量子力学

量子力学は物質と光の振る舞いを記述する基礎的な物理理論であり、その異常な特性は典型的には原子スケール以下で現れる。^[2]^{: 1.1}量子化学、量子生物学、量子場理論、量子技術、量子情報科学を含むすべての量子物理学の基礎となっている。

量子力学は、古典物理学では記述できない多くの系を記述することができます。古典物理学は、通常のスケール（巨視的および（光学的）微視的）において自然の多くの側面を記述できますが、非常に小さな超微視的スケール（原子および亜原子スケール）を記述するには不十分です。古典力学は、通常のスケールにおいて有効な近似として量子力学から導出することができます。^[3]

量子系は、エネルギー、運動量、角運動量などの量を連続的に測定できる古典系とは対照的に、離散的な値に量子化された束縛状態を持ちます。量子系の測定は粒子と波動の両方の特性を示します（波動粒子二重性）。また、完全な初期条件が与えられたとしても、物理量の値を測定前に予測できる精度には限界があります（不確定性原理）。

量子力学は、1900年のマックス・プランクによる黒体放射問題の解決や、光電効果を説明した1905年のアルベルト・アインシュタインの論文におけるエネルギーと周波数の対応など、古典物理学と両立しない観察を説明するための理論から徐々に生じました。現在「古い量子論」として知られる、微視的現象を理解しようとするこれらの初期の試みは、1920年代半ばにニールス・ボーア、エルヴィン・シュレーディンガー、ヴェルナー・ハイゼンベルク、マックス・ボルン、パウル・ディラックらによって量子力学が本格的に発展することにつながったのです。現代理論は、特別に開発された様々な数学的形式論で定式化されています。その1つでは、波動関数と呼ばれる数学的実体が、粒子のエネルギー、運動量、その他の物理的特性の測定値からどのような結果が得られるかに関する情報を、確率振幅の形で提供します。

概要と基本概念

量子力学により、物理システムの特性と挙動を計算することができます。これは通常、分子、原子、素粒子などの微視的システムに適用されます。数千の原子を含む複雑な分子にも当てはまることが実証されていますが、^[4]人間への適用はウィグナーの友人などの哲学的問題を引き起こし、宇宙全体への適用は推測の域を出ません。^[5]量子力学の予測は、実験により非常に高い精度で検証されています。たとえば、光と物質の相互作用に関する量子力学の改良は量子電気力学(QED) として知られており、電子の磁気特性を予測する際に、 10 ¹²分の 1 以内で実験と一致することが示されている。 ^[6]

この理論の基本的な特徴は、通常、何が起こるかを確実に予測することはできず、確率のみを与えるという点である。数学的には、確率は複素数の絶対値の2乗、すなわち確率振幅をとることで求められる。これは物理学者マックス・ボルンにちなんでボルンの法則と呼ばれる。例えば、電子のような量子粒子は波動関数で記述することができ、波動関数は空間内の各点に確率振幅を関連付ける。これらの振幅にボルンの法則を適用すると、電子を測定する実験を行った際に電子が持つ位置の確率密度関数が得られる。これは理論が行える最善の手段であり、電子がどこに存在するかを確実に述べることはできない。シュレーディンガー方程式は、ある瞬間に関係する確率振幅の集合と、別の瞬間に関係する確率振幅の集合を関連付ける。^[7]^{: 67–87}

量子力学の数学的規則の帰結の一つは、測定可能な量間の予測可能性におけるトレードオフである。この不確定性原理の最も有名な形態は、量子粒子がどのように準備され、どれほど注意深く実験が計画されたとしても、その位置の測定と運動量の測定の両方について正確な予測を行うことは不可能であるというものである。^[7]^{: 427–435}

量子力学の数学的ルールのもう一つの結果が量子干渉現象であり、これはしばしば二重スリット実験で例証される。この実験の基本的なバージョンでは、レーザー光線などのコヒーレント光源が2つの平行なスリットが開けられたプレートを照らし、スリットを通過した光がプレートの後ろのスクリーン上で観察される。^[8]^{: 102–111}^[2]^{: 1.1–1.8}光の波動性により、2つのスリットを通過する光波が干渉し、スクリーン上に明るい帯と暗い帯が生じる。これは、光が古典的な粒子から成る場合には予想されない結果である。^[8]ただし、光は常にスクリーン上で離散的な点で波ではなく個々の粒子として吸収されることがわかる。干渉縞は、スクリーン上でのこれらの粒子の衝突の密度が変化することによって現れる。さらに、スリットに検出器を設置した実験では、検出された光子は（古典粒子のように）片方のスリットを通過し、（波のように）両方のスリットを通過することはないことが分かっています。^[8]^{: 109}^[9]^[10]しかし、このような実験では、粒子がどちらのスリットを通過したかを検出すれば、干渉縞は形成されないことが示されています。この挙動は波動粒子二重性として知られています。光に加えて、電子、原子、分子もすべて、二重スリットに向けて発射されたときに同じ二重挙動を示すことが分かっています。^[2]

量子トンネル効果の簡略図。これは、古典力学では不可能な障壁を粒子が通過できる現象である。

量子力学によって予測されるもう一つの非古典的現象は量子トンネル効果である。ポテンシャル障壁にぶつかる粒子は、その運動エネルギーがポテンシャルの最大値よりも小さくても、障壁を越えることができる。^[11]古典力学では、この粒子は閉じ込められる。量子トンネル効果はいくつかの重要な結果をもたらし、放射性崩壊、恒星における核融合、そして走査トンネル顕微鏡、トンネルダイオード、トンネル電界効果トランジスタなどの応用を可能にする。^[12]^[13]

量子系が相互作用すると、量子もつれが生じる可能性があります。量子もつれとは、それらの特性が複雑に絡み合い、個々の部分のみで全体を記述することはもはや不可能になる状態です。エルヴィン・シュレーディンガーは、量子もつれを「量子力学の特徴であり、古典的な思考回路からの完全な離脱を強制する特性」と呼びました。 [ ^14]量子もつれは量子コンピューティングを可能にし、量子鍵配送や超高密度符号化などの量子通信プロトコルの一部となっています。^{[15]一般的な誤解とは異なり、量子もつれは}光速を超える信号送信を可能にしません。これは無通信定理によって実証されています。^[15]

