パラコンパクト空間

数学において、パラコンパクト空間とは、任意の開被覆が局所有限な開細分化を持つ位相空間である。これらの空間はディウドネ (1944) によって導入された。すべてのコンパクト空間はパラコンパクトである。^[1]すべてのパラコンパクト・ハウスドルフ空間は正規であり、ハウスドルフ空間がパラコンパクトであるための条件は^{[2]であり、かつ任意の開被覆に従属する}単位分割を許容する場合に限る。パラコンパクト空間は常にハウスドルフとなるように定義されることもある。

パラコンパクト空間のすべての閉部 分空間はパラコンパクトである。ハウスドルフ空間のコンパクト部分集合は常に閉であるが、パラコンパクト部分集合の場合はそうではない。そのすべての部分空間がパラコンパクト空間であるような空間は、遺伝的にパラコンパクトと呼ばれる。これは、すべての開部分空間がパラコンパクトであることを要求するのと同義である。

パラコンパクト空間の概念は、無点位相幾何学でも研究されており、そこではより扱いやすい。例えば、任意の数のパラコンパクト局所の積はパラコンパクト局所となるが、2つのパラコンパクト空間の積は必ずしもパラコンパクトではない。^{[3] [4]} これをティコノフの定理と比較すると、ティコノフの定理は、任意のコンパクト位相空間の積はコンパクトであると述べている。しかし、パラコンパクト空間とコンパクト空間の積は常にパラコンパクトである。

あらゆる計量空間はパラコンパクトである。位相空間が計量化可能であることと、それがパラコンパクトかつ局所計量化可能な ハウスドルフ空間であることは同値である。

意味

集合の被覆とは、その和集合に が含まれるの部分集合の集まりである。記号で表すと、が の部分集合の添字付き族である場合、が の被覆である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }.}$

位相空間の被覆は、そのすべての要素が開集合であるとき開である。空間の被覆の精緻化とは、同じ空間の新しい被覆であって、新しい被覆内の任意の集合が古い被覆内のいずれかの集合の部分集合となるようなものである。記号的に表現すると、被覆が被覆の精緻化であるためには、内の任意の に対して、となるような内のいずれかの集合が存在する必要がある。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V=\{V_{\beta }:\beta \in B\}}$ ${\displaystyle U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}}$ ${\displaystyle V_{\beta }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }}$

空間の開被覆が局所有限であるとは、その空間の任意の点が被覆内の有限個の集合とのみ交わる近傍を持つことを意味する。記号で表すと、が局所有限であるためには、任意の に対して、の近傍が存在し、その集合が ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left\{\alpha \in A:U_{\alpha }\cap V\neq \varnothing \right\}}$

は有限です。位相空間がパラコンパクトであるとは、すべての開被覆が局所有限な開細分を持つ ことを意味する。${\displaystyle X}$

この定義は、局所有限性を除き、局所にそのまま拡張されます。の開被覆が局所有限であるためには、 における有限個の開被覆とのみ交差する開被覆の集合も の被覆となる必要があります。位相空間上の開被覆が局所有限であるためには、それが基礎となる局所の局所有限被覆となる必要があります。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

例

• すべてのコンパクト空間はパラコンパクトです。
• ハウスドルフの場合のミヒャエルの定理により、すべての正則 リンデレフ空間はパラコンパクトである。 ^[5]特に、すべての局所コンパクトハウスドルフ第二可算空間はパラコンパクトである。
• ソルゲンフライ直線は、コンパクトでも、局所コンパクトでも、第二可算でも、計量化可能でもないにもかかわらず、パラコンパクトである。
• すべてのCW複合体はパラコンパクトである。^[6]
• （A・H・ストーンの定理）すべての計量空間はパラコンパクトである。^[7] 初期の証明はやや複雑であったが、M・E・ルーディンによって初等的な証明が見出された。^[8] この定理の既存の証明は、非可分な場合の選択公理を必要とする。ZF理論は、より弱い従属選択公理を追加した後でも、これを証明するのに十分ではないことが示されている。^[9]
• コンパクト集合による枯渇を許容するハウスドルフ空間はパラコンパクトである。

