標準偏差

各バンドの幅が 1 標準偏差である正規分布(またはベル曲線)のプロット– 参照: 68–95–99.7 ルール。

期待値0、標準偏差1の正規分布の累積確率

統計学において、標準偏差とは、変数の値がその平均値を中心にどれだけ変動しているかを示す尺度です。^[1]標準偏差が低い場合は、値が集合の平均値（期待値とも呼ばれる）に近い傾向にあることを示し、標準偏差が高い場合は、値がより広い範囲に広がっていることを示します。標準偏差は、何が外れ値で何が外れ値でないかを判断する際によく使用されます。標準偏差は、 SDまたはstd devと略され、数学のテキストや数式では、母標準偏差を表す場合は小文字のギリシャ文字 σ (シグマ)、標本標準偏差を表す場合はラテン文字sで最もよく表されます。

ランダム変数、標本、統計的母集団、データセット、または確率分布の標準偏差は、その分散の平方根です。（有限母集団の場合、分散は平均からの偏差の二乗の平均です。）標準偏差の便利な特性は、分散とは異なり、データと同じ単位で表されることです。標準偏差は、有限標本の標準誤差を計算したり、統計的有意性を判断したりするためにも使用できます。

母集団からのデータのサンプルのみが利用可能な場合、サンプルの標準偏差またはサンプル標準偏差という用語は、それらのデータに適用される上記の量、または母集団標準偏差（母集団全体の標準偏差）の偏りのない推定値である修正された量のいずれかを指します。

標準誤差と統計的有意性との関係

母集団または標本の標準偏差と統計量の標準誤差(標本平均など) はまったく異なりますが、関連しています。標本平均の標準誤差は、母集団から無限数の標本を繰り返し抽出し、各標本の平均を計算することで得られる平均集合の標準偏差です。平均の標準誤差は、母集団標準偏差を標本サイズの平方根で割った値に等しく、標本標準偏差を標本サイズの平方根で割ることで推定されます。たとえば、世論調査の標準誤差 (世論調査の誤差の範囲として報告されるもの) は、同じ世論調査を複数回実施した場合に予測される平均の標準偏差です。したがって、標準誤差は推定値の標準偏差を推定するものであり、それ自体が母集団から抽出された特定の標本に推定値がどの程度依存するかを測定します。

科学においては、データの標準偏差（要約統計量として）と推定値の標準誤差（結果の潜在的な誤差の尺度として）の両方を報告するのが一般的です。慣例的に、帰無期待値から2標準誤差以上離れた効果のみが「統計的に有意」とみなされます。これは、実際にはランダム標本誤差による誤った結論を防ぐための措置です。

基本的な例

8人の生徒の成績の母標準偏差

対象となる母集団全体が特定のクラスの生徒8人であると仮定します。彼らの成績は以下の8つの値となります。 $${\displaystyle 2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9.}$$

有限の数値集合の場合、母集団の標準偏差は、平均値から値の偏差の二乗を引いた平均の平方根を取ることで求められます。つまり、次の式が成り立ちます。 $${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\mathrm {average} \left((v-\mu )^{2}{\text{ for }}v\in \mathrm {values} \right)}}{\text{ where }}\mu =\mathrm {average} (\mathrm {values} ).}$$

これら 8 つのデータ ポイントの平均は5 です。 $${\displaystyle \mu ={\frac {2+4+4+4+5+5+7+9}{8}}={\frac {40}{8}}=5.}$$

まず、各データ ポイントの平均からの偏差を計算し、それぞれの結果を 二乗します。$${\displaystyle {\begin{array}{lll}(2-5)^{2}=(-3)^{2}=9&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(7-5)^{2}=2^{2}=4\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(9-5)^{2}=4^{2}=16.\\\end{array}}}$$

分散は次の値の平均です。 $${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {9+1+1+1+0+0+4+16}{8}}={\frac {32}{8}}=4}$$

そして母標準偏差は分散の平方根に等しい。 $${\displaystyle \sigma ={\sqrt {4}}=2.}$$

この式は、最初の 8 つの値が完全な母集団を形成する場合にのみ有効です。値が大きな親母集団から抽出されたランダム標本である場合 (たとえば、200 万人の学生母集団からランダムに独立して 8 人の学生がいた場合)、最後の式の分母を 8 ( n )ではなく7 ( n − 1)で割ることになり、結果はその場合、元の式の結果は標本標準偏差と呼ばれ、ではなくで表されます。 で割るのではなく で割ると、より大きな親母集団の分散の不偏推定値が得られます。これはベッセルの補正として知られています。^{[2] [3]}おおまかに言うと、標本分散の式は観測値と標本平均値の差を計算することに依存しており、標本平均値自体は観測値にできるだけ近くなるように作られているため、nで割るだけでは変動性が過小評価されるためです。 ${\textstyle s={\sqrt {32/7}}\approx 2.1.}$ ${\textstyle s}$ ${\displaystyle \sigma .}$ ${\textstyle n-1}$ ${\textstyle n}$

成人男性の平均身長の標準偏差

対象の母集団がほぼ正規分布している場合、標準偏差は特定の値より上または下の観測値の割合に関する情報を提供します。たとえば、米国の成人男性の平均身長は約69 インチ^[4]で、標準偏差は約3 インチです。これは、ほとんどの男性 (正規分布を想定すると約 68% ) の身長が平均値 ( 66 ～ 72 インチ) の 3 インチ以内 (1 標準偏差) にあり、ほぼすべての男性 (約 95%) の身長が平均値 ( 63 ～ 75 インチ) の6 インチ以内 ( 2 標準偏差) にあることを意味します。標準偏差が 0 の場合、すべての男性の身長は 69 インチで同じになります。分布が正規またはベル型であると想定すると、3 標準偏差で調査対象の標本母集団の 99.73% を説明します (詳細については、 68 – 95 – 99.7 ルールまたは経験則を参照してください)。