エンタングルメントによって開かれるもう一つの可能性は、「隠れた変数」のテストである。これは量子論自体が扱う量よりも根本的な仮説的性質であり、その知識があれば量子論が提供するよりも正確な予測が可能になる。一連の結果、特にベルの定理は、こうした隠れた変数理論の広範なクラスが量子物理学と実際には両立しないことを証明している。ベルの定理によれば、自然が実際に局所的な隠れた変数の理論に従って機能する場合、ベルテストの結果は特定の定量化可能な方法で制約される。これまでに多くのベルテストが行われ、それらは局所的な隠れた変数によって課される制約と両立しない結果を示している。^[16]^[17]

これらの概念は、関連する数学を紹介せずに表面的にしか説明できません。量子力学を理解するには、複素数の操作だけでなく、線型代数、微分方程式、群論、その他のより高度な主題も必要です。^[18]^[19]したがって、この記事では、量子力学の数学的定式化を示し、いくつかの有用でよく研究されている例への応用を調査します。

数学的定式化

数学的に厳密な量子力学の定式化では、量子力学システムの状態は（可分な）複素ヒルベルト空間に属するベクトルです。このベクトルは、ヒルベルト空間の内積で正規化されると仮定されます。つまり、に従い、係数 1 の複素数（グローバル位相）まで明確に定義されます。つまり、とは同じ物理システムを表します。言い換えると、可能な状態はヒルベルト空間の射影空間（通常、複素射影空間と呼ばれます）内の点です。このヒルベルト空間の正確な性質はシステムによって異なります。たとえば、位置と運動量を記述するためのヒルベルト空間は複素平方可積分関数の空間ですが、単一陽子のスピンに対するヒルベルト空間は、通常の内積を持つ 2次元複素ベクトルの空間にすぎません。 $\psi$ ${\mathcal {H}}$ $\langle \psi ,\psi \rangle =1$ $\psi$ $e^{i\alpha }\psi$ $L^{2}(\mathbb {C} )$ $\mathbb {C} ^{2}$

位置、運動量、エネルギー、スピンなどの関心対象の物理量は、ヒルベルト空間に作用するエルミート（より正確には自己随伴）線型演算子である観測可能量で表現されます。量子状態は観測可能量の固有ベクトルとなる場合があり、その場合、固有状態と呼ばれ、関連付けられている固有値は、その固有状態における観測可能量の値に対応します。より一般的には、量子状態は固有状態の線型結合となり、量子重ね合わせとして知られています。観測可能量が測定されると、結果はボルン則によって与えられる確率を持つその固有値の 1 つになります。最も単純なケースでは、固有値は非退化であり、確率はで与えられます。ここでは関連付けられている単位長の固有ベクトルです。より一般的には、固有値は退化しており、確率はで与えられます。ここでは関連付けられている固有空間への射影です。連続の場合、これらの式は代わりに確率密度を与えます。 $\lambda$ $|\langle {\vec {\lambda }},\psi \rangle |^{2}$ ${\vec {\lambda }}$ $\langle \psi ,P_{\lambda }\psi \rangle$ $P_{\lambda }$

測定後、結果が得られた場合、量子状態は非縮退の場合にはに、一般的な場合にはに崩壊すると仮定される。このように、量子力学の確率論的性質は測定という行為に由来する。これは量子系を理解する上で最も難しい側面の一つである。これは有名なボーア＝アインシュタイン論争の中心的な話題であり、二人の科学者は思考実験によってこれらの基本原理を明らかにしようと試みた。量子力学が定式化されてから数十年にわたり、「測定」とは何かという問題は広く研究されてきた。「波動関数の崩壊」という概念を排除した量子力学の新しい解釈が定式化されてきた（例えば、多世界解釈を参照）。基本的な考え方は、量子系が測定装置と相互作用すると、それぞれの波動関数が絡み合い、元の量子系が独立した実体として存在しなくなるというものである（量子力学における測定^[20]を参照）。 $\lambda$ ${\vec {\lambda }}$ ${\textstyle P_{\lambda }\psi {\big /}\!{\sqrt {\langle \psi ,P_{\lambda }\psi \rangle }}}$

量子状態の時間発展

量子状態の時間発展はシュレーディンガー方程式によって記述される。ここではハミルトニアン、系の全エネルギーに対応する観測量、は縮約プランク定数を表す。この定数は、量子系が古典系で近似できる場合に、ハミルトニアンが古典ハミルトニアンに縮約されるように導入される。ある限界内でこのような近似を行えることは、対応原理と呼ばれる。 $i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (t)=H\psi (t).$ $H$ $\hbar$ $i\hbar$

この微分方程式の解は次のように与えられる。この演算子は時間発展演算子として知られ、ユニタリ演算子であるという重要な性質を持つ。この時間発展は、初期の量子状態が与えられた場合、その後の任意の時点での量子状態がどうなるかを明確に予測できるという意味で決定論的である。^[21] $\psi (t)=e^{-iHt/\hbar }\psi (0).$ $U(t)=e^{-iHt/\hbar }$ $\psi (0)$ $\psi (t)$

いくつかの波動関数は、ハミルトニアンの固有状態のように、時間に依存しない確率分布を生成する。 ^[7]^{: 133–137}古典力学において動的に扱われる多くの系は、このような「静的」な波動関数によって記述される。例えば、励起されていない原子中の単一電子は、古典的には原子核の周りを円軌道で運動する粒子として描かれるが、量子力学では、原子核を取り囲む静的な波動関数によって記述される。例えば、励起されていない水素原子の電子波動関数は、s軌道として知られる球対称関数である（図1）。

シュレーディンガー方程式の解析解は、量子調和振動子、箱の中の粒子、二水素陽イオン、水素原子など、ごく少数の比較的単純なモデルハミルトニアンに対してのみ知られている。わずか2個の電子しか持たないヘリウム原子でさえ、完全な解析的処理は不可能であり、閉じた形で解を得ることはできない。^[22]^[23]^[24]