パラコンパクトではない空間の例としては、次のものがあります。

• 最も有名な反例は長直線であり、これは非パラコンパクト位相多様体である。(長直線は局所コンパクトだが、第二可算ではない。)
• もう一つの反例は、無限離散空間の無数個のコピーの積である。特定の点位相を持つ任意の無限集合はパラコンパクトではなく、実際はメタコンパクトですらない。
• プリューファー多様体 Pは非パラコンパクト面である。（ Pの無数開被覆は、いかなる種類の改良もなしに簡単に見つけられる。）
• バグパイプ定理は、非パラコンパクト面の位相同値類が 2 ^{ℵ _{1 個}}あることを示しています。
• ソルゲンフライ平面は、2 つのパラコンパクト空間の積であるにもかかわらず、パラコンパクトではありません。

プロパティ

パラコンパクト性は弱遺伝的である。すなわち、パラコンパクト空間のすべての閉部分空間はパラコンパクトである。これはF-シグマ部分空間にも拡張できる。 ^[10]

• （マイケルの定理）正則空間がパラコンパクトであるとは、すべての開被覆が必ずしも開被覆である必要はなく、局所有限な細分化を許容することを意味する。特に、すべての正則リンデレフ空間はパラコンパクトである。
• (スミルノフ計量化定理) 位相空間が計量化可能であるのは、それがパラコンパクト、ハウスドルフ、かつ局所計量化可能である場合のみです。
• マイケル選択定理は、 Xからバナッハ空間の空でない閉凸部分集合への下半連続多関数は、Xがパラコンパクトである場合に限り、連続選択を許容することを述べています。

パラコンパクト空間の積は必ずしもパラコンパクトである必要はありませんが、次のことは当てはまります。

• パラコンパクト空間とコンパクト空間の積はパラコンパクトである。
• メタコンパクト空間とコンパクト空間の積はメタコンパクトである。

これら両方の結果は、有限個のコンパクト空間の積がコンパクトであることの証明に使用されるチューブ補題によって証明できます。

パラコンパクトハウスドルフ空間

パラコンパクト空間は、その特性を拡張するためにハウスドルフであることも要求されることがあります。

• (ジャン・ディウドネの定理) すべてのパラコンパクト ハウスドルフ空間は正規空間である。
• すべてのパラコンパクト ハウスドルフ空間は縮小空間です。つまり、パラコンパクト ハウスドルフ空間のすべての開被覆には縮小があります。縮小とは、同じセットでインデックス付けされた別の開被覆で、新しい被覆のすべてのセットの閉包が古い被覆の対応するセットの内側にあることです。
• パラコンパクトハウスドルフ空間では、層コホモロジーとチェフコホモロジーは等しい。^[11]

統一の分割

パラコンパクト・ハウスドルフ空間の最も重要な特徴は、任意の開被覆に従属する単位分割を許容することです。これは次のことを意味します。Xが与えられた開被覆を持つパラコンパクト・ハウスドルフ空間である場合、 X上の単位区間[0, 1]に値を持つ連続関数の集合が存在し、次のようになります。

• コレクションからのすべての関数f :  X  →  Rに対して、カバーからの開集合Uが存在し、 fのサポートはUに含まれる。
• X内のすべての点xに対して、 xの近傍Vが存在し、その集合内の有限個を除くすべての関数がVにおいて常に 0 となり、非ゼロ関数の合計がVにおいて常に 1 となります。

実際、T ₁空間がハウスドルフかつパラコンパクトであるための必要十分条件は、任意の開被覆に従属する 1 の分割を許容することである（下記参照）。この性質は、パラコンパクト空間を定義する際に用いられることがある（少なくともハウスドルフの場合）。

単位分割は、局所的な構成を空間全体に拡張できることが多いため有用です。例えば、パラコンパクト多様体上の微分形式の積分は、まず局所的に定義され（多様体がユークリッド空間に似ており、積分が既知の場合）、次にこの定義は単位分割を介して空間全体に拡張されます。

パラコンパクトハウスドルフ空間が単位分割を許容することの証明

(証明を表示するには右側の「表示」をクリックし、非表示にするには「非表示」をクリックします。)

ハウスドルフ空間がパラコンパクトであるための必要十分条件は、そのすべての開被覆が従属分割単位を持つ場合である。もしあればという方向は単純である。次に、もしあればという方向について、いくつかの段階に分けて考える。 ${\displaystyle X\,}$

補題 1:が局所有限開被覆である場合、各 に対して開集合が存在し、各および は局所有限細分化である。${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle W_{U}\,}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle {\bar {W_{U}}}\subseteq U\,}$ ${\displaystyle \{W_{U}:U\in {\mathcal {O}}\}\,}$

