引き算して新しい余りを作成します。${\displaystyle y}$ ${\displaystyle c}$
4. 余りがゼロで、下げる桁がもうない場合、アルゴリズムは終了します。そうでない場合は、ステップ1に戻って次の反復処理に進みます。

例

152.2756の平方根を求めよ

アルゴリズム終了: 答えは12.34

4192の立方根を千分の一に切り捨てて求めよ

希望の精度が達成されました。4,192の立方根は16.124です...

対数計算

正の数の主根nは対数を用いて計算できる。rをxのn乗根、つまりxが正でその主根rも正であると定義する式から出発し、両辺の対数（対数の底は任意）をとると、 ${\displaystyle r^{n}=x,}$

$${\displaystyle n\log _{b}r=\log _{b}x\quad \quad {\text{hence}}\quad \quad \log _{b}r={\frac {\log _{b}x}{n}}.}$$

ルートrは逆対数を取ることで復元できる：^[38]

$${\displaystyle r=b^{{\frac {1}{n}}\log _{b}x}.}$$

(注意: この式は、bを除算の結果で累乗するものであり、bに除算の結果を掛けるものではありません。)

xが負でnが奇数の場合、負の実根rが1つ存在します。これは、定義式の両辺に -1 を掛けて r を求め、次に前述と同様に | r | を求め、 r = -| r |とすることで求められます。 ${\displaystyle |r|^{n}=|x|,}$

複素根

0以外のすべての複素数はn個の異なるn乗根を持つ。^[24]

平方根

iの平方根

複素数の2つの平方根は常に互いに負である。^{[39]例えば、} -4の平方根は2 iと-2 iであり、 iの平方根は

$${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i)\quad {\text{and}}\quad -{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i).}$$

複素数を極形式で表すと、半径の平方根をとり角度を半分にすることで平方根が得られます。^[40]

$${\displaystyle {\sqrt {re^{i\theta }}}=\pm {\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2}.}$$

複素数の主根は、例えば以下のような様々な方法で選ぶことが できる。

$${\displaystyle {\sqrt {re^{i\theta }}}={\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2}}$$

これは、0 ≤  θ  < 2 πの条件で正の実軸に沿って複素平面に分岐を導入するか、 − π  <  θ  ≤  πの条件で負の実軸に沿って分岐を導入します。

最初の（最後の）分岐切断法を用いると、主平方根は虚数部（実数部）が非負の半平面に写像されます。最後の分岐切断法は、 MatlabやScilabなどの数学ソフトウェアでは前提とされています。 ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {z}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle z}$

団結の根源

1の3つの3乗根

数1は複素平面上でn個の異なるn乗根を持ち、 ^[24]すなわち

$${\displaystyle 1,\;\omega ,\;\omega ^{2},\;\ldots ,\;\omega ^{n-1},}$$

どこ

$${\displaystyle \omega =e^{\frac {2\pi i}{n}}=\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right).}$$

これらの根は、複素平面上の単位円の周りにの倍数の角度で均等に配置されています。例えば、単位の平方根は 1 と -1 であり、単位の4乗根は 1、、 -1、です。 ${\displaystyle 2\pi /n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle -i}$

nth ルート

複素数zの2乗根から6乗根まで​​の幾何学的表現。極形式re ^iφ で表され、 r = | z  |かつφ = arg zとする。zが実数の場合、φ = 0またはπとなる。主根は黒で示されている。

すべての複素数は複素平面においてn個の異なるn乗根を持つ。 ^[24]これらは

$${\displaystyle \eta ,\;\eta \omega ,\;\eta \omega ^{2},\;\ldots ,\;\eta \omega ^{n-1},}$$

ここで、ηは単一のn乗根であり、1、  ω、  ω ²、...  ω ^{n −1は1の}n乗根である。例えば、2の4つの異なる4乗根は以下の通りである。

$${\displaystyle {\sqrt[{4}]{2}},\quad i{\sqrt[{4}]{2}},\quad -{\sqrt[{4}]{2}},\quad {\text{and}}\quad -i{\sqrt[{4}]{2}}.}$$

極形式では、デモワヴルの定理から単一のn乗根を求めることができる。^[41]

$${\displaystyle z^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{re^{i\theta }}}={\sqrt[{n}]{r}}\cdot e^{i\theta /n}=r^{\frac {1}{n}}\cdot \left(\cos \left({\frac {\theta }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\theta }{n}}\right)\right)}$$

ここでrは根を求める数の大きさ（絶対値とも呼ばれる）です。もしその数がと書けるなら となります。 は、原点を正の水平軸から反時計回りに回転させ、原点から数 へと向かう直線まで回転させたときに形成される角度です。それは以下の性質を持ちます。 ${\displaystyle a+ib}$ ${\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {a}{r}},\sin \theta ={\frac {b}{r}},{\text{ and }}\tan \theta ={\frac {b}{a}}.}$