しかし、近似解を求める手法は存在します。摂動論と呼ばれる手法では、単純な量子力学モデルの解析結果を用いて、例えば弱いポテンシャルエネルギーを加えることで、より複雑な関連モデルの結果を生成します。^[7]^{: 793}もう1つの近似法は、量子力学が古典的な挙動からわずかな偏差しか生じない系に適用されます。これらの偏差は、古典的な運動に基づいて計算することができます。^[7]^{: 849}

不確定性原理

基本的な量子形式主義から生じる帰結の 1 つが不確定性原理である。最もよく知られている形では、これは、量子粒子をどのような方法で準備しても、その位置の測定と運動量の測定の両方について同時に正確な予測を意味することはできない、ということを述べている。^[25]^{[26]位置と運動量はともに観測可能であり、つまり、}エルミート演算子によって表される。位置演算子と運動量演算子は交換せず、標準的な交換関係を満たしている。量子状態が与えられれば、ボルンの規則によってとの両方の期待値を計算でき、さらにそれらのべき乗についても計算できる。観測可能な量の不確定性を標準偏差で定義すると、次の式が成り立ち、運動量についても同様に成り立つ。不確定性原理は、次のことを述べている。どちらの標準偏差も原理的には任意に小さくできるが、両方を同時に小さくすることはできない。^[27]この不等式は、任意の自己随伴演算子とのペアに一般化される。これら2 つの演算子の交換演算子はであり、これは標準偏差の積の下限値を提供する。 ${\hat {X}}$ ${\hat {P}}$ $[{\hat {X}},{\hat {P}}]=i\hbar .$ $X$ $P$ $\sigma _{X}={\textstyle {\sqrt {\left\langle X^{2}\right\rangle -\left\langle X\right\rangle ^{2}}}},$ $\sigma _{P}={\sqrt {\left\langle P^{2}\right\rangle -\left\langle P\right\rangle ^{2}}}.$ $\sigma _{X}\sigma _{P}\geq {\frac {\hbar }{2}}.$ $A$ $B$ $[A,B]=AB-BA,$ $\sigma _{A}\sigma _{B}\geq {\tfrac {1}{2}}\left|{\bigl \langle }[A,B]{\bigr \rangle }\right|.$

正準交換関係のもう一つの結果は、位置演算子と運動量演算子が互いのフーリエ変換であることであり、そのため、ある物体をその運動量に従って記述することは、その物体の位置に従って記述するフーリエ変換となる。運動量の依存性が位置の依存性のフーリエ変換であるという事実は、運動量演算子が位置に従って導関数を取ることと（ある係数を除いて）等価であることを意味する。なぜなら、フーリエ解析において微分は双対空間における乗算に対応するからである。これが、位置空間における量子方程式において運動量がに置き換えられ、特に位置空間における非相対論的シュレーディンガー方程式において運動量の二乗項がラプラシアン倍に置き換えられる理由である。^[25] $i/\hbar$ $p_{i}$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}$ $-\hbar ^{2}$

複合システムとエンタングルメント

2つの異なる量子系を一緒に考える場合、複合系のヒルベルト空間は、 2つの成分のヒルベルト空間のテンソル積となる。例えば、 $A$ と $Bを$ それぞれヒルベルト空間と持つ2つの量子系とする。複合系のヒルベルト空間は、次のようになる。最初の系の状態がベクトルで、2番目の系の状態がである場合、複合系の状態はとなる。しかし、重ね合わせの原理により、これらの「分離可能な」状態または「積状態」の線形結合も有効であるため、結合ヒルベルト空間内のすべての状態をこの形式で記述できるわけではない。例えば、とが両方とも系の可能な状態であり、同様にとが両方とも系の可能な状態である場合、は分離不可能な有効な結合状態である。分離不可能な状態は、エンタングルされたと呼ばれる。^[28]^[29] ${\mathcal {H}}_{A}$ ${\mathcal {H}}_{B}$ ${\mathcal {H}}_{AB}={\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}.$ $\psi _{A}$ $\psi _{B}$ $\psi _{A}\otimes \psi _{B}.$ ${\mathcal {H}}_{AB}$ $\psi _{A}$ $\phi _{A}$ $A$ $\psi _{B}$ $\phi _{B}$ $B$ ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(\psi _{A}\otimes \psi _{B}+\phi _{A}\otimes \phi _{B}\right)$

複合系の状態がエンタングルされている場合、構成系 $A$ または構成系 $Bのいずれか一方を状態ベクトルで記述することは不可能である。代わりに、どちらか一方の構成系のみの測定によって得られる統計量を記述する$ 縮約密度行列を定義することができる。しかし、これは必然的に情報の損失を招く。個々の系の縮約密度行列を知るだけでは、複合系の状態を再構築するには不十分だからである。^[28]^[29]密度行列がより大きな系のサブシステムの状態を特定するのと同様に、正の作用素値測度（POVM）は、より大きな系で行われた測定がサブシステムに与える影響を記述する。POVMは量子情報理論で広く用いられている。^[28]^[30]

上述のように、エンタングルメントは、装置が測定対象システムとエンタングルメントする測定プロセスのモデルにおける重要な特徴です。システムがそれ自身が存在する環境と相互作用する場合、一般的にその環境とエンタングルメントが発生します。この現象は量子デコヒーレンスとして知られています。これは、実際には微視的システムよりも大きなシステムでは量子効果を観測することが困難である理由を説明できます。^[31]

処方間の同等性

量子力学には数学的に同等な定式化が数多く存在する。最も古く、最も一般的なものの一つは、ポール・ディラックによって提唱された「変換理論」である。これは、量子力学の最も初期の二つの定式化、すなわち行列力学（ヴェルナー・ハイゼンベルクによって発明）と波動力学（エルヴィン・シュレーディンガーによって発明）を統合し、一般化するものである。^[32]量子力学のもう一つの定式化は、ファインマンの経路積分定式化であり、量子力学的振幅は、初期状態と最終状態の間のすべての可能な古典的および非古典的な経路の総和として考えられる。これは、古典力学における作用原理の量子力学的対応物である。^[33]