人口値の定義

μを密度f ( x )の確率変数Xの期待値（平均）とすると、X の標準 偏差σは 次のように定義され、 $${\displaystyle \mu \equiv \operatorname {\mathbb {E} } [X]=\int _{-\infty }^{+\infty }x\,f(x)\,{\mathrm {d} }x.}$$ $${\displaystyle \sigma \equiv {\sqrt {\operatorname {\mathbb {E} } \left[\left(X-\mu \right)^{2}\right]}}={\sqrt {\int _{-\infty }^{+\infty }\left(x-\mu \right)^{2}f(x)\ {\mathrm {d} }x\;}}\ ,}$$ ${\textstyle {\sqrt {\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\left(\operatorname {\mathbb {E} } \left[X\right]\right)^{2}}}\,.}$

言葉で言えば、標準偏差はXの分散の平方根です。

確率分布の標準偏差は、その分布を持つランダム変数の標準偏差と同じです。

すべての確率変数が標準偏差を持つわけではありません。分布が無限大に広がる太い裾を持つ場合、積分が収束しない可能性があるため、標準偏差は存在しない可能性があります。正規分布は無限大に広がる裾を持ちますが、裾は十分に急速に減少するため、平均と標準偏差は存在します。パラメータ付きパレート分布は平均を持ちますが、標準偏差は持ちません（大まかに言えば、標準偏差は無限大です）。コーシー分布は平均も標準偏差も持ちません。 ${\displaystyle \alpha \in (1,2]}$

離散確率変数

Xが有限データセットx ₁ , x ₂ , ..., x _Nからランダムな値を取り、各値が同じ確率を持つ 場合、標準偏差は

$${\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\ \left[\left(x_{1}-\mu \right)^{2}+\left(x_{2}-\mu \right)^{2}+\cdots +\left(x_{N}-\mu \right)^{2}\right]\;}}\ ,~~{\text{ where }}~~\mu \equiv {\frac {1}{N}}\left(x_{1}+\cdots +x_{N}\right)\ ,}$$ 注: 上記の式にはバイアスが組み込まれています。ベッセル補正については、下記の 説明を参照してください。

あるいは、合計記法を使うと、

$${\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}\;}}\ ,~~{\text{ where }}~~\mu \equiv {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}~.}$$

値が等しい確率を持つのではなく、異なる確率を持つ場合、x _{1 の}確率はp ₁、x ₂の確率はp ₂、…、x _{N の}確率はp _Nとします。この場合、標準偏差は $${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\sum _{i=1}^{N}p_{i}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}\;}}\ ,~~{\text{ where }}~~\mu \equiv \sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}\,.}$$

連続確率変数

確率密度関数p ( x )を持つ連続実数値確率変数 Xの標準偏差は $${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\int _{\mathbf {X} }\left(x-\mu \right)^{2}\,p(x)\,{\mathrm {d} }x}}\,,~~{\text{ where }}~~\mu \equiv \int _{\mathbf {X} }x\,p(x)\,{\mathrm {d} }x\,,}$$

ここで、積分は、確率変数 Xの可能な値の集合を表すX上のxについての定積分です。

パラメトリック分布族の場合、標準偏差は多くの場合、基礎となる分布のパラメータを用いて表すことができます。例えば、基礎となる正規分布のパラメータがμとσ ²である対数正規分布の場合、対数正規分布変数の標準偏差は次の式で与えられます。 $${\displaystyle {\sqrt {\left(e^{\sigma ^{2}}-1\right)\ e^{2\mu +\sigma ^{2}}}}\,.}$$

推定

母集団全体の標準偏差は、母集団のすべてのメンバーが標本抽出される場合（標準化されたテストなど）に求めることができます。それができない場合は、母集団から無作為に抽出された標本を調べ、標本の統計量を計算することで標準偏差σを推定します。この統計量は母集団標準偏差の推定値として用いられます。このような統計量は推定値と呼ばれ、推定値（または推定値の値、つまり推定値）は標本標準偏差と呼ばれ、 s （修飾語が付く場合もあります）で表されます。

正規分布の母平均を推定する場合（標本平均は多くの望ましい特性（不偏、効率的、最大尤度）を備えた単純な推定値ですが）とは異なり、標準偏差にはこれらすべての特性を備えた単一の推定値は存在せず、標準偏差の不偏推定は非常に技術的に複雑な問題です。 ほとんどの場合、標準偏差は、以下に定義される補正標本標準偏差（N  − 1 を使用）を使用して推定され、これは修飾語なしで「標本標準偏差」と呼ばれることがよくあります。 ただし、他の推定値の方が他の点では優れています。補正されていない推定値（Nを使用）では平均二乗誤差が低くなり、N  − 1.5（正規分布の場合）を使用すると偏りがほぼ完全に排除されます。

補正されていない標本標準偏差

有限母集団の母標準偏差の式は、標本サイズを母集団サイズとして用いて標本に適用することができる（ただし、標本が抽出される実際の母集団サイズははるかに大きい可能性がある）。この推定値はs _Nと表記され、未補正標本標準偏差、あるいは標本（母集団全体とみなされる）の標準偏差と呼ばれ、以下のように定義される。^[5] $${\displaystyle s_{N}={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}},}$$

ここで、はサンプル項目の観測値、 はこれらの観測値の平均値です。分母 N はサンプルのサイズを表します。これはサンプル分散の平方根であり、サンプル平均の周りの偏差の二乗の平均です。 ${\displaystyle \{x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{N}\}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$

