代数式

数学において、代数式とは、定数（通常は代数的数）、変数、そして基本的な代数演算（加算（+）、減算（−）、乗算（×）、除算（÷）、整数の累乗、そして分数の累乗）から構成される式です。[ 1 ] ^{[ 2] [3] [より適切な出典が必要]}。例えば、⁠ ⁠は代数式です。平方根を取ることは⁠乗することと同じなので、${\displaystyle 3x^{2}-2xy+c}$ 1/2⁠、以下も代数式です。

$${\displaystyle {\sqrt {\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}}}$$

代数方程式は多項式を含む方程式であり、その代数式が解となる場合があります。

定数の集合が数値に限定されている場合、あらゆる代数式は算術式と呼ばれる。しかし、代数式は抽象代数のように、より抽象的な対象にも適用できる。定数が整数に限定されている場合、代数式で記述できる数の集合は代数的数と呼ばれる。

対照的に、π やeのような超越数は、整数定数や代数演算から導出されないため、代数的ではありません。通常、πは幾何学的な関係として構築され、 eの定義には無限回の代数演算が必要となります。より一般的には、定数や変数から代数的に独立した式は超越数と呼ばれます。

用語

代数には、式の各部分を記述するための独自の用語があります。

1 – 指数（べき乗）、2 – 係数、3 – 項、4 – 演算子、5 – 定数、- 変数 ${\displaystyle x,y}$

コンベンション

変数

慣例により、アルファベットの先頭の文字（例： ）は通常定数を表すために使用され、アルファベットの末尾の文字（例：および）は変数を表すために使用されます。^[4]これらは通常イタリック体で書かれます。^[5]${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle z}$

指数

慣例により、最も高いべき乗（指数）を持つ項は左側に書きます。例えば、は の左側に書きます。係数が1の場合、通常は省略されます（例えば、と書きます）。^[6]同様に、指数（べき乗）が1の場合（例えば、と書きます）、^[7]また、指数が0の場合、結果は常に1になります（例えば、は常に であるため、 と書きます）。^[8]${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1x^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle 3x^{1}}$ ${\displaystyle 3x}$ ${\displaystyle 3x^{0}}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle x^{0}}$ ${\displaystyle 1}$

多項式の根において

n次多項式の根、あるいはそれと同義の多項式方程式 の解は、n < 5の場合、常に代数式で表すことができます（二次方程式、三次関数、四次方程式 を参照）。このような方程式の解は代数解と呼ばれます。しかし、アーベル・ルフィニの定理によれば、 n < 5の場合、すべての方程式に代数解は存在しない（一部の方程式にのみ存在する）。 ${\displaystyle \geq }$

有理式

2つの多項式⁠ ⁠${\displaystyle P(x)}$ と⁠ ⁠${\displaystyle Q(x)}$ が与えられたとき 、その商は有理式または単に有理分数と呼ばれる。^{[9] [10] [11]}有理式はの場合には真有理式と呼ばれ、そうでない場合には偽有理式と呼ばれる。例えば、分数は真有理分数だが、分数と は偽有理分数である。任意の偽有理分数は、多項式（おそらく定数）と真有理分数の和として表すことができる。偽分数の最初の例では、 ${\textstyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}}$ ${\displaystyle \deg P(x)<\deg Q(x)}$ ${\displaystyle {\tfrac {2x}{x^{2}-1}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}-x+1}{5x^{2}+3}}}$

$${\displaystyle {\frac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}=(x+6)+{\frac {24x-35}{x^{2}-5x+6}},}$$

ここで、第2項は真有理分数です。2つの真有理分数の和もまた真有理分数です。真有理分数を2つ以上の分数の和として表す逆の過程は、部分分数に分解すると呼ばれます。例えば、

$${\displaystyle {\frac {2x}{x^{2}-1}}={\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x+1}}.}$$

ここで、右側の2つの項は部分分数と呼ばれます。

無理数

無理分数とは、分数指数の下に変数を含む分数である。^[12]無理分数の例としては、

$${\displaystyle {\frac {x^{1/2}-{\tfrac {1}{3}}a}{x^{1/3}-x^{1/2}}}.}$$

無理分数を有理分数に変換する過程は有理化と呼ばれます。根号が単項式であるすべての無理分数は、根号の添え字の最小公倍数を求め、その最小公倍数を指数とする別の変数を代入することで有理化できます。上記の例では、最小公倍数は6なので、次のように 代入できます。${\displaystyle x=z^{6}}$

$${\displaystyle {\frac {z^{3}-{\tfrac {1}{3}}a}{z^{2}-z^{3}}}.}$$

代数式やその他の数学的表現

以下の表は、代数式が、一般的ではあるものの普遍的ではない規則に従って、含まれる可能性のある要素の種類別に、他のいくつかの種類の数式とどのように比較されるかをまとめたものです。

有理代数式（または有理式）とは、 x ² + 4 x + 4のように、多項式の商として表される代数式です。無理代数式とは、 √ x + 4のように有理数ではない代数式です。

参照

• 代数関数
• 分析表現
• 閉じた形式の表現
• 表現（数学）
• プレカルキュラス
• 用語（ロジック）

注記

1. 「代数関数」の定義は、David J. Darlingのインターネット科学百科事典におけるWayback Machineの2020年10月26日アーカイブです。
2. Morris, Christopher G. (1992). Academic Press dictionary of science and technology . Gulf Professional Publishing. p. 74.体上の代数式。
3. 「代数演算 | Encyclopedia.com」www.encyclopedia.com . 2020年8月27日閲覧。
4. ウィリアム・L・ホッシュ（編）、ブリタニカ代数・三角法ガイド、ブリタニカ教育出版、ローゼン出版グループ、2010年、ISBN 1615302190、9781615302192、71ページ
5. James E. Gentle, Numerical Linear Algebra for Applications in Statistics、出版社：Springer、1998年、ISBN 0387985425, 9780387985428, 221ページ, [James E. Gentle 183ページ]
6. David Alan Herzog, Teach Yourself Visually Algebra、出版社 John Wiley & Sons、2008年、ISBN 0470185597、9780470185599、304ページ、72ページ
7. ジョン・C・ピーターソン著『Technical Mathematics With Calculus』、Cengage Learning社、2003年、ISBN 0766861899、9780766861893、1613ページ、31ページ
8. ジェローム E. カウフマン、カレン L. シュヴィッターズ、大学生のための代数、出版社 Cengage Learning、2010 年、ISBN 0538733543、9780538733540、803ページ、222ページ
9. Vinberg, Ėrnest Borisovich (2003). 『代数学講座』アメリカ数学会. p. 131. ISBN 9780821883945。
10. グプタ、パーマナンド著『総合数学 XII』ラクシュミ出版、p. 739、ISBN 9788170087410。
11. Lal, Bansi (2006). 積分学の話題. Laxmi Publications. p. 53. ISBN 9788131800027。
12. マッカートニー、ワシントン（1844年）『微分積分学の原理と幾何学への応用』203ページ。

参考文献

• ジェームズ、ロバート・クラーク; ジェームズ、グレン (1992). 数学辞典. シュプリンガー. p. 8. ISBN 9780412990410。

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「代数式」。MathWorld。