補題 2:が局所有限開被覆である場合、となる連続関数が存在し、は常に非ゼロかつ有限である連続関数である。${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle f_{U}:X\to [0,1]\,}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{U}\subseteq U\,}$ ${\displaystyle f:=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,}$

定理:パラコンパクト ハウスドルフ空間において、が開被覆である場合、それに従属する 1 の分割が存在する。${\displaystyle X\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$

証明（補題1）

を 内の有限個の集合とのみ交わる開集合の集合とし、その閉包は 内の集合に含まれるものとする。練習問題として、これが開細分化を与えることを確認できる。なぜなら、パラコンパクト・ハウスドルフ空間は正則であり、は局所有限だからである。ここで、 を局所有限な開細分化に置き換えてみよう。この細分化における各集合は、元の被覆を特徴づける性質と同じ性質を持つことは容易に確認できる。${\displaystyle {\mathcal {V}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}\,}$

ここで を定義します。 の性質は、任意の が何らかの に含まれることを保証します。したがって、は の開精緻化です。 であるため、この被覆は直ちに局所有限となります。${\displaystyle W_{U}=\bigcup \{A\in {\mathcal {V}}:{\bar {A}}\subseteq U\}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}\,}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle W_{U}}$ ${\displaystyle \{W_{U}:U\in {\mathcal {O}}\}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle W_{U}\subseteq U}$

ここで、各 が成り立つことを示します。任意の について、 が成り立つことを証明します。局所的に有限であると選択したので、の近傍が存在し、内の有限個の集合のみがと空でない交差を持ちます。これらは の定義で示されています。したがって、を と交差する部分 と、交差しない残りの部分の 2 つの部分に分解できます。つまり、これらは閉集合 に含まれます。これで が成り立ちます。および であるため、任意の についてが成り立ちます。また、は の近傍の補集合であるため、も に含まれません。したがって が成り立ちます。${\displaystyle {\bar {W_{U}}}\subseteq U\,}$ ${\displaystyle x\notin U}$ ${\displaystyle x\notin {\bar {W_{U}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle V[x]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle V[x]}$ ${\displaystyle A_{1},...,A_{n},...\in {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle W_{U}}$ ${\displaystyle W_{U}}$ ${\displaystyle A_{1},...,A_{n}\in {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle V[x]}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle C:=X\setminus V[x]}$ ${\displaystyle {\bar {W_{U}}}\subseteq {\bar {A_{1}}}\cup ...\cup {\bar {A_{n}}}\cup C}$ ${\displaystyle {\bar {A_{i}}}\subseteq U}$ ${\displaystyle x\notin U}$ ${\displaystyle x\notin {\bar {A_{i}}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x\notin {\bar {W_{U}}}}$

証明（補題2）

補題 1 を適用して、をおよび を伴う連続写像とします(通常の空間内の互いに素な閉集合に対する Urysohn の補題により、これはパラコンパクト ハウスドルフ空間です)。関数のサポートとは、ここでは 0 に写らない点 (この集合の閉包ではない) を意味することに注意します。 が常に有限かつ非ゼロであることを示すために、 を取り、の有限個だけの集合に会うの近傍とします。したがって は、有限個だけの の集合にのみ属します。したがって、有限個を除くすべての に対して が成り立ちます。さらに、いくつかの に対して が成り立ちます。したがって も有限であり も成り立ちます。連続性を確立するために、前と同じようにを取り、 が有限であるとします。すると は連続関数です。したがっての近傍の逆像はの近傍になります。${\displaystyle f_{U}:X\to [0,1]\,}$ ${\displaystyle f_{U}\upharpoonright {\bar {W}}_{U}=1\,}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{U}\subseteq U\,}$ ${\displaystyle f=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,}$ ${\displaystyle x\in X\,}$ ${\displaystyle N\,}$ ${\displaystyle x\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle x\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle f_{U}(x)=0\,}$ ${\displaystyle U\,}$ ${\displaystyle x\in W_{U}\,}$ ${\displaystyle U\,}$ ${\displaystyle f_{U}(x)=1\,}$ ${\displaystyle f(x)\,}$ ${\displaystyle \geq 1\,}$ ${\displaystyle x,N\,}$ ${\displaystyle S=\{U\in {\mathcal {O}}:N{\text{ meets }}U\}\,}$ ${\displaystyle f\upharpoonright N=\sum _{U\in S}f_{U}\upharpoonright N\,}$ ${\displaystyle f\,}$ ${\displaystyle f(x)\,}$ ${\displaystyle x\,}$