これは整合的な推定値（サンプル数が無限大になるほど確率的に母集団の値に収束する）であり、母集団が正規分布する場合の最大尤度推定値である。 ^[6]しかし、推定値が一般に低すぎるため、これは偏りのある推定値である。サンプルサイズが大きくなるにつれてバイアスは減少し、1/ Nに比例して減少するため、小規模または中規模のサンプルサイズで最も顕著になる（バイアスは1%未満）。したがって、サンプルサイズが非常に大きい場合、補正されていないサンプル標準偏差は一般に許容できる。この推定値は、補正されたサンプル標準偏差よりも平均二乗誤差が一様に小さい。 ${\displaystyle N>75}$

補正標本標準偏差

偏りのある標本分散（標本の2番目の中心モーメント、つまり母集団分散の下方偏りのある推定値）を使用して母集団の標準偏差の推定値を計算すると、結果は次のようになります。 $${\displaystyle s_{N}={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}.}$$

ここで平方根を取ると、ジェンセンの不等式により、平方根が凹関数であることから、さらに下方へのバイアスが生じます。分散のバイアスは簡単に修正できますが、平方根によるバイアスは修正が難しく、問題の分布に依存します。

ベッセル補正を適用し、Nの代わりにN  − 1を使用して、不偏サンプル分散s ²を生成することによって、分散の不偏推定値が与えられます。 $${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{N-1}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}.}$$

この推定値は、分散が存在し、標本値が独立に復元抽出されている場合には不偏である。N − 1は平均からの偏差ベクトルの自由度 の数に対応する。${\displaystyle \textstyle (x_{1}-{\bar {x}},\;\dots ,\;x_{n}-{\bar {x}}).}$

平方根を取るとバイアスが再導入されます（平方根は期待値と交換されない非線形関数であるため、多くの場合）。これにより、sで表される修正されたサンプル標準偏差が生成されます。${\textstyle E[{\sqrt {X}}]\neq {\sqrt {E[X]}}}$ $${\displaystyle s={\sqrt {{\frac {1}{N-1}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}.}$$

上で説明したように、s ²は母集団分散の不偏推定値ですが、sは母集団標準偏差の偏りのある推定値です。ただし、補正されていない標本標準偏差に比べると偏りは大幅に小さくなります。この推定値は広く用いられており、一般的には単に「標本標準偏差」と呼ばれています。標本数が少ない場合（Nが10未満）は、依然として偏りが大きくなる可能性があります。標本サイズが大きくなるにつれて、偏りの量は減少します。より多くの情報が得られるため、ととの差は小さくなります。 ${\displaystyle {\frac {1}{N}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{N-1}}}$

偏りのない標本標準偏差

標準偏差 の不偏推定については、平均や分散とは異なり、あらゆる分布に適用できる公式はありません。代わりに、s を基底として用い、補正係数でスケーリングすることで不偏推定値を生成します。正規分布の場合、不偏推定値は⁠で与えられます。s/c ₄⁠ 、ここで補正係数（ Nに依存）はガンマ関数で与えられ、次の式に等しくなります。 $${\displaystyle c_{4}(N)\,=\,{\sqrt {\frac {2}{N-1}}}\,\,\,{\frac {\Gamma {\left({\frac {N}{2}}\right)}}{\Gamma {\left({\frac {N-1}{2}}\right)}}}.}$$

これは、標本標準偏差の標本分布が（尺度化された）カイ分布に従い、補正係数がカイ分布の平均であるために発生します。

N  − 1 をN  − 1.5に置き換えると近似値が得られ、次のようになります。 $${\displaystyle {\hat {\sigma }}={\sqrt {{\frac {1}{N-1.5}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}},}$$

この近似値の誤差は2乗的に減少する（⁠1/N2^​⁠）、これは最小のサンプルまたは最高の精度を除くすべての場合に適しています。N = 3の場合、バイアスは 1.3% に等しく、 N = 9の場合、バイアスはすでに 0.1% 未満です。

より正確な近似値は、上記のN − 1.5をN − 1.5 + ⁠に置き換えることです。1/8( N − 1)⁠ . ^[7]

他の分布の場合、正しい式は分布によって異なりますが、経験則としては近似値をさらに改良したものを使用します。 $${\displaystyle {\hat {\sigma }}={\sqrt {{\frac {1}{N-1.5-{\frac {1}{4}}\gamma _{2}}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}},}$$

ここで、γ _{2 は}母集団過剰尖度を表す。過剰尖度は、特定の分布については事前に分かっている場合もあれば、データから推定される場合もある。^[8]

標本標準偏差の信頼区間

分布をサンプリングすることで得られる標準偏差自体は、数学的な理由（ここでは信頼区間で説明）と測定上の実際的な理由（測定誤差）の両方から、絶対的に正確ではありません。数学的な影響は、信頼区間（CI）で説明できます。

サンプル数を増やすと信頼区間が狭くなる様子を示すために、以下の例を考えてみましょう。N = 2の小さな母集団では、標準偏差を推定するための自由度は1つしかありません。その結果、標準偏差の95%信頼区間は0.45 × 標準偏差から31.9 × 標準偏差までの範囲となります。ここでの要因は以下のとおりです。

$${\displaystyle \Pr \left(q_{\frac {\alpha }{2}}<k{\frac {s^{2}}{\sigma ^{2}}}<q_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\right)=1-\alpha ,}$$