対称性と保存則

ハミルトニアンは、の各値に対してユニタリ時間発展演算子を定義するため、時間発展の生成元として知られています。との関係から、と交換する観測可能値はすべて保存されます。つまり、その期待値は時間が経っても変化しません。^[7]^{: 471}この記述は、数学的には、任意のエルミート演算子が変数によってパラメータ化されたユニタリ演算子のファミリーを生成できることを一般化しています。によって生成される発展のもとでは、と交換する観測可能値はすべて保存されます。さらに、がのもとでの発展によって保存される場合、はによって生成される発展のもとで保存されます。これは、エミー・ノイマンが古典（ラグランジアン）力学で証明した結果の量子バージョンを意味します。つまり、ハミルトニアンのすべての微分可能な対称性に対して、対応する保存則が存在するということです。 $H$ $U(t)=e^{-iHt/\hbar }$ $t$ $U(t)$ $H$ $A$ $H$ $A$ $t$ $A$ $B$ $A$ $B$ $A$ $A$ $B$

例

自由粒子

位置自由度を持つ量子系の最も単純な例は、単一の空間次元における自由粒子である。自由粒子とは外部の影響を受けない粒子であり、そのハミルトニアンは運動エネルギーのみで構成される。シュレーディンガー方程式の一般解はで与えられ、これは運動量を持つ運動量演算子の固有状態であるすべての可能な平面波の重ね合わせである。重ね合わせの係数はであり、これは初期量子状態のフーリエ変換である。 $H={\frac {1}{2m}}P^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}.$ $\psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {\psi }}(k,0)e^{i(kx-{\frac {\hbar k^{2}}{2m}}t)}\mathrm {d} k,$ $e^{i(kx-{\frac {\hbar k^{2}}{2m}}t)}$ $p=\hbar k$ ${\hat {\psi }}(k,0)$ $\psi (x,0)$

解が単一の運動量固有状態、または単一の位置固有状態となることは不可能である。なぜなら、これらは正規化可能な量子状態ではないからである。^{[注 1]}代わりに、フーリエ変換、つまり運動量分布を持つガウス波束を考えることができる。を小さくすると位置の広がりは小さくなるが、運動量の広がりは大きくなることがわかる。逆に、を大きくすると運動量の広がりは小さくなるが、位置の広がりは大きくなる。これは不確定性原理を示している。 $\psi (x,0)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{\pi a}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2a}}}$ ${\hat {\psi }}(k,0)={\sqrt[{4}]{\frac {a}{\pi }}}e^{-{\frac {ak^{2}}{2}}}.$ $a$ $a$

ガウス波束を時間発展させていくと、その中心が一定の速度で空間を移動していることがわかります（力が作用していない古典粒子のように）。しかし、波束は時間の経過とともに広がり、位置はますます不確実になります。しかし、運動量の不確実性は一定のままです。^[34]

箱の中の粒子

一次元ポテンシャルエネルギーボックス内の粒子は、拘束条件がエネルギー準位の量子化につながる数学的に最も単純な例である。このボックスは、ある領域内ではどこでもポテンシャルエネルギーがゼロであり、したがってその領域外ではどこでもポテンシャルエネルギーが無限大であると定義される。 ^[25]^{: 77–78}方向の1次元の場合、時間に依存しないシュレーディンガー方程式は次のように書ける。 $x$ $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=E\psi .$

前の式で定義された微分演算子は、古典的な運動エネルギーの類似物を想起させます。この場合の状態は、粒子の運動エネルギーと一致するエネルギーを持ちます。 ${\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {d}{dx}}$ ${\frac {1}{2m}}{\hat {p}}_{x}^{2}=E,$ $\psi$ $E$

箱の中の粒子に対するシュレーディンガー方程式の一般解は、またはオイラーの公式から、 $\psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\qquad \qquad E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}$ $\psi (x)=C\sin(kx)+D\cos(kx).\!$

箱の無限のポテンシャル壁は、およびにおけるおよびの値を決定します。ただし、はゼロでなければなりません。したがって、では、です。でははゼロにすることはできません。これは、のノルムが1である公理と矛盾するからです。したがって、はの整数倍でなければならないため、はの整数倍でなければなりません。 $C,D,$ $k$ $x=0$ $x=L$ $\psi$ $x=0$ $\psi (0)=0=C\sin(0)+D\cos(0)=D$ $D=0$ $x=L$ $\psi (L)=0=C\sin(kL),$ $C$ $\psi$ $\sin(kL)=0$ $kL$ $\pi$ $k={\frac {n\pi }{L}}\qquad \qquad n=1,2,3,\ldots .$

この制約はエネルギーレベルに対する制約を意味し、 $k$ $E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}.$

有限ポテンシャル井戸は、無限ポテンシャル井戸問題を有限の深さを持つポテンシャル井戸に一般化したものである。有限ポテンシャル井戸問題は、波動関数が井戸の壁でゼロに固定されないため、無限粒子箱問題よりも数学的に複雑である。その代わりに、波動関数は井戸の外側の領域では非ゼロとなるため、より複雑な数学的境界条件を満たす必要がある。もう一つの関連する問題は長方形ポテンシャル障壁の問題であり、これはフラッシュメモリや走査トンネル顕微鏡などの現代技術の性能において重要な役割を果たす量子トンネル効果のモデルを提供する。

調和振動子

古典的ケースと同様に、量子調和振動子のポテンシャルは^{[7]で与えられる}^：234 $V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}.$

この問題は、シュレーディンガー方程式を直接解く（これは簡単ではない）か、ポール・ディラックによって初めて提案されたより洗練された「ラダー法」を用いるかのいずれかで扱うことができる。固有状態は次のように与えられる。ここで、H _nはエルミート多項式であり、対応するエネルギー準位は $\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\cdot H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),\qquad$ $n=0,1,2,\ldots .$ $H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x^{2}}\right),$ $E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right).$

これは、束縛状態のエネルギーの離散化を示すもう 1 つの例です。

マッハ・ツェンダー干渉計

マッハ・ツェンダー干渉計（MZI）は、重ね合わせと干渉の概念を、微分方程式ではなく2次元の線型代数を用いて説明する。これは二重スリット実験の簡略版と見ることができるが、それ自体が興味深いものであり、例えば遅延選択量子消去装置、エリツァー・ヴァイドマン爆弾試験装置、そして量子もつれの研究において興味深い。^[35]^[36]

