解決形式主義

数学において、レゾルベント形式論は、複素解析の概念をバナッハ空間やより一般的な空間上の作用素のスペクトルの研究に適用する手法である。この操作の形式的な正当性は、正則関数計算の枠組みに見出すことができる。

レゾルベントは、関数の解析構造における演算子のスペクトル特性を捉えるものである。演算子 $A$ が与えられたとき、レゾルベントは次のように定義される。

R(z;A)=(A-zI)^{-1}~.

他の用途の中でも、レゾルベントは非同次フレドホルム積分方程式を解くのに使用できます。一般的に使用されるアプローチは、級数解、つまりリウヴィル・ノイマン級数です。

$A$ の分解は、 $A$ のスペクトル分解に関する情報を直接得るために用いることができる。例えば、 $λ が$ $A$ のスペクトルにおいて孤立した固有値であるとする。つまり、複素平面上に $λと$ $A$ のスペクトルの残りの部分を隔てる単純な閉曲線が存在するとする。この場合、留数は $C_{\lambda }$

-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C_{\lambda }}(A-zI)^{-1}~dz

$はA$ の $λ$ 固有空間への射影作用素を定義する。ヒレ・ヨシダ定理は、ラプラス変換を介したレゾルベントを、 $A$ によって生成される1パラメータ変換群上の積分に関連付ける。^[1] したがって、例えば $A$ が歪エルミート行列である場合、 $U$ $($ $t$ $) = exp($ $tA$ $)$ は1パラメータユニタリ作用素群である。のときはいつでも、 zにおけるAのレゾルベントはラプラス変換 $|z|>\|A\|$

R(z;A)=\int _{0}^{\infty }e^{-zt}U(t)~dt,

ここで積分は光線に沿って行われる。^[2] $\arg t=-\arg \lambda$

歴史

リゾルベント演算子を $A$ の級数として初めて本格的に使用したのは(リウヴィル–ノイマン級数を参照) 、 Ivar Fredholmによるもので、1903 年にActa Mathematicaに発表された画期的な論文で、この論文は現代の演算子理論の確立に貢献しました。

リゾルベントという名前は、デイヴィッド・ヒルベルトによって付けられました。

解決可能なアイデンティティ

$ρ$ $($ $A$ $)$ のすべての $z, w$ に対して、演算子 $Aの$ レゾルベントセットでは、最初のレゾルベント恒等式（ヒルベルト恒等式とも呼ばれる）が成り立つ。^[3]

R(z;A)-R(w;A)=(z-w)R(z;A)R(w;A)\,.

（引用したダンフォードとシュワルツはレゾルベントを $（ zI -A ） -1$ と定義しているため、上記の式は彼らのものとは符号が異なることに注意してください。）

2番目のレゾルベント恒等式は、上記の1番目のレゾルベント恒等式の一般化であり、2つの異なる作用素のレゾルベントを比較するのに有用である。同じ線形空間上に定義された作用素 $A$ と $B$ 、および $ρ$ $($ $A$ $)\capρ$ $($ $B$ $)$ $における$ z $が$ 与えられたとき、次の恒等式が成立する。^[4]

R(z;A)-R(z;B)=R(z;A)(B-A)R(z;B)\,.

一行で証明すると次のようになります。

(A-zI)^{-1}-(B-zI)^{-1}=(A-zI)^{-1}((B-zI)-(A-zI))(B-zI)^{-1}=(A-zI)^{-1}(B-A)(B-zI)^{-1}\,.

コンパクトレゾルベント

ヒルベルト空間 $H$ 上の閉非有界作用素 $A$ : $H$ → $Hについて考察する際に、が$ コンパクト作用素となるような作用素が存在するとき、 $A は$ コンパクト・レゾルベントを持つという。そのような $A$ のスペクトルはの離散部分集合である。さらに $A が$ 自己随伴であるとき、であり、それぞれ固有値を持つ $A$ の固有ベクトルの直交基底が存在する。また、には有限の集積点は存在しない。^[5] $z\in \rho (A)$ $R(z;A)$ $\sigma (A)$ $\mathbb {C}$ $\sigma (A)\subset \mathbb {R}$ $\{v_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }$ $\{\lambda _{i}\}_{i\in \mathbb {N} }$ $\{\lambda _{i}\}$

参照

参考文献

^ Taylor、付録Aのセクション9。
^ ヒレとフィリップス、定理11.4.1、p.341
^ ダンフォードとシュワルツ、第1巻、補題6、568ページ。
^ ヒレとフィリップス、定理4.8.2、p.126
^ テイラー、515ページ。

ダンフォード、ネルソン；シュワルツ、ジェイコブ・T.（1988）「線形演算子、第1部一般理論」、ホーボーケン、ニュージャージー：ワイリー・インターサイエンス、ISBN 0-471-60848-3
Fredholm, Erik I. (1903)、「Sur une classe d'equations fonctionnelles」(PDF)、Acta Mathematica、27 : 365–390、doi : 10.1007/bf02421317
ヒル、アイナー；フィリップス、ラルフS.（1957）、関数解析と半群、プロビデンス：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-1031-6 {{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help)。
加藤敏雄（1980）『線形作用素の摂動論』（第2版）、ニューヨーク、NY：Springer-Verlag、ISBN 0-387-07558-5。
テイラー、マイケル・E.（1996）、偏微分方程式I、ニューヨーク、NY：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 7-5062-4252-4