ここで、 は自由度kのカイ二乗分布のp番目の分位数、1 − αは信頼水準です。これは以下の式と等価です。 ${\displaystyle q_{p}}$

$${\displaystyle \Pr \left(k{\frac {s^{2}}{q_{1-{\frac {\alpha }{2}}}}}<\sigma ^{2}<k{\frac {s^{2}}{q_{\frac {\alpha }{2}}}}\right)=1-\alpha .}$$

k = 1 の場合、q _0.025 = 0.000982、q _0.975 = 5.024となります。これら2つの数値の平方根の逆数は、上記の係数0.45と31.9となります。

N = 10というより大きな母集団では、標準偏差を推定するための自由度は 9 です。上記と同じ計算を行うと、この場合の 95% CI は 0.69 × SD から 1.83 × SD の範囲になります。つまり、標本母集団が 10 であっても、実際の SD は標本標準偏差のほぼ 2 倍高くなる可能性があります。標本母集団がN = 100の場合、これは 0.88 × SD から 1.16 × SD にまで低下します。標本標準偏差が実際の SD に近いことをより確実にするには、より多くの点を標本化する必要があります。

これらの同じ式は、標準正規理論に基づく最小二乗近似から残差の分散の信頼区間を取得するために使用できます。ここで、 kは誤差の 自由度の数です。

標準偏差の境界

値Rの範囲にわたるN > 4のデータ セットの場合、標準偏差sの上限はs = 0.6 Rで与えられます。^[9] N > 100 のデータがほぼ正規分布であるとみなされた場合の標準偏差の推定値は、正規曲線の下の領域の 95% が平均値の両側に約 2 標準偏差分あるという経験則から得られます。そのため、95% の確率で値Rの全範囲は 4 標準偏差を表し、s ≈ R /4となります。このいわゆる範囲ルールは、可能な値の範囲の方が標準偏差よりも推定しやすいため、サンプル サイズの推定に役立ちます。s ≈ R / K ( N )となるような範囲の他の約数K ( N )は、 Nの他の値や非正規分布に対しても使用できます。 ^[10]

恒等式と数学的性質

標準偏差は位置の変化に対して不変であり、確率変数のスケールに比例する。したがって、定数cと確率変数XおよびYの場合、次の式が成り立つ。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (c)&=0\\\sigma (X+c)&=\sigma (X),\\\sigma (cX)&=|c|\sigma (X).\end{aligned}}}$$

2 つのランダム変数の合計の標準偏差は、それぞれの標準偏差とそれらの間の共分散に関連付けることができます。

$${\displaystyle \sigma (X+Y)={\sqrt {\operatorname {var} (X)+\operatorname {var} (Y)+2\,\operatorname {cov} (X,Y)}}.\,}$$

ここで、 はそれぞれ分散と共分散を表します。 ${\displaystyle \textstyle \operatorname {var} \,=\,\sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \textstyle \operatorname {cov} }$

偏差二乗和の計算は、データから直接計算されるモーメントと関連付けることができます。以下の式では、文字Eは期待値、つまり平均を意味します。

$${\displaystyle \sigma (X)={\sqrt {\operatorname {E} \left[\left(X-\operatorname {E} [X]\right)^{2}\right]}}={\sqrt {\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\left(\operatorname {E} [X]\right)^{2}}}.}$$

サンプル標準偏差は次のように計算できます。 $${\displaystyle s(X)={\sqrt {\frac {N}{N-1}}}{\sqrt {\operatorname {E} \left[\left(X-\operatorname {E} [X]\right)^{2}\right]}}.}$$

全ての点で等しい確率を持つ有限集団の場合、

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}&={\sqrt {{\frac {1}{N}}\left(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-{\bar {x}}^{2}}}\\[1ex]&={\sqrt {\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)^{2}}},\end{aligned}}}$$

つまり、標準偏差は、値の二乗の平均と平均値の二乗の差の平方根に等しくなります。

証明については分散の計算式を参照してください。また、サンプル標準偏差の同様の結果については計算式を参照してください。

解釈と応用

平均値は同じだが標準偏差が異なる2つの母集団からの標本の例。赤い母集団は平均値100、標準偏差10、青い母集団は平均値100、標準偏差50です。

標準偏差が大きい場合は、データ ポイントが平均値から遠くまで広がっていることを示し、標準偏差が小さい場合は、データ ポイントが平均値の周囲に密集していることを示します。

たとえば、3 つの母集団 {0, 0, 14, 14}、{0, 6, 8, 14}、{6, 6, 8, 8} の平均はそれぞれ 7 です。標準偏差はそれぞれ 7、5、1 です。3 番目の母集団は、値がすべて 7 に近いため、他の 2 つよりも標準偏差がはるかに小さくなります。これらの標準偏差の単位は、データ ポイント自体と同じです。たとえば、データ セット {0, 6, 8, 14} が 4 人の兄弟姉妹の年齢を表す場合、標準偏差は 5 歳です。別の例として、母集団 {1000, 1006, 1008, 1014} は、4 人の運動選手が移動した距離をメートル単位で表すことができます。その平均は 1007 メートル、標準偏差は 5 メートルです。

標準偏差は不確実性の尺度として役立ちます。例えば、物理科学では、一連の繰り返し測定の標準偏差が、それらの測定の精度を示します。測定値が理論予測と一致するかどうかを判断する際に、それらの測定値の標準偏差は極めて重要です。測定値の平均が予測から大きく離れている場合（距離は標準偏差で測定されます）、検証対象の理論を修正する必要がある可能性があります。これは、予測が正しく、標準偏差が適切に定量化されている場合に合理的に予測される値の範囲外にあるため、理にかなっています。予測区間を参照してください。