干渉計を通過する光子は、各点において2つの経路の重ね合わせのみが可能であると仮定することでモデル化できます。「下側の」経路は左から始まり、両方のビームスプリッターを直進して上側で終わり、「上側の」経路は下から始まり、両方のビームスプリッターを直進して右側で終わります。したがって、光子の量子状態は、「下側の」経路と「上側の」経路の重ね合わせであるベクトル、つまり複素数に対してとなります。という公理を尊重するためには、である必要があります。 $\psi \in \mathbb {C} ^{2}$ $\psi _{l}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ $\psi _{u}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ $\psi =\alpha \psi _{l}+\beta \psi _{u}$ $\alpha ,\beta$ $\langle \psi ,\psi \rangle =1$ $|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1$

両方のビームスプリッターはユニタリ行列としてモデル化されており、これは光子がビームスプリッターに遭遇すると、確率振幅で同じ経路に留まるか、確率振幅で別の経路に反射されるかのいずれかであることを意味します。上アームの位相シフターはユニタリ行列としてモデル化されており、これは光子が「上」の経路上にある場合は相対位相を獲得し、下側の経路上にある場合は変化しないことを意味します。 $B={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&i\\i&1\end{pmatrix}}$ $1/{\sqrt {2}}$ $i/{\sqrt {2}}$ $P={\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{i\Delta \Phi }\end{pmatrix}}$ $\Delta \Phi$

干渉計の左から入射する光子は、ビームスプリッター、位相シフター、および別のビームスプリッターによって作用され、状態になります。また、光子が右側または上部で検出される確率は、それぞれで与えられます。したがって、マッハ・ツェンダー干渉計を使用して、これらの確率を推定することにより、位相シフトを推定することができます。 $B$ $P$ $B$ $BPB\psi _{l}=ie^{i\Delta \Phi /2}{\begin{pmatrix}-\sin(\Delta \Phi /2)\\\cos(\Delta \Phi /2)\end{pmatrix}},$ $p(u)=|\langle \psi _{u},BPB\psi _{l}\rangle |^{2}=\cos ^{2}{\frac {\Delta \Phi }{2}},$ $p(l)=|\langle \psi _{l},BPB\psi _{l}\rangle |^{2}=\sin ^{2}{\frac {\Delta \Phi }{2}}.$

光子がビームスプリッター間の「下側」または「上側」の経路のいずれかに確実に存在する場合、何が起こるかを考えることは興味深い。これは、経路の一方を遮断するか、あるいは同等に、最初のビームスプリッターを除去する（そして光子を必要に応じて左または下から供給する）ことで実現できる。どちらの場合も、経路間の干渉はなくなり、確率は位相とは無関係にで与えられる。このことから、光子は最初のビームスプリッターを通過した後、どちらかの経路を取るのではなく、2つの経路の真の量子重ね合わせ状態にあると結論付けることができる。^[37] $p(u)=p(l)=1/2$ $\Delta \Phi$

アプリケーション

量子力学は、古典的な手法では説明できない小規模かつ離散的な量や相互作用に関して、宇宙の多くの特徴を説明することに大きな成功を収めてきました。^{[注 2]}量子力学は、あらゆる物質を構成する素粒子（電子、陽子、中性子、光子など）の個々の挙動を解明できる唯一の理論であることが多いです。固体物理学と材料科学は量子力学に依存しています。^[38]

現代の技術は多くの側面において、量子効果が顕著な規模で機能しています。量子論の重要な応用分野には、量子化学、量子光学、量子コンピューティング、超伝導磁石、発光ダイオード、光増幅器およびレーザー、トランジスタやマイクロプロセッサなどの半導体、磁気共鳴画像法や電子顕微鏡法などの医療・研究用画像技術などがあります。^[39]多くの生物学的現象や物理的現象の説明は、化学結合の性質に根ざしており、最も顕著な例としては高分子DNAが挙げられます。

他の科学理論との関係

古典力学

量子力学の規則によれば、系の状態空間はヒルベルト空間であり、系の観測量はその空間内のベクトルに作用するエルミート作用素である。ただし、どのヒルベルト空間か、どの作用素かは示されていない。これらは、物理的予測を行う上で必要なステップである量子系の定量的記述を得るために適切に選択することができる。こうした選択を行う上で重要な指針となるのが対応原理である。これは、量子数が大きい領域では量子力学の予測が古典力学の予測に帰着するという発見的方法である。^[40]また、特定の系の確立された古典モデルから出発し、対応極限において古典モデルを生み出す基礎となる量子モデルを推測しようと試みることもできる。このアプローチは量子化として知られている。^[41]^{: 299}^[42]

量子力学が最初に定式化された際、その対応限界が非相対論的古典力学であるモデルに適用されました。例えば、よく知られている量子調和振動子モデルは、振動子の運動エネルギーに対して明示的に非相対論的な表現を用いており、したがって古典調和振動子の量子版と言えるでしょう。^[7]^{: 234}

良好な量子数を持たないカオス系では複雑な問題が発生するが、量子カオスはこれらの系における古典的記述と量子的記述の関係を研究する。^[41]^{: 353}

量子デコヒーレンスは、量子システムがコヒーレンスを失い、多くの典型的な量子効果を示すことができなくなるメカニズムです。量子重ね合わせは単なる確率的混合になり、量子エンタングルメントは単なる古典的な相関になります。^[7]^{: 687–730}量子コヒーレンスは、通常、マクロスケールでは明らかではありませんが、絶対零度に近い温度では量子の振る舞いがマクロ的に現れることがあります。^{[注 3]}

古典系における多くのマクロな性質は、その構成要素の量子的な振る舞いの直接的な帰結である。例えば、バルク物質（電気力のみでは急速に崩壊する原子や分子からなる）の安定性、固体の剛性、そして物質の機械的、熱的、化学的、光学的、磁気的性質はすべて、量子力学の法則に基づく電荷の相互作用の結果である。 ^[43]

