通常のローカルリング

可換代数において、正則局所環とは、その最大イデアルの生成元の最小数がそのクルル次元に等しいという性質を持つネーター 局所環のことである。^[1]記号的に、 は唯一の最大イデアル を持つ任意のネーター局所環とし、は の生成元の最小集合であるとする。すると、クルルの主イデアル定理より、 のときは常に であり、は正則であることが分かる。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle n\geq \dim A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n=\dim A}$

この概念は幾何学的な意味に由来する。代数多様体上の点が非特異点（滑らかな点）となるためには、その点における芽の局所環が正則となる必要がある。（正則スキームも参照。）正則局所環はフォン・ノイマン正則環とは無関係である。^[a]${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$ ${\displaystyle x}$

ネーター局所環の場合、次の包含連鎖が存在する。

普遍カテナリー環⊃ コーエン・マコーレー環⊃ゴレンシュタイン環⊃完全交差環⊃正則局所環

特徴づけ

正則局所環には多くの有用な定義があり、そのうちの1つは上で述べたとおりです。特に、が最大イデアルを持つネーター局所環である場合、以下の定義は同値です ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

• を可能な限り小さく選ぶとします。すると、は正則となります。${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \dim A=n\,}$ 、

ここで次元はクルル次元である。 の生成元の最小集合は、正規パラメータ系と呼ばれる。${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

• を の留数体とする。が正則な場合、${\displaystyle k=A/{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\dim A\,}$ 、

ここで、2番目の次元はクルル次元です

• を の大域次元（すなわち、すべての - 加群の射影次元の上限）とする。が正則なのは、${\displaystyle {\mbox{gl dim }}A:=\sup\{\operatorname {pd} M\mid M{\text{ is an }}A{\text{-module}}\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\mbox{gl dim }}A<\infty \,}$ 、

その場合、.${\displaystyle {\mbox{gl dim }}A=\dim A}$

重複度 1 の基準は、次のように述べています。^[2]ノイザン局所環Aの完備化が単混合 (零イデアルに埋め込まれた素因数が存在せず、各極小素数pに対して、という意味で) であり、Aの重複度が 1 である場合、Aは正則です。 (逆は常に真です。正則局所環の重複度は 1 です。) この基準は、交差の局所環が正則であるための必要条件が、交差が横断交差である場合に限るという、代数幾何学における幾何学的直観に対応します。 ${\displaystyle \dim {\widehat {A}}/p=\dim {\widehat {A}}}$

正特性の場合、クンツによる以下の重要な結果が得られる：正特性pのネーター局所環が正則であるための必要十分条件は、フロベニウス射が平坦で被約であることである。特性ゼロの場合、同様の結果は知られていない（フロベニウス射をどのように置き換えるべきか不明である）。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\to R,r\mapsto r^{p}}$ ${\displaystyle R}$

例

1. すべての体は正則局所環です。これらは（クルル）次元0を持ちます。実際、これらの体はまさに次元0の正則局所環です
2. 任意の離散値環は次元1の正則局所環であり、次元1の正則局所環はまさに離散値環である。例えば、kが体でX が不定元である場合、形式冪級数 k [[ X ]]の環は(Krull)次元1の正則局所環である。
3. pが通常の素数である場合、 p 進整数環は離散値環の例であり、したがって正則局所環となる。上記の例とは対照的に、この環は体を含まない。
4. より一般的には、kが体であり、X ₁、X ₂、 ...、X _dが不定値である場合、形式冪級数k [[ X ₁、X ₂、 ...、X _d ]] の環は、（クルル）次元dを持つ正則局所環です。
5. さらに一般的には、Aが正則局所環であれば、形式冪級数環A [[ x ]]は正則局所環となる。
6. Zが整数環で、Xが不定値である場合、環Z [ X ] _{(2, X )} (つまり、素イデアル (2, X ) に局所化された環Z [ X ] ) は、体を含まない 2 次元正則局所環の例です。
7. アーヴィン・コーエンの構造定理によれば、体kを含むクルル次元dの完全な正則局所環は、kの拡大体上のd変数の冪級数環である。

非例

環は有限次元であるが有限な大域次元を持たないため、正則な局所環ではない。例えば、無限分解が存在する ${\displaystyle A=k[x]/(x^{2})}$

${\displaystyle \cdots {\xrightarrow {\cdot x}}{\frac {k[x]}{(x^{2})}}{\xrightarrow {\cdot x}}{\frac {k[x]}{(x^{2})}}\to k\to 0}$

別の特徴付けを用いると、はちょうど 1 つの素イデアル を持つので、環は Krull 次元 を持ちますが、は零イデアルなので、 の次元は少なくともです。(実際、 は基底なので、 は と等しくなります。) ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}={\frac {(x)}{(x^{2})}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x+{\mathfrak {m}}}$

基本的な性質

アウスランダー・ブックスバウムの定理は、 すべての正則局所環は一意の因数分解域であることを述べています

正則局所環の あらゆる局所化と完備化は正則である。

が体を含む完全な正則局所環である 場合、${\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})}$

${\displaystyle A\cong k[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]}$ 、

ここでは留数体、 はクルル次元 です${\displaystyle k=A/{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle d=\dim A}$