標準偏差は、典型的な値が平均値からどの程度離れているかを示す指標ですが、他にも指標があります。例えば、平均絶対偏差は、標準偏差に含まれる 二乗平均平方根距離と比較して、より直接的な平均距離の指標と言えるでしょう。

アプリケーション例

一連の値の標準偏差を理解することの実際的な価値は、平均からの変動がどの程度あるかを認識することにあります。

実験、産業、仮説検証

標準偏差は、モデルをテストするために、実世界のデータとモデルを比較するのによく使用されます。たとえば、工業用途では、生産ラインから出荷される製品の重量が法的に要求される値に準拠する必要がある場合があります。製品の一部を計量することにより平均重量が求められますが、これは長期平均とは常にわずかに異なります。標準偏差を使用することで、平均重量が非常に高い割合 (99.9% 以上) の範囲内に収まる最小値と最大値を計算できます。平均重量が範囲外になった場合、生産プロセスを修正する必要があるかどうかはわかりません。このような統計テストは、テストのコストが比較的高い場合に特に重要です。たとえば、製品を開いて水を抜いて計量する必要がある場合や、テストで製品が使い切られた場合などです。

実験科学では、現実の理論モデルが用いられます。素粒子物理学では、発見の宣言に「 5シグマ」という基準が慣例的に用いられています。5シグマレベルは、ランダムな変動によって結果が生じる確率が350万分の1であることを意味します。このレベルの確実性は、 CERNにおける2つの独立した実験でヒッグス粒子と一致する粒子が発見されたと断言するために必要であり、^[11]重力波の初観測の宣言にもつながりました。^[12]

天気

簡単な例として、内陸都市と沿岸都市の2つの都市の平均最高気温を考えてみましょう。沿岸都市の最高気温の変動幅は内陸都市よりも狭いことを理解しておくと役立ちます。したがって、これらの2つの都市の平均最高気温は同じであっても、沿岸都市の最高気温の標準偏差は内陸都市よりも小さくなります。これは、特定の日において、実際の最高気温が沿岸都市よりも内陸都市の平均最高気温から大きく離れる可能性が高いためです。

ファイナンス

金融において、標準偏差は、特定の資産（株式、債券、不動産など）の価格変動に伴うリスク、または資産ポートフォリオ^[13]（アクティブ運用の投資信託、インデックス投資信託、または ETF）のリスクの尺度としてよく使用されます。リスクは、資産またはポートフォリオの収益の変動を決定し、投資家に投資決定の数学的根拠（平均分散最適化として知られています）を提供するため、投資ポートフォリオを効率的に管理する方法を決定する上で重要な要素です。リスクの基本的な概念は、リスクが増加すると、投資の期待収益も増加するはずであり、この増加はリスク プレミアムとして知られています。言い換えれば、投資家は、投資がより高いレベルのリスクまたは不確実性を伴う場合、投資に対してより高い収益を期待する必要があります。投資を評価する際、投資家は期待収益と将来の収益の不確実性の両方を見積もる必要があります。標準偏差は、将来の収益の不確実性の定量化された推定値を提供します。

たとえば、投資家が 2 つの株式のどちらかを選択しなければならないとします。株式 A は過去 20 年間の平均収益率が 10 パーセント ポイントで、標準偏差は 20パーセント ポイント(pp) でした。株式 B は、同じ期間の平均収益率が 12 パーセントでしたが、標準偏差が 30 pp と高くなっています。リスクと収益を比較すると、株式 B の収益率が 2 パーセント ポイント高くても、標準偏差が 10 pp 高い (期待収益のリスクまたは不確実性が高い) ため、投資家は株式 A の方が安全な選択だと判断するかもしれません。同じ状況下では、株式 B は株式 A よりも初期投資額を下回る (ただし、初期投資額を上回る) 可能性が高く、平均でわずか 2 パーセント高い収益しか得られないと推定されます。この例では、株式 A は約 10 パーセント、プラスマイナス 20 pp (30 パーセントから -10 パーセントの範囲)、つまり将来の年間収益の約 3 分の 2 を得ると予想されます。将来的にさらに極端なリターンや結果が想定される場合、投資家は最大で 10% プラスマイナス 60 ポイント、つまり 70% から -50% の範囲の結果を予想する必要があります。これには平均リターン (可能性のあるリターンの約 99.7%) からの 3 標準偏差の結果が含まれます。

一定期間における証券のリターンの平均（または算術平均）を計算することで、その資産の期待リターンが得られます。各期間において、期待リターンを実際のリターンから差し引くと、平均値との差が算出されます。各期間の差を二乗し、平均をとることで、その資産のリターンの全体的な分散が得られます。分散が大きいほど、その証券のリスクは大きくなります。この分散の平方根を求めることで、当該投資ツールの標準偏差が得られます。

金融時系列は非定常系列であることが知られていますが、標準偏差などの上記の統計計算は定常系列にのみ適用されます。上記の統計ツールを非定常系列に適用するには、まず系列を定常系列に変換する必要があります。これにより、有効な根拠を持つ統計ツールを使用できるようになります。

幾何学的解釈

幾何学的な洞察と明確化のために、まず3つの値x ₁、x ₂、x _{3の集合から始めましょう。これは}R ³上の点P = ( x ₁、x ₂、x ₃ )を定義します。直線L = {( r、r、r ) : r ∈ R }を考えてみましょう。これは原点を通る「主対角線」です。もし3つの値が全て等しい場合、標準偏差は0となり、P はL上にあります。したがって、標準偏差はPからLまでの距離に関連していると仮定しても不合理ではありません。実際、その通りです。Lから点Pへ直交移動するには、次の点から始めます。

$${\displaystyle M=\left({\bar {x}},{\bar {x}},{\bar {x}}\right)}$$

その座標は、最初の値の平均です。

少し代数的に計算すると、 PとMの間の距離(これはPと直線Lの間の直交距離と同じ)は、ベクトルの標準偏差( x ₁、x ₂、x ₃ )にベクトルの次元数 (この場合は 3) の平方根を掛けたものに等しいことがわかります。 ${\textstyle {\sqrt {\sum _{i}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}}$