証明（定理）:

精緻化被覆 の局所有限部分被覆を取ります。補題 2 を適用すると、を伴う連続関数を得ます（したがって、各 に対して、サポート の通常の閉じたバージョンが何らかの に含まれます。この場合、それらの和は常に有限で非ゼロです（したがって、は連続する正の有限値です）。したがって、各を で置き換えると、すべての条件が同じであれば、それらの和はどこでも となります。最後に に対して、を内の有限個の集合にのみ会うの近傍とすると、各 であるため、有限個を除くすべての に対して となります。したがって、元の開被覆に従属する 1 の分割が得られます。${\displaystyle {\mathcal {O}}^{*}\,}$ ${\displaystyle \{V{\text{ open }}:(\exists {U\in {\mathcal {O}}}){\bar {V}}\subseteq U\}\,}$ ${\displaystyle f_{W}:X\to [0,1]\,}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{W}\subseteq W\,}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle W\in {\mathcal {O}}^{*}\,}$ ${\displaystyle 1/f\,}$ ${\displaystyle f_{W}\,}$ ${\displaystyle f_{W}/f\,}$ ${\displaystyle 1\,}$ ${\displaystyle x\in X\,}$ ${\displaystyle N\,}$ ${\displaystyle x\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{*}\,}$ ${\displaystyle f_{W}\upharpoonright N=0\,}$ ${\displaystyle W\in {\mathcal {O}}^{*}\,}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{W}\subseteq W\,}$

コンパクトさとの関係

コンパクト性とパラコンパクト性の定義には類似点があります。パラコンパクト性では、「部分被覆」が「開精緻化」に、「有限」が「局所有限」に置き換えられます。これらの変更はどちらも重要です。パラコンパクトの定義において、「開精緻化」を「部分被覆」に、「局所有限」を「有限」に置き換えると、どちらの場合もコンパクト空間が得られます。

パラコンパクト性はコンパクト性の概念とはほとんど関係がなく、むしろ位相空間エンティティを扱いやすい部分に分割することに関係しています。

コンパクト性による特性の比較

パラコンパクト性は、次の点でコンパクト性と類似しています。

• パラコンパクト空間のすべての閉部分集合はパラコンパクトです。
• すべてのパラコンパクトハウスドルフ空間は正規空間である。^[10]

次の点で異なります:

• ハウスドルフ空間のパラコンパクト部分集合は必ずしも閉じている必要はない。実際、距離空間においては、すべての部分集合はパラコンパクトである。
• パラコンパクト空間の積は必ずしもパラコンパクトである必要はない。下限位相における実数直線Rの平方は、この典型的な例である。

バリエーション

パラコンパクト性の概念にはいくつかのバリエーションがあります。それらを定義するには、まず上記の用語リストを拡張する必要があります。

位相空間とは次のようなものです。

• すべての開被覆が開点有限細分化を持つ場合、メタコンパクトとなります。
• オルトコンパクトとは、すべての開被覆に開細分があり、この細分内の任意の点に関するすべての開集合の交差が開いている場合です。
• すべての開被覆に開星リファインメントがある場合は完全に正規であり、完全に正規かつT ₁の場合は完全に T _{4 です}(分離公理を参照)。

副詞「countably」を形容詞「 paracompact 」、「 metacompact 」、「 fully normal 」のいずれかに追加して、要件を可算な開被覆にのみ適用することができます。

すべてのパラコンパクト空間はメタコンパクトであり、すべてのメタコンパクト空間はオルトコンパクトです。

バリエーションに関連する用語の定義

• 被覆と点が与えられたとき、その被覆における点のスターは、その点を含む被覆内のすべての集合の和集合である。記号で表すと、 U = { U _α  : Aにおける α }におけるxのスターは、

