リングの縮小

数学の一分野である環論において、環が非零の冪零元を持たない場合、その環は被縮環と呼ばれます。同様に、環が非零で平方零元を持たない場合、つまりx ²  = 0ならばx  = 0となる場合、その環は被縮環と呼ばれます。可換環上の可換環は、その基となる環が被縮環である場合、被縮環と呼ばれます。

可換環Rの冪零元はRのイデアルを形成し、これはRの冪根基と呼ばれる。したがって、可換環が縮約されるための必要十分条件は、その冪根基が0 であることである。さらに、可換環が縮約されるための必要十分条件は、すべての素イデアルに含まれる唯一の元が0 であることである。

商環R / Iが約数となるのは、 I が根基イデアルである場合に限ります。

可換環 の nilradical を と表記する。可換環の圏から被約環の圏への関手が存在し、これはの への包含関手の左随伴である。自然な一対一写像は商環の 普遍性から導かれる。${\displaystyle {\mathcal {N}}_{R}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\mapsto R/{\mathcal {N}}_{R}}$ ${\displaystyle {\text{Crng}}}$ ${\displaystyle {\text{赤}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\text{赤}}}$ ${\displaystyle {\text{Crng}}}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{\text{Red}}(R/{\mathcal {N}}_{R},S)\cong {\text{Hom}}_{\text{Crng}}(R,I(S))}$

Dを被約環Rの零因子全体の集合とする。するとDはすべての極小素イデアルの和集合となる。^[1]

ネーター環 R上において、有限生成 加群 M が局所定数階数を持つとは、Spec R上の局所定数（あるいは同値連続）関数であるときである。R が縮約されることは、局所定数階数の有限生成加群がすべて射影的であることと同値である。^[2]${\displaystyle {\mathfrak {p}}\mapsto \operatorname {dim} _{k({\mathfrak {p}})}(M\otimes k({\mathfrak {p}}))}$  

例と非例

• 部分環、積、被約環の局所化もまた被約環である。
• 整数 環Zは被約環である。任意の体と任意の体上の多項式環（任意の多変数）は被約環である。
• より一般的には、冪零元はなおさら零因子であるため、すべての整域は被約環となる。一方、すべての被約環が整域となるわけではない。例えば、環Z [ x ,  y ]/( xy ) は零因子としてx + ( xy ) とy + ( xy ) を含むが、非零冪零元は含まない。別の例として、環Z  ×  Zは零因子として (1, 0) と (0, 1) を含むが、非零冪零元は含まない。
• 環Z /6 Zは既約であるが、Z /4 Zは既約ではない。2 + 4 Z類は冪零である。一般に、Z / n Zが既約となるのは、 n  = 0 またはn が平方自由である場合のみである。
• Rが可換環でNがそのnilradicalである場合、商環R / Nは既約です。
• 素特性pの可換環Rが簡約となるのは、そのフロベニウス自己準同型が単射となる場合のみです(完全体 を参照)。

一般化

代数幾何学では、簡約環は基本的な役割を果たしており、この概念は簡約スキームの概念に一般化されています。

参照

• 全商環 § 被約環の分数の環

注記

1. 証明:をすべての（ゼロの場合もある）最小素イデアルとします。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$

   ${\displaystyle D\subset \cup {\mathfrak {p}}_{i}:}$ x をDに包含するとする。すると、何らかの非零yに対してxy = 0 となる。R は既約なので、 (0) は全ての y の共通部分であり、したがってyは何らかの に包含されない。xyは全ての に包含されるので、特に においては、xは に包含される。${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{j}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$

   ${\displaystyle D\supset {\mathfrak {p}}_{i}:}$ （カプランスキーの可換環、定理84から引用）。添え字iを省略する。としよう。Sは乗法的に閉じているので、局所化を考えることができる。を極大イデアルの逆像としよう。すると、はDとDの両方に含まれ、極小性によって包含される。（この方向は、 Rが随伴素数理論によってネーター的である場合、直接的である。）${\displaystyle S=\{xy|x\in RD,y\in R-{\mathfrak {p}}\}}$ ${\displaystyle R\to R[S^{-1}]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}}$

2. アイゼンバッド 1995、演習 20.13。

参考文献

• N. ブルバキ、可換代数、ヘルマン パリ 1972 年、Chap. II、§2.7
• N. ブルバキ、代数、Springer 1990、Chap. V、§6.7
• アイゼンバッド、デイヴィッド(1995). 『代数幾何学への視点から見た可換代数』 . 数学大学院テキスト. シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-94268-8。