チェビシェフの不等式

観測値が平均値から数標準偏差以上離れることは稀です。チェビシェフの不等式により、標準偏差が定義されているすべての分布において、平均値から数標準偏差以内のデータ量は、少なくとも以下の表に示す量以上であることが保証されます。

正規分布データのルール

濃い青は平均値の両側に1標準偏差ずつ離れた部分です。正規分布では、これは全体の68.27%を占めます。一方、平均値から2標準偏差離れた部分（中青と濃い青）は95.45%、3標準偏差離れた部分（薄い青、中青、濃い青）は99.73%、4標準偏差離れた部分では99.994%を占めます。曲線上で平均値から1標準偏差離れた2点は、変曲点でもあります。

中心極限定理は、多数の独立かつ同一に分布する確率変数の平均の分布は、確率密度関数が

$${\displaystyle f\left(x,\mu ,\sigma ^{2}\right)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}},}$$

ここで、μは確率変数の期待値、 σ はそれらの分布の標準偏差をn ^{1 ⁄ 2}で割った値、nは確率変数の数です。したがって、標準偏差は曲線の広がり具合を調整する単なるスケーリング変数ですが、正規化定数にも現れます。

データ分布がほぼ正規分布である場合、平均値の z標準偏差内のデータ値の割合は次のように定義されます。

$${\displaystyle {\text{Proportion}}=\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)}$$

ここで、は誤差関数である。ある数値x以下の割合は累積分布関数によって与えられる：^[15]${\displaystyle \textstyle \operatorname {erf} }$

$${\displaystyle {\text{Proportion}}\leq x={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)\right].}$$

データ分布がほぼ正規分布に従う場合、データ値の約68%は平均値の1標準偏差（数学的にはμ ± σ、μは算術平均）以内に収まり、約95%は2標準偏差（μ ±2σ ）以内に収まり、約99.7%は3標準偏差（μ ± 3σ ）以内に収まります。これは68-95-99.7ルール、または経験則として知られています。

zのさまざまな値に対して、対称区間CI = (− z σ、z σ )の内側と外側にあると予想される値の割合は次のとおりです。

パーセンテージ（z）

z (パーセンテージ内)

標準偏差行列

標準偏差行列は、標準偏差を多次元に拡張したものである。これは共分散行列の対称平方根である。^[16]${\displaystyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$

${\displaystyle \mathbf {S} }$ は、 1次元の場合と同じように、多次元のランダムベクトルを線形にスケーリングします。分散を持つスカラーランダム変数は （単位分散）と表記されます。同様に、共分散を持つ多次元のランダムベクトルは（恒等共分散 を持つ正規化変数）と表記されます。これは を必要とします。すると には無限の解が存在するため、分布を白色化する方法も複数存在します。^[17]の対称平方根は解の1つです。 ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle x=\sigma z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\mathbf {S} {\boldsymbol {z}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {z}}}$ ${\displaystyle \mathbf {1} }$ ${\displaystyle \mathbf {S} \mathbf {S'} =\mathbf {\Sigma } }$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$

例えば、多変量正規ベクトルはと定義され、ここで は多変量標準正規ベクトルである。^[16]${\displaystyle {\boldsymbol {x}}\sim N({\boldsymbol {\mu }},\mathbf {\Sigma } )}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\mathbf {S} {\boldsymbol {z}}+{\boldsymbol {\mu }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {z}}\sim N({\boldsymbol {0}},\mathbf {1} )}$

プロパティ

• の固有ベクトルと固有値は、多変量正規分布の1標準偏差誤差楕円体の軸に対応します。「多変量正規分布：幾何学的解釈」を参照してください。${\displaystyle \mathbf {S} }$

  

  2次元正規分布の標準偏差楕円（緑）

• 多変量分布（すなわち周辺分布）を単位ベクトルの方向の線に投影した標準偏差はに等しい。^[16]${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {{\hat {\boldsymbol {\eta }}}'\mathbf {\Sigma } {\hat {\boldsymbol {\eta }}}}}=\lVert \mathbf {S} {\hat {\boldsymbol {\eta }}}\rVert }$
• 多変量分布（条件付き分布）の単位ベクトルの方向に沿ったスライスの標準偏差はに等しい。^[16]${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\lVert \mathbf {S} ^{-1}{\hat {\boldsymbol {\eta }}}\rVert }}}$
• 2つの等共分散分布間の識別指標はそれらのマハラノビス距離であり、これは平均差ベクトルであるsd行列で表される。 ^[16]${\displaystyle d'={\sqrt {({\boldsymbol {\mu }}_{a}-{\boldsymbol {\mu }}_{b})'{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\boldsymbol {\mu }}_{a}-{\boldsymbol {\mu }}_{b})}}=\lVert \mathbf {S} ^{-1}{\boldsymbol {d}}\rVert }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {d}}={\boldsymbol {\mu }}_{a}-{\boldsymbol {\mu }}_{b}}$
• スケールは正規化された変数なので、これを用いて変換を反転し、相関をなくし、分散を単位にすることができます。つまり、平均はゼロで共分散は恒等です。これはマハラノビス白色化変換と呼ばれます。${\displaystyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {z}}=\mathbf {S} ^{-1}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {\mu }})}$