${\displaystyle \mathbf {U} ^{*}(x):=\bigcup _{U_{\alpha }\ni x}U_{\alpha }.}$

文献では星の表記法が標準化されておらず、これは単なる可能性の 1 つにすぎません。

• 空間Xの被覆のスターリファインメントとは、同じ空間の被覆であって、その空間内の任意の点が与えられたとき、新しい被覆におけるその点のスターが、古い被覆における何らかの集合の部分集合となるような被覆のことである。記号で表すと、VはU = { U _α  : Aにおけるα }のスターリファインメントであるとは、 X内の任意のxに対して、 U内にU _αが存在し、V ^* ( x )がU _αに含まれることを言う。
• 空間Xの被覆が点有限（または点有限）であるとは、空間内の任意の点がその被覆内の有限個の集合にのみ属する場合を言う。記号的に言えば、Uが点有限であるとは、 X内の任意のxに対して集合が有限であることを意味する。${\displaystyle \left\{\alpha \in A:x\in U_{\alpha }\right\}}$

名前が示すように、完全正規空間は正規空間であり、完全T ₄空間はT ₄です。すべての完全T ₄空間はパラコンパクトです。実際、ハウスドルフ空間においては、パラコンパクト性と完全正規性は同値です。したがって、完全T ₄空間はパラコンパクト・ハウスドルフ空間と同じものです。

ハウスドルフ性がなければ、パラコンパクト空間は必ずしも完全に正規な空間とは限らない。正規ではないコンパクト空間はすべて、その例となる。

歴史的注記：完全正規空間はパラコンパクト空間よりも前に、1940年にジョン・W・テューキーによって定義されました。^[12] すべての計量化可能空間が完全正規空間であることの証明は容易です。A・H・ストーンがハウスドルフ空間において完全正規性とパラコンパクト性が同値であることを証明した時、彼はすべての計量化可能空間がパラコンパクトであることを暗黙のうちに証明しました。後にアーネスト・マイケルが 後者の事実を直接証明し、 M・E・ルーディンが別の初歩的な証明を与えました。

参照

• a-パラコンパクト空間
• 超常現象空間

注記

1. ムンクレス 2000、252ページ。
2. Dugundji 1966、170 ページ、定理 4.2。
3. ジョンストン、ピーター・T. (1983). 「無意味な位相幾何学の点」(PDF) .アメリカ数学会報. 8 (1): 41– 53. doi :10.1090/S0273-0979-1983-15080-2.
4. Dugundji 1966、165 ページ、定理 2.4。
5. ハウスドルフを使わない直接的な証明を与えることは難しくありません。
6. Hatcher, Allen、「ベクトル束とK理論」、予備版は著者のホームページで入手可能
7. ストーン、AH「パラコンパクト性と積空間」アメリカ数学会誌54（1948）、977-982
8. ルディン、メアリー・エレン（1969年2月）「計量空間がパラコンパクトであることの新たな証明」アメリカ数学会報20 ( 2): 603. doi : 10.1090/S0002-9939-1969-0236876-3 .
9. Good, C.; Tree, IJ; Watson, WS (1998年4月). 「ストーンの定理と選択公理について」.アメリカ数学会誌. 126 (4): 1211– 1218. doi : 10.1090/S0002-9939-98-04163-X .
10. Dugundji 1966、165 ページ、定理 2.2。
11. Brylinski, Jean-Luc (2007), ループ空間、特性クラス、幾何学的量子化、Progress in Mathematics、第107巻、Springer、p. 32、ISBN 9780817647308。
12. Tukey, John W. (1940).位相幾何学における収束と均一性. Annals of Mathematics Studies. 第2巻. プリンストン大学出版局, プリンストン, NJ. pp. ix+90. MR  0002515.

参考文献

• Jean Dieudonné (1944)、「Une généralisation des espaces Compacts」、Journal de Mathématiques Pures et Appliquées、Neuvième Série、23 : 65–76、ISSN  0021-7824、MR  0013297
• ドゥグンジ、ジェームズ（1966年）『トポロジー』ボストン：アリン・アンド・ベーコン社、ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485。
• Lynn Arthur SteenとJ. Arthur Seebach, Jr. , Counterexamples in Topology (2 ed) , Springer Verlag , 1978, ISBN 3-540-90312-7. P.23.
• マンクレス, ジェームズ・R. (2000).トポロジー（第2版）.アッパーサドルリバー, ニュージャージー州:プレンティス・ホール社. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260。 （印刷障害のある利用者もアクセス可能）
• ウィラード、スティーブン（1970年）『一般位相幾何学』マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェスレー社、ISBN 0-486-43479-6。
• マシュー、アキル（2010年8月18日）「トポロジー／パラコンパクト性」

外部リンク

• 「パラコンパクト空間」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]