射影オブジェクト

圏論において、射影対象の概念は射影加群の概念を一般化する。アーベル 圏の射影対象はホモロジー代数で用いられる。射影対象の双対概念は、入射対象の概念である。

意味

カテゴリ内のオブジェクトが 射影的であるとは、任意のエピモーフィズムと射影に対して、となる射影が存在する 場合、つまり、次の図が と可換である場合です。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle e:E\twoheadrightarrow X}$ ${\displaystyle f:P\to X}$ ${\displaystyle {\overline {f}}:P\to E}$ ${\displaystyle e\circ {\overline {f}}=f}$

つまり、あらゆる射影はあらゆるエピモーフィズムを通して因数分解される。^[1]${\displaystyle P\to X}$ ${\displaystyle E\twoheadrightarrow X}$

Cが局所的に小さい場合、つまり特にC内の任意のオブジェクトXに対して集合である場合、この定義は、hom関数（共表現可能関数とも呼ばれる）が ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(P,X)}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} }$

はエピモーフィズムを保存する。^[2]

アーベル圏における射影対象

カテゴリCがアーベル群のカテゴリのようなアーベルカテゴリである場合、Pが射影的であることと、

${\displaystyle \operatorname {Hom} (P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Ab} }$

は正確な関数であり、Abはアーベル群のカテゴリです。

アーベル圏が十分な射影的対象を持つとは、 の任意の 対象に対して の射影的対象と 、 PからAへの射影写像、またはそれと同値な、短い完全列が存在する場合を言う。${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle 0\to K\to P\to A\to 0.}$

この定義の目的は、任意のオブジェクトAが射影分解、すなわち（長い）正確な列を 持つことを保証することである。

${\displaystyle \dots P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to A\to 0}$

ここで、オブジェクトは射影的です。 ${\displaystyle P_{0},P_{1},\dots }$

制限されたクラスに関する射影性

Semadeni (1963) は、いわゆる二圏に対する射影的（かつ双対的に単射的）な対象の概念について論じている。二圏は、与えられた圏Cにおける「単射」と「全射」という部分圏のペアから構成される。これらの部分圏は、任意の全射が外同型であるという要件を含む、特定の形式的性質に従う。射影的対象（固定された全射のクラスに対する）は対象Pであり、Hom( P , −) は（すべての全射ではなく）固定された全射のクラスを（通常の意味での）集合の全射に変換する。

プロパティ

• 2つの射影オブジェクトの余積は射影的である。[ 3 ^]
• 射影的オブジェクトの引き込みは射影的である。[ 4 ^]

例

すべての集合が射影的であるという命題は選択公理と同等です。

アーベル群のカテゴリにおける射影オブジェクトは自由アーベル群である。

を単位元を持つ環とする。左 - 加群の（アーベル）圏- Modを考える。 - Modの射影対象は、まさに射影左 R 加群である。したがって、はそれ自体が- Modの射影対象である。双対的に、 - Modの入射対象は、 まさに射影左 R 加群である。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

左（右） -加群の圏にも十分な射影が存在します。これは、任意の左（右）-加群に対して、の生成集合によって生成される自由（したがって射影的） -加群 をとることができる（例えば、を とすることができる）ため、真となります。この場合、標準的な射影は必要な全射となります。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi \colon F\to M}$

コンパクト・ハウスドルフ空間の圏における射影対象は、まさに極限不連続空間である。この結果はグリーソン（1958）によるもので、簡略化された証明はレインウォーター（1959）によって与えられた。

バナッハ空間と縮約（すなわち、ノルムが高々1である関数）のカテゴリにおいて、エピモーフィズムはまさに稠密像を持つ写像である。Wiweger (1969)は、このカテゴリにおいて零空間が唯一の射影対象であることを示している。しかしながら、射影縮約のクラスに関して射影的となる非自明な空間も存在する。縮約を持つノルム付きベクトル空間（および「全射」としての射影写像）のカテゴリにおいて、射影対象はまさに -空間である。^[5]harvtxt エラー: ターゲットなし: CITEREFWiweger1969 (ヘルプ)${\displaystyle l^{1}}$

${\displaystyle l^{1}(S)=\{(x_{s})_{s\in S},\sum _{s\in S}||x_{s}||<\infty \}.}$

参考文献

1. Awodey (2010, §2.1)
2. マックレーン（1978年、118ページ）
3. アウォディ（2010年、72ページ）
4. アウォディ（2010年、33ページ）
5. セマデニ（1963）

• アウォディ、スティーブ（2010）、カテゴリー理論（第2版）、オックスフォード：オックスフォード大学出版局、ISBN 9780199237180、OCLC  740446073
• グリーソン、アンドリュー・M. (1958)、「射影位相空間」、イリノイ数学ジャーナル、2 (4A): 482– 489、doi : 10.1215/ijm/1255454110、MR  0121775
• マック・レーン、サンダース（1978年）、Categories for the Working Mathematician（第2版）、ニューヨーク、ニューヨーク州：Springer New York、p. 114、ISBN 1441931236、OCLC  851741862
• ミッチェル、バリー (1965).圏論. 純粋数学と応用数学. 第17巻. アカデミック・プレス. ISBN 978-0-124-99250-4. MR  0202787。
• ポトーベン、ケネス（1969）「バナッハ空間のカテゴリーにおける射影的および入射的対象」アメリカ数学会誌、22（2）：437-438、doi：10.2307/2037073、JSTOR  2037073
• レインウォーター、ジョン（1959）、「射影分解に関するノート」、アメリカ数学会誌、10（5）：734-735、doi：10.2307/2033466、JSTOR  2033466
• Semadeni, Z. (1963)、「射影性、単射性、双対性」、Rozprawy Mat.、35、MR  0154832

外部リンク

nラボの投影オブジェクト