標準偏差と平均の関係

データセットの平均と標準偏差は、通常一緒に報告される記述統計量です。ある意味では、データの中心が平均を中心として測定される場合、標準偏差は統計的分散の「自然な」尺度となります。これは、平均からの標準偏差が他のどの点からの標準偏差よりも小さいためです。正確な表現は次のとおりです。x 1 _, ..., x _nを実数とし、関数を定義します。

$${\displaystyle \sigma (r)={\sqrt {{\frac {1}{N-1}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-r\right)^{2}}}.}$$

微積分や平方完成法を使うと、 σ ( r ) が平均値で一意に最小値を持つ ことを示すことができます。

$${\displaystyle r={\bar {x}}.\,}$$

変動性は、標準偏差と平均値の比である変動係数によっても測定できます。これは無次元数です。

平均値の標準偏差

多くの場合、得られた平均値の精度に関する情報が必要になります。これは、標本平均値の標準偏差を求めることで得られます。標本内の値が統計的に独立していると仮定すると、平均値の標準偏差（SDOM）は分布の標準偏差と以下の関係があります。

$${\displaystyle \sigma _{\text{mean}}={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sigma ,}$$

ここで、Nは平均を推定するために用いられた標本における観測値の数です。これは次のように簡単に証明できます（分散の基本的な性質を参照）。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {var} (X)&\equiv \sigma _{X}^{2}\\\operatorname {var} (X_{1}+X_{2})&\equiv \operatorname {var} (X_{1})+\operatorname {var} (X_{2})\\\end{aligned}}}$$

（統計的独立性が仮定されます。） $${\displaystyle \operatorname {var} (cX_{1})\equiv c^{2}\,\operatorname {var} (X_{1})}$$

したがって $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {var} ({\text{mean}})&=\operatorname {var} \left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)={\frac {1}{N^{2}}}\operatorname {var} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)\\&={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i=1}^{N}\operatorname {var} (X_{i})={\frac {N}{N^{2}}}\operatorname {var} (X)={\frac {1}{N}}\operatorname {var} (X).\end{aligned}}}$$

その結果： $${\displaystyle \sigma _{\text{mean}}={\frac {\sigma }{\sqrt {N}}}.}$$

_平均の標準偏差σを推定するには、母集団全体の標準偏差σを事前に知っておく必要があります。しかし、ほとんどのアプリケーションではこのパラメータは不明です。例えば、実験室で未知の量を10回連続して測定した場合、結果として得られる標本平均と標本標準偏差を計算することは可能ですが、平均の標準偏差を計算することはできません。しかし、標本から母集団全体の標準偏差を推定し、平均の標準誤差の推定値を得ることは可能です。

迅速な計算方法

以下の2つの式は、移動標準偏差（繰り返し更新される標準偏差）を表すことができます。2つのべき乗和s ₁とs ₂は、x ₁ , ..., x _Nと表記されるN個のxの値の集合に対して計算されます。

$${\displaystyle s_{j}=\sum _{k=1}^{N}{x_{k}^{j}}.}$$

これらの累積合計の結果が与えられれば、値N、s ₁、s ₂をいつでも使用して、累積標準偏差の 現在の値を計算できます。

$${\displaystyle \sigma ={\frac {\sqrt {Ns_{2}-s_{1}^{2}}}{N}}.}$$

ここで、 Nは前述のように、値のセットの大きさです（またはs ₀と見なすこともできます）。

同様に標本標準偏差についても、

$${\displaystyle s={\sqrt {\frac {Ns_{2}-s_{1}^{2}}{N(N-1)}}}.}$$

コンピュータ実装では、2つのs _{j の}合計が大きくなるにつれて、丸め誤差、算術オーバーフロー、および算術アンダーフローを考慮する必要があります。以下の方法は、丸め誤差を低減したランニングサム法を計算します。^{[18]これは、計算中に事前データを保存する必要がなく、} n個のサンプルの分散を計算する「ワンパス」アルゴリズムです。この方法を時系列に適用すると、一定幅のスライディングウィンドウ計算ではなく、新しいサンプルごとにnが大きくなるにつれて、 n個のデータポイントに対応する標準偏差の連続値が得られます。

k = 1, ..., nの場合:

$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}&=0\\A_{k}&=A_{k-1}+{\frac {x_{k}-A_{k-1}}{k}}\end{aligned}}}$$

ここで、Aは平均値です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{0}&=0\\Q_{k}&=Q_{k-1}+{\frac {k-1}{k}}\left(x_{k}-A_{k-1}\right)^{2}\\&=Q_{k-1}+\left(x_{k}-A_{k-1}\right)\left(x_{k}-A_{k}\right)\end{aligned}}}$$

注: k − 1 = 0またはx ₁ = A ₁なので、Q ₁ = 0 となります。

サンプル分散: $${\displaystyle s_{n}^{2}={\frac {Q_{n}}{n-1}}}$$

母集団分散: $${\displaystyle \sigma _{n}^{2}={\frac {Q_{n}}{n}}}$$

加重計算

値が不均等な重みで重み付けされている場合、累乗和s ₀、s ₁、s ₂はそれぞれ次のように計算されます。 ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle w_{k}}$

$${\displaystyle s_{j}=\sum _{k=1}^{N}w_{k}x_{k}^{j}.\,}$$

標準偏差の式は変更されません。s ₀は重みの合計となり、サンプル数Nではなくなります。

多少の複雑さはありますが、丸め誤差を削減した増分方式も適用できます。

1からnまでの各kについて重みの合計を計算する必要があります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}&=0\\W_{k}&=W_{k-1}+w_{k}\end{aligned}}}$$