このように、複素平面におけるn乗根の求め方は2つのステップに分けられます。まず、すべてのn乗根の大きさは、元の数の大きさのn乗根です。次に、原点からn乗根の1つに引いた直線と正の水平軸との間の角度は です。ここで は、根を求める数に対して同様に定義された角度です。さらに、n乗根定理[42]によって証明されているように、すべてのn乗根は^互いに等間隔の角度にあります。${\displaystyle \theta /n}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}\cdot \left(\cos \left({\frac {\theta +2\pi k}{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\theta +2\pi k}{n}}\right)\right){\text{ for }}k=0,1,2,\ldots ,n-1.}$

nが偶数の場合、複素数のn乗根（そのうち偶数個）は加法逆数対となるため、r _1がn乗根の1つであれば、 r ₂ = − r ₁もn乗根の1つとなる。これは、後者の係数 −1 を偶数nに対してn乗すると1となるためである。つまり、(− r ₁ ) ⁿ = (−1) ⁿ × r ₁ ⁿ = r ₁ ⁿとなる。

平方根と同様に、上記の式は複素平面全体にわたって連続関数を定義するのではなく、 θ  /  nが不連続になる点で分岐を生じます。

多項式の根

多項式⁠ ⁠の根とは、 ⁠ ⁠となる数⁠ ⁠です。数⁠ ⁠のn乗根は、定義により多項式⁠ ⁠の根です。代数的数とは、多項式根となる数です。 ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p(a)=0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x^{n}-a}$

二次方程式は、二次多項式の根を平方根で表す。16世紀、ジェロラモ・カルダーノをはじめとするイタリアの数学者たちは、同様に、3次および4次の多項式の根は常にn乗根で表せることを発見した（3次方程式および4次方程式を参照）。^[43]

その後の2世紀にわたり、あらゆる代数的数が根号で表せるかどうかという問題に多大な努力が費やされた。1824年、 アーベル・ルフィニの定理の証明により、次数5の一般公式 は存在しないことが示された。^[44]しかし、多項式根を根号で表す可能性が完全に排除されたわけではなく、その公式はそれぞれの多項式に依存する。例えば、五次多項式

${\displaystyle p(x)=(x-a_{1})(x-a_{2})(x-a_{3})(x-a_{4})(x-a_{5})=0}$

は根号根を持ちます。 1830年に導入されたガロア理論は、5次以上の多項式には根号で表せない根号があることを示しました。最も単純な例は ⁠ ⁠です。^[45]五次関数 § 可解五次関数とガロア理論 § 可解でない五次関数の例 を参照してください。まとめると、根号は多項式の根号を表すのに必ずしも十分ではないということです。 ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{5}.}$ ${\displaystyle \textstyle x^{5}-x-1}$

この障害にもかかわらず、デモワヴルの定理は、たとえ五次関数であっても、常に数のn乗根を抽出できることを示しています。^[41] 19世紀に証明された以下の2つの結果は、17世紀に提起された多項式根に関する基本的な問題を解決しました。代数学の基本定理は、すべての多項式は複素根を持つと主張しています。^[19]多項式根ではない超越数と呼ばれる数があります。πはそのような超越数の例です。^[46] ${\displaystyle x^{5}-a}$

なぜ任意の数が主根ではなくn個の根を持つのか、よく分からないかもしれません。これを証明するには、変数xのn乗 の主根aに対して、次の多項式関係が成り立ちます。この多項式は次のように因数分解 できます。 ^{[47]したがって、} xがaに等しい場合、または方程式を解く任意のxに対して、 多項式はゼロになります。 ^[48] 代数の基本定理により、この級数には根があり、合計は となります。 ${\displaystyle a^{n}}$ $${\displaystyle p(x)=x^{n}-a^{n}=0}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}p(x)&=x^{n}-a^{n}\\&=(x-a)(x^{n-1}+ax^{n-2}+a^{2}x^{n-3}+\cdots +a^{n-1})\\&=(x-a)\left(\sum _{k=0}^{n-1}x^{n-k-1}a^{k}\right)\\\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle p(x)}$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}x^{n-k-1}a^{k}=0}$$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle n}$

例として、 ととし、 1 の立方根を求める^[49]${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle a=1}$

$${\displaystyle p(x)=x^{3}-1^{3}=(x-1)(x^{2}+x^{1}+1)=0}$$

したがって、最初の根は となり、他の2つの根は^[50]の二次方程式を使って導くことができる。${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle a=b=c=1}$

$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-1\pm {\sqrt {1^{2}-4}}}{2}}={\frac {-1\pm i{\sqrt {3}}}{2}}}$$

非完全な無理数の証明n乗×

が有理数であると仮定します。つまり、aとbが共通因数を持たない整数で ある場合、分数 に簡約できます。${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$ ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$

つまり、 ということです。 ${\displaystyle x={\frac {a^{n}}{b^{n}}}}$

xは整数なので、 の場合、 は共通因数を共有している必要があります。つまり、の場合、は最も単純な形ではありません。したがって、b は1 に等しくなります。 ${\displaystyle a^{n}}$ ${\displaystyle b^{n}}$ ${\displaystyle b\neq 1}$ ${\displaystyle b\neq 1}$ ${\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}}$

およびなので、。 ${\displaystyle 1^{n}=1}$ ${\displaystyle {\frac {n}{1}}=n}$ ${\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}=a^{n}}$

これはつまり、 であり、したがって である。これはが整数であることを意味する。xは完全なn乗ではないので、これは不可能である。したがっては無理数である。^[25]${\displaystyle x=a^{n}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=a}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$

参照

• 幾何平均
• 2の12乗根

参考文献

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外部リンク