特殊相対論と電磁力学

量子力学と特殊相対論を融合させようとする初期の試みでは、シュレーディンガー方程式をクライン・ゴルドン方程式やディラック方程式などの共変方程式に置き換えることが行われていた。これらの理論は多くの実験結果を説明することには成功したものの、粒子の相対論的な生成と消滅を無視していたため、いくつかの不十分な点があった。完全に相対論的な量子論には、（固定された粒子の集合ではなく）場に対して量子化を適用する量子場理論の開発が必要であった。最初の完全な量子場理論である量子電気力学は、電磁相互作用の完全な量子的記述を提供する。量子電気力学は、一般相対論と並んで、これまでに考案された最も正確な物理理論の一つである。^[44]^[45]

電磁気学システムを記述するのに、量子場理論の完全な仕組みは必要ないことが多い。量子力学の始まり以来使われてきたより単純なアプローチは、荷電粒子を古典的な電磁場の作用を受ける量子力学的物体として扱うことである。例えば、水素原子の基本量子モデルは、水素原子の電場を古典的なクーロンポテンシャルで記述する。^[7]^{: 285}同様に、シュテルン・ゲルラッハの実験では、荷電粒子は量子系としてモデル化され、背景磁場は古典的に記述される。^[41]^{: 26}この「半古典的」アプローチは、荷電粒子による光子の放出のように、電磁場における量子ゆらぎが重要な役割を果たす場合には機能しない。 $\textstyle -e^{2}/(4\pi \epsilon _{_{0}}r)$

強い核力と弱い核力に関する量子場理論も発展してきた。強い核力の量子場理論は量子色力学と呼ばれ、クォークやグルーオンといった核下粒子の相互作用を記述する。弱い核力と電磁力は、量子化された形で、物理学者アブドゥス・サラム、シェルドン・グラショー、スティーブン・ワインバーグによって単一の量子場理論（電弱理論として知られる）に統合された。[ ^46]

一般相対性理論との関係

量子論と一般相対性理論の予測は、厳密かつ繰り返し得られた経験的証拠によって裏付けられているにもかかわらず、両者の抽象的な形式論は互いに矛盾しており、一貫性のある統一的なモデルに統合することは極めて困難であることが証明されている。重力は素粒子物理学の多くの分野では無視できるため、一般相対性理論と量子力学の統一は、これらの特定の応用分野においては喫緊の課題ではない。しかし、量子重力の正しい理論の欠如は、物理宇宙論において、そして物理学者による洗練された「万物の理論」（TOE）の探求において重要な問題となっている。したがって、両理論間の矛盾を解決することは、20世紀および21世紀の物理学の主要な目標であった。このTOEは、素粒子物理学のモデルを統合するだけでなく、単一の力または現象から自然界の4つの基本的な力を導き出すことになる。^[47]

その提案の一つが弦理論である。弦理論は、素粒子物理学における点状の粒子を弦と呼ばれる 1次元の物体に置き換えるというものである。弦理論は、これらの弦がどのように空間を伝播し、相互作用するかを説明する。弦スケールよりも大きな距離スケールでは、弦は通常の粒子と全く同じように見え、質量、電荷、その他の特性は弦の振動状態によって決定される。弦理論では、弦の多くの振動状態の1つが、重力を運ぶ量子力学的粒子である重力子に対応する。 ^[48]^[49]

もう一つの一般的な理論はループ量子重力理論（LQG）であり、これは重力の量子的性質を記述するものであり、量子時空理論の一つである。LQGは標準的な量子力学と標準的な一般相対性理論を融合・適応させる試みである。この理論は、空間をスピンネットワークと呼ばれる有限ループが「織り込まれた」極めて微細な織物として記述する。スピンネットワークの時間的変化はスピンフォームと呼ばれる。スピンフォームの特徴的な長さスケールはプランク長であり、約1.616×10 ⁻³⁵ mであるため、プランク長より短い長さはLQGでは物理的に意味を持たない。^[50]

哲学的な意味合い

物理学における未解決問題

量子力学には、好ましい解釈というものがあるのでしょうか？「状態の重ね合わせ」や「波動関数の崩壊」といった要素を含む量子的な現実の記述は、どのようにして私たちが知覚する現実を生み出すのでしょうか？

物理学におけるさらなる未解決問題

量子力学は、その誕生以来、多くの直感に反する側面と結果によって、激しい哲学的論争と多くの解釈を生み出してきました。議論の中心は、量子力学の確率的性質、波動関数の崩壊とそれに関連する測定問題の難しさ、そして量子非局所性です。これらの問題に関して唯一存在するコンセンサスは、おそらくコンセンサスがないということでしょう。リチャード・ファインマンはかつて、「量子力学を理解している人は誰もいないと言っても過言ではない」と述べました。^[51]スティーブン・ワインバーグによれば、「私の意見では、量子力学の完全に満足のいく解釈は今のところ存在しない」とのことです。^[52]

ニールス・ボーア、ヴェルナー・ハイゼンベルクをはじめとする物理学者の見解は、しばしば「コペンハーゲン解釈」としてまとめられる。 ^[53]^[54]これらの見解によれば、量子力学の確率論的性質は、最終的には決定論的理論に置き換えられる一時的な特徴ではなく、むしろ古典的な「因果律」概念の最終的な放棄である。ボーアは特に、異なる実験状況下で得られる証拠は相補的であるため、量子力学形式主義を明確に適用するには、常に実験的手法を参照する必要があると強調した。コペンハーゲン型解釈は、ボーア^[55] 、ハイゼンベルク^[56] 、シュレーディンガー^[57] 、ファインマン^{[2] 、}ツァイリンガー^[58]といった量子物理学のノーベル賞受賞者や、21世紀の量子基礎理論の研究者によって採用された。^[59]