上記で1/ kが使用されている箇所は次のように置き換える必要があります。 ${\displaystyle w_{k}/W_{k}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}&=0\\A_{k}&=A_{k-1}+{\frac {w_{k}}{W_{k}}}\left(x_{k}-A_{k-1}\right)\\Q_{0}&=0\\Q_{k}&=Q_{k-1}+{\frac {w_{k}W_{k-1}}{W_{k}}}\left(x_{k}-A_{k-1}\right)^{2}\\&=Q_{k-1}+w_{k}\left(x_{k}-A_{k-1}\right)\left(x_{k}-A_{k}\right)\end{aligned}}}$$

最終部門では、 $${\displaystyle \sigma _{n}^{2}={\frac {Q_{n}}{W_{n}}}\,}$$

そして $${\displaystyle s_{n}^{2}={\frac {Q_{n}}{W_{n}-1}},}$$

または $${\displaystyle s_{n}^{2}={\frac {n'}{n'-1}}\sigma _{n}^{2},}$$

ここで、 nは要素の総数、n ′ は重みがゼロ以外の要素の数です。

重みを 1 とすると、上記の式は上記のより簡単な式と等しくなります。

歴史

標準偏差という用語が初めて文献に登場したのは1894年のカール・ピアソンの講義での使用に続き、彼がこの用語を引用したためである。^{[19] [20]}これは、同じ概念を表す以前の別名に代わるものであり、例えばガウスは平均誤差という用語を使用していた。^[21]

標準偏差指数

標準偏差指数（SDI）は、特に医療検査室における外部品質評価に用いられます。SDIは次のように計算されます。^[22] $${\displaystyle {\text{SDI}}={\frac {{\text{Laboratory mean}}-{\text{Consensus group mean}}}{\text{Consensus group standard deviation}}}.}$$

代替案

標準偏差は平均絶対偏差よりも代数的には単純ですが^{（例が必要）} 、実際にはそれほど堅牢ではありません。^{[23] [24]}

参照

• 数学ポータル

• 68–95–99.7ルール
• 正確さと精度
• 分散を計算するアルゴリズム
• チェビシェフの不等式位置とスケールパラメータに関する不等式
• 変動係数
• キュムラント
• 偏差（統計）
• 距離相関距離標準偏差
• エラーバー
• 幾何標準偏差
• 標準偏差の数を平均に一般化するマハラノビス距離
• 平均絶対誤差
• 中央絶対偏差
• プールされた分散
• 不確実性の伝播
• パーセンタイル
• 生データ
• 縮小カイ二乗統計
• ロバスト標準偏差
• 二乗平均平方根
• サンプルサイズ
• サミュエルソンの不等式
• シックスシグマ
• 標準誤差
• 標準スコア
• 統計的分散
• 風向の標準偏差を計算するヤマティーノ法

参考文献

1. Bland, JM; Altman, DG (1996). 「統計ノート：測定誤差」. BMJ . 312 (7047): 1654. doi :10.1136/bmj.312.7047.1654. PMC  2351401. PMID  8664723 .
2. Weisstein, Eric W.「ベッセルの補正」。MathWorld。
3. 「標準偏差の公式」www.mathsisfun.com . 2020年8月21日閲覧。
4. 米国小児・成人人体計測基準データ（2015～2018年）（PDF）、国立健康統計センター：人口動態・健康統計、第3巻、疾病管理予防センター、2021年1月、16ページ、表12
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10. Browne, Richard H. (2001). 「検出力計算におけるサンプルサイズ計算の基準としてのサンプル範囲の使用」. The American Statistician . 55 (4): 293– 298. doi :10.1198/000313001753272420. JSTOR  2685690. S2CID  122328846.
11. “CERN実験、長年探し求めていたヒッグス粒子と一致する粒子を観測 | CERN報道室”. Press.web.cern.ch. 2012年7月4日. 2016年3月25日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2015年5月30日閲覧。
12. LIGO Scientific Collaboration, Virgo Collaboration (2016)、「バイナリブラックホール合体からの重力波の観測」、Physical Review Letters、116 (6) 061102、arXiv : 1602.03837、Bibcode :2016PhRvL.116f1102A、doi :10.1103/PhysRevLett.116.061102、PMID  26918975、S2CID  124959784
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14. Ghahramani, Saeed (2000). 『確率の基礎』（第2版）. ニュージャージー州: Prentice Hall. p. 438. ISBN 9780130113290。
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18. Welford, BP (1962年8月). 「修正平方和と積の計算方法に関するノート」. Technometrics . 4 (3): 419– 420. CiteSeerX 10.1.1.302.7503 . doi :10.1080/00401706.1962.10490022. 
19. ドッジ、ヤドラー(2003).オックスフォード統計用語辞典. オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-920613-1。
20. ピアソン、カール(1894). 「非対称頻度曲線の解剖について」.王立協会哲学論文集 A. 185 : 71–110 . Bibcode : 1894RSPTA.185...71P. doi : 10.1098/rsta.1894.0003 .
21. ミラー、ジェフ。「数学用語の最も古い使用例」。
22. Harr, Robert R. (2012). Medical Laboratory Science Review . Philadelphia: FA Davis Co. p. 236. ISBN 978-0-8036-3796-2. OCLC  818846942。
23. ガウス、カール・フリードリヒ(1816)。 「Bestimmung der Genauigkeit der Beobachtungen」。天文学と展望に関するツァイツシュリフト。1：187～ 197。
24. ウォーカー、ヘレン（1931年）『統計手法の歴史研究』ボルチモア、メリーランド州：ウィリアムズ・アンド・ウィルキンス社、pp.  24-25。

外部リンク

• 「二次偏差」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• 「標準偏差計算機」