参照:セールの高さに関する不等式およびセールの多重度予想。

基本概念の起源

正則局所環はもともと1937 年にWolfgang Krullによって定義されましたが^[3] 、数年後のOscar Zariskiの研究で初めて有名になりました^{[4] [5]。Zariski}は、幾何学的には正則局所環は代数多様体上の滑らかな点に対応することを示しまし た。Yを完全体上のアフィンn空間に含まれる代数多様体とし、Y を多項式f ₁ ,..., f _mの消失点とします。Y がPにおいて非特異である場合、つまり、 Y がヤコビ条件を満たす場合、次の式が成り立ちます。M = (∂ f _i /∂ x _j ) が多様体の定義方程式の偏導関数の行列である場合、 M をPで評価することによって求められる行列の階数はn − dim Yです。Zariski は、 YのPにおける局所環が正則である場合に限り、YがPで非特異であることを証明しました。 （ザリスキは、この方法は非完全体上では適用できない可能性があることを指摘した。）これは、滑らかさが多様体の本質的な性質であることを意味する。言い換えれば、滑らかさは多様体がアフィン空間のどこにどのように埋め込まれているかに依存しない。また、正則局所環は優れた性質を持つはずであることを示唆しているが、ホモロジー代数の手法が導入される以前は、この方向についてはほとんど知られていなかった。1950年代にそのような手法が導入されると、アウスランダーとブックスバウムは、すべての正則局所環が一意の因数分解域であることを証明した。

幾何学的直観から示唆されるもう一つの性質は、正則局所環の局所化は再び正則となるはずである、というものである。これもまた、ホモロジー的手法が導入されるまで未解決であった。正則局所環のホモロジー的特徴付けを発見したのはジャン＝ピエール・セールである。局所環Aが正則であるための必要十分条件は、 A が有限大域次元を持つ場合、すなわち、すべてのA -加群が有限長の射影分解を持つ場合である。有限大域次元を持つという性質は局所化によっても維持されること、そしてその結果として、正則局所環の素イデアルにおける局所化が再び正則となることは容易に示される。

これは、次のセクションで示す非局所可換環の 正則性の定義を正当化します。

正則環

可換代数では、正則環は可換ノイザン環であり、あらゆる素イデアルにおける局所化は正則局所環です。つまり、あらゆるそのような局所化は、その最大イデアルの生成元の最小数がそのクルル次元に等しいという特性を持ちます。

正則環という用語の由来は、アフィン多様体が非特異である（つまり、すべての点が正則である）場合、かつその正則関数の環が正則である場合に限ります。

正則環の場合、クルル次元は大域ホモロジー次元と一致します。

ジャン＝ピエール・セールは、正則環を有限大域ホモロジー次元を持つ可換ノイザン環として定義した。彼の定義は、無限クルル次元を持つ正則環を許容する上記の定義よりも強力である。

正則環の例としては、体（次元0）やデデキント域などが挙げられる。Aが正則環であれば、 A [ X ]も正則環であり、その次元はAの次元より1大きい。

特に、k が体、整数環、または主イデアル領域である場合、多項式環は 正則である。体の場合、これはヒルベルトの朔望定理である。 ${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$

正則環の任意の局所化も正則です。

正則環は被約環である^[b]が、整域である必要はない。例えば、2つの正則整域の積は正則だが、整域ではない^{[6] 。}

参照

• 幾何学的に正則な環
• 準自由環

注釈

1. 局所フォン・ノイマン正則環は除算環であるため、2 つの条件はあまり両立しません。
2. 環が簡約となるのは、その素イデアルでの局所化が簡約となる場合のみである。

引用

1. Atiyah & Macdonald 1969, p. 123, 定理11.22
2. Herrmann, M., S. Ikeda, U. Orbanz: Equimultiplicity and Blowing Up. An Algebraic Study with an Appendix by B. Moonen. Springer Verlag, Berlin Heidelberg New-York, 1988. 定理6.8.
3. Krull、Wolfgang (1937)、「Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche III」、Math. Z.、42 : 745–766、土井:10.1007/BF01160110
4. ザリスキ、オスカー(1940)、「特性0の基底体上の代数多様体」、アメリカ数学誌、62 : 187–221、doi :10.2307/2371447、JSTOR  2371447
5. ザリスキ、オスカー(1947)、「抽象代数多様体の単純点の概念」、アメリカ数学会誌、62 : 1–52、doi : 10.1090/s0002-9947-1947-0021694-1
6. 正則環はドメインか

参考文献

• アティヤ、マイケル・F.、マクドナルド、イアン・G.（1969年）『可換代数入門』、アディソン・ウェスレー、MR  0242802
• Kunz, 特性 p の正則局所環の特徴付け Amer. J. Math. 91 (1969), 772–784.
• Tsit-Yuen Lam , Lectures on Modules and Rings , Springer-Verlag , 1999, ISBN 978-1-4612-0525-8第5章G
• ジャン＝ピエール・セール著『局所代数』、シュプリンガー・フェアラーク、2000年、ISBN 3-540-66641-9. 第IV章D
• スタックス・プロジェクトの定期呼び出し