量子論の創始者のひとりであるアルバート・アインシュタインは、量子論が決定論や局所性など、いくつかの大切にされた形而上学的原理を尊重していないように見えることに悩んでいた。量子力学の意味と地位に関するアインシュタインとボーアの長きにわたるやり取りは、現在ではボーア・アインシュタイン論争として知られている。アインシュタインは、量子力学の根底には遠隔作用を明示的に禁じる理論がなければならないと信じていた。彼は、量子力学は不完全で妥当ではあるが根本的な理論ではないと主張した。これは熱力学は妥当だがその背後にある根本的な理論は統計力学であるのと同様である。1935年、アインシュタインと協力者のボリス・ポドルスキー、ネイサン・ローゼンは、局所性原理は量子力学の不完全性を意味するという議論を発表した。これは後にアインシュタイン・ポドルスキー・ローゼンのパラドックスと呼ばれる思考実験である。^{[注 4]} 1964年、ジョン・ベルはEPRの局所性原理と決定論は量子力学と実際には両立しないことを示した。これらは距離系によって生成される相関関係に制約を課すことを意味し、現在ベル不等式として知られているが、これは量子もつれ粒子によって破られる可能性がある。^[64]それ以来、これらの相関関係を得るためのいくつかの実験が行われ、その結果、それらは実際にベル不等式に違反し、局所性と決定論の結合が誤りであることが証明された。^[16]^[17]

ボーム力学は、量子力学を明示的に非局所的なものにするという代償を払って、決定論的に再定式化することが可能であることを示している。ボーム力学は、物理系に波動関数だけでなく、非局所的な誘導方程式の下で決定論的に発展する実位置も付与する。物理系の発展は、常にシュレーディンガー方程式と誘導方程式によって与えられ、波動関数の崩壊は起こらない。これにより、測定問題が解決される。^[65]

1956年に提唱されたエヴェレットの多世界解釈は、量子論で記述されるすべての可能性が、ほぼ独立した並行宇宙からなる多元宇宙において同時に発生するとしている。 ^[66]これは、波束の崩壊公理を取り除いた結果である。測定対象システムと測定装置、そして観測者におけるすべての可能な状態は、現実の物理的な量子重ね合わせの中に存在する。多元宇宙は決定論的である一方、我々は確率に支配された非決定論的な振る舞いを知覚する。なぜなら、我々は多元宇宙全体を観測するのではなく、一度に一つの並行宇宙しか観測しないからである。これがどのように機能するのかは、これまで多くの議論の対象となってきた。この解釈とボルン則の導出を試みてきたが^[67]^[68]、成功したかどうかについてはコンセンサスが得られていない。^[69]^[70]^[71]

関係量子力学は1990年代後半にコペンハーゲン型のアイデアの現代的な派生として登場し、^[72]^[73]、QBismはその数年後に開発されました。^[74]^[75]

歴史

量子力学は20世紀初頭に、場合によってはそれ以前に観測されていた現象を説明する必要性から発展しました。光の波動性に関する科学的探究は17世紀と18世紀に始まり、ロバート・フック、クリスティアーン・ホイヘンス、レオンハルト・オイラーなどの科学者が実験観察に基づいて光の波動説を提唱しました。^[76] 1803年、イギリスの博学者トーマス・ヤングは有名な二重スリット実験を発表しました。^{[77]この実験は}光の波動説が広く受け入れられる上で大きな役割を果たしました。

19世紀初頭、ジョン・ドルトンとアメデオ・アボガドロによる化学研究は、物質の原子論に重みを与えました。ジェームズ・クラーク・マクスウェル、ルートヴィヒ・ボルツマンらはこの考えを基に気体の運動論を確立しました。運動論の成功は、物質が原子で構成されているという考えにさらなる信憑性を与えましたが、この理論には欠点もあり、量子力学の発展によってのみ解決されることになりました。^[78]ギリシャ哲学における初期の原子の概念は、原子は分割できない単位であるというものでした。「アトム」という言葉はギリシャ語で「切断できない」という意味に由来します。しかし、19世紀には原子以下の構造に関する仮説が立てられました。この点における重要な発見の一つは、マイケル・ファラデーが1838年に低圧のガスを封入したガラス管内で放電によって生じる輝きを観察したことです。ユリウス・プリュッカー、ヨハン・ヴィルヘルム・ヒットルフ、オイゲン・ゴールドシュタインはファラデーの研究を引き継ぎ、改良を重ねて陰極線を特定し、JJトムソンはそれが電子と呼ばれる素粒子で構成されていることを発見した。^[79]^[80]

黒体放射の問題は、1859年にグスタフ・キルヒホフによって発見されました。1900年、マックス・プランクは、エネルギーは離散的な「量子」（またはエネルギーパケット）として放射・吸収されるという仮説を提唱し、観測された黒体放射のパターンと正確に一致する計算結果をもたらしました。^[81]量子という言葉は、ラテン語の「どれほど大きい」または「どれほどの量」を意味する「」に由来しています。^{[82]プランクによれば、エネルギーの量は「要素」に分割でき、その大きさ（}E ）は周波数（ν）に比例すると考えられます。ここで、hはプランク定数です。プランクは、これは放射の吸収と放出の過程の一側面に過ぎず、放射の物理的実体ではないと慎重に主張しました。 ^[83]実際、彼は量子仮説を、重要な発見というよりも、正しい答えを得るための数学的なトリックだと考えていました。^[84]しかし、1905年、アルバート・アインシュタインはプランクの量子仮説を現実的に解釈し、光電効果（特定の物質に光を当てると電子が物質から放出される効果）を説明するために用いました。その後、ニールス・ボーアはプランクの放射線に関する考えを水素原子モデルへと発展させ、水素のスペクトル線を正確に予測しました。^[85]アインシュタインはこの考えをさらに発展させ、光などの電磁波は、その周波数に依存する離散的なエネルギー量を持つ粒子（後に光子と呼ばれる）としても記述できることを示しました。^[86]論文「放射線の量子論について」において、アインシュタインはエネルギーと物質の相互作用を拡張し、原子によるエネルギーの吸収と放出を説明しました。当時は一般相対性理論の影に隠れていましたが、この論文は放射線の誘導放出のメカニズムを明確に示し、^[87]これがレーザーの基礎となりました。^[88] $E=h\nu \$

