通常のオープンセット

位相空間の部分集合は、その閉包の内部に等しいとき、正則開集合と呼ばれる。記号的に表現すると、 の場合、または、同値として、 の場合である。ここで、と は、それぞれ^[1]の内部、閉包、境界を表す。${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} ({\overline {S}})=S}$ ${\displaystyle \partial ({\overline {S}})=\partial S,}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} S,}$ ${\displaystyle {\overline {S}}}$ ${\displaystyle \partial S}$ ${\displaystyle S.}$

の部分集合は、その内部の閉包と等しいとき、正則閉集合と呼ばれる。記号的に表現すると、 の場合、または、同値として、 の場合、^[1]${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} S}}=S}$ ${\displaystyle \partial (\operatorname {Int} S)=\partial S.}$

例

が通常のユークリッド位相を持つ場合、開集合は正則開集合ではない。なぜなら、のすべての開区間は正則開集合であり、すべての非退化閉区間（つまり、少なくとも2つの異なる点を含む閉区間）は正則閉集合であるからである。単集合はの閉部分集合であるが、その内部が空集合であるため、正則閉集合ではない。${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S=(0,1)\cup (1,2)}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} ({\overline {S}})=(0,2)\neq S.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varnothing ,}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} \{x\}}}={\overline {\varnothing }}=\varnothing \neq \{x\}.}$

プロパティ

の部分集合が正則開集合となるのは、その補集合が正則閉集合となる場合のみである。^[2] すべての正則開集合は開集合であり、すべての正則閉集合は閉集合である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

位相空間の部分集合が正則開集合となるための必要十分条件は、 ある^[2]に対してである。これは、内部演算子と閉包演算子の最大および最小の性質から導かれる結果であり、これらを組み合わせると、 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G=\operatorname {Int} ({\overline {A}})}$ ${\displaystyle A\subset X}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Int} ({\overline {A}})\subset {\overline {\operatorname {Int} ({\overline {A}})}}\quad \Longrightarrow \quad \operatorname {Int} ({\overline {A}})\subset \operatorname {Int} {\Big (}{\overline {\operatorname {Int} ({\overline {A}})}}{\Big )}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Int} ({\overline {A}})\subset {\overline {A}}\quad \Longrightarrow \quad {\overline {\operatorname {Int} ({\overline {A}})}}\subset {\overline {A}}\quad \Longrightarrow \quad \operatorname {Int} {\Big (}{\overline {\operatorname {Int} ({\overline {A}})}}{\Big )}\subset \operatorname {Int} ({\overline {A}})\end{aligned}}}$

の各閉開部分集合（ およびそれ自身を含む）は、同時に正規開部分集合であり、正規閉部分集合でもある。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle X}$

二つの正則開集合の積（必ずしも和集合とは限らない）は正則開集合である。同様に、二つの正則閉集合の和（必ずしも積集合とは限らない）も正則閉集合である。^[2]

におけるすべての正則開集合の集合は完全なブール代数を形成する。結合演算は次のように与えられ、補集合は次のように与えられる。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\vee V=\operatorname {Int} ({\overline {U\cup V}}),}$ ${\displaystyle U\land V=U\cap V}$ ${\displaystyle \neg U=\operatorname {Int} (X\setminus U).}$

参照

• 正則空間 – 位相空間の性質
• 半規則的なスペース
• 分離公理 – 位相幾何学における「分離」の概念を定義する公理

注記

1. Steen & Seebach、6ページ
2. Willard、「3D、正則開集合と正則閉集合」、29ページ

参考文献

• リン・アーサー・スティーン、J・アーサー・シーバッハ・ジュニア著『位相幾何学における反例』Springer-Verlag、ニューヨーク、1978年。Dover Publications、ニューヨーク、1995年再版。ISBN 0-486-68735-X（ドーバー版）。
• ウィラード、スティーブン (2004) [1970]. 一般位相幾何学.ミネオラ、ニューヨーク州:ドーバー出版. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240。