この段階は古い量子論として知られている。古い量子論は決して完全でも自己矛盾もなく、むしろ古典力学に対する一連の経験的修正であった。 ^[89]^[90]この理論は現在、現代の量子力学の半古典的近似として理解されている。 ^[91]^[92]この時期の注目すべき成果としては、前述のプランク、アインシュタイン、ボーアの研究に加えて、アインシュタインとピーター・デバイによる固体の比熱に関する研究、ボーアとヘンドリカ・ヨハンナ・ファン・レーウェンによる古典物理学では反磁性を説明できないという証明、そしてアルノルド・ゾンマーフェルトによるボーア模型の拡張による特殊相対論的効果の組み込みなどが挙げられる。^[89]^[93]

1920年代半ば、量子力学は原子物理学の標準的な定式化として発展しました。1923年、フランスの物理学者ルイ・ド・ブロイは、粒子が波動特性を示すことがあり、またその逆もあることを述べ、物質波動理論を提唱しました。ド・ブロイのアプローチを基に、1925年にドイツの物理学者ヴェルナー・ハイゼンベルク、マックス・ボルン、パスクアル・ジョルダン^[94]^[95]が行列力学を開発し、オーストリアの物理学者エルヴィン・シュレーディンガーが波動力学を発明したことで、現代量子力学が誕生しました。ボルンは1926年7月にシュレーディンガーの波動関数の確率的解釈を発表しました^[96]。こうして量子物理学という分野全体が出現し、1927年の第5回ソルベー会議で広く受け入れられることになりました^[97]。

1930年までに、量子力学は、測定、現実に関する知識の統計的性質、および「観察者」に関する哲学的思索をより重視して、デイヴィッド・ヒルベルト、パウル・ディラック、ジョン・フォン・ノイマン^[98]によってさらに統一され、形式化されました。それ以来、量子化学、量子エレクトロニクス、量子光学、量子情報科学など、多くの分野に浸透しています。また、現代の元素周期表の多くの特徴に有用な枠組みを提供し、化学結合中の原子の挙動やコンピューター半導体内の電子の流れを記述するため、多くの現代技術で重要な役割を果たしています。量子力学は非常に小さな世界を記述するために構築されましたが、超伝導体^[99]や超流体^[100]などのマクロな現象を説明するためにも必要です。

参照

説明ノート

^ 運動量固有状態は無限大の完全な単色波であり、これは二乗積分可能ではない。同様に、位置固有状態はディラックのデルタ分布であり、二乗積分可能ではなく、厳密には関数でもない。したがって、どちらも粒子のヒルベルト空間に属することはできない。物理学者は、ヒルベルト空間の外側の要素を含む架空の「基底」を導入することがある。これらは計算上の便宜のために考案されたものであり、物理的な状態を表すものではない。^[25]^{: 100–105}
^ たとえば、トランジスタ（第3巻、14～11ページ以降）、固体物理学の後継技術である集積回路（第2巻、8～6ページ）、レーザー（第3巻、9～13ページ）など、量子力学を使用する技術の応用については、ファインマン物理学講義を参照してください。
^ マクロ量子現象、ボーズ・アインシュタイン凝縮、量子機械を参照
^ EPR論証の公表された形式はポドルスキーによるもので、アインシュタイン自身はそれに満足していなかった。アインシュタインは自身の出版物や書簡の中で、量子力学は不完全な理論であると主張するために、異なる議論を展開した。^[60]^[61]^[62]^[63]

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さらに読む

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リチャード・ファインマン、1985年。QED ：光と物質の奇妙な理論、プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-08388-6量子電気力学と量子場理論に関する 4 つの初歩的な講義ですが、専門家にとっても多くの洞察が含まれています。
ギラルディ、ジャンカルロ、2004年。『神のカードをこっそり覗き見る』、ジェラルド・マルズバリー訳、プリンストン大学出版局。ここで引用されている作品の中で最も技術的な内容である。代数、三角法、ブラケット記法を用いた箇所は、初読では読み飛ばして構わない。
N. デイヴィッド・マーミン、1990年、「遠隔地における不気味な行動：QTの謎」『ブージャムズ・オール・ザ・ウェイ・スルー』、ケンブリッジ大学出版局、110-76ページ。
ビクター・ステンガー著、2000年。『タイムレス・リアリティ：対称性、シンプルさ、そして多重宇宙』。ニューヨーク州バッファロー、プロメテウス・ブックス刊。第5～8章。宇宙論および哲学的考察を含む。

より技術的な話:

バーンスタイン、ジェレミー（2009年）『Quantum Leaps』ケンブリッジ、マサチューセッツ州：ハーバード大学出版局ベルナップ・プレス、ISBN 978-0-674-03541-6。
ボーム、デイヴィッド（1989年）『量子論』ドーバー出版ISBN 978-0-486-65969-5。
ビニー、ジェームズ、スキナー、デイヴィッド (2008). 『量子力学の物理学』オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-968857-9。
アイスバーグ、ロバート、レスニック、ロバート(1985). 『原子、分子、固体、核、粒子の量子物理学』（第2版）Wiley. ISBN 978-0-471-87373-0。
ブライス・デウィット、R・ニール・グラハム編、1973年。『量子力学の多世界解釈』、プリンストン物理学シリーズ、プリンストン大学出版。ISBN 0-691-08131-X
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量子力学とは何か？物理学の冒険。ボストン：トランスナショナル・カレッジ、言語研究財団。1996年。ISBN 978-0-9643504-1-0. OCLC 34661512。
Veltman、Martinus JG (2003)、素粒子物理学の事実と謎。

外部リンク

ティモン・イデマによる量子力学入門
量子物理学を比較的簡単に:ハンス・ベーテによる 3 つのビデオ講義。

コース教材

Quantum Cook Book および PHYS 201: Fundamentals of Physics II 、 Ramamurti Shankar著、Yale OpenCourseware。
現代物理学: 波動、熱力学、光学を扱ったオンライン教科書。
MIT OpenCourseWare：化学と物理学。8.04、8.05、8.06を参照。
.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠5+1/2⁠ 量子力学の例。

哲学

イスマエル、ジェナン「量子力学」ザルタ、エドワード・N.編『スタンフォード哲学百科事典』所収。
ザルタ、エドワード・N.（編）「量子論における哲学的問題」スタンフォード哲学百科事典。