固有値と固有ベクトル

線形代数において、固有ベクトル（/ ˈ aɪ ɡ ən -/ EYE -gən-）または特性ベクトルは、与えられた線形変換によって方向が変わらない（または反転する）（非ゼロの）ベクトルです。より正確には、線形変換の固有ベクトルは、線形変換が適用されると定数倍されます。対応する固有値、特性値、または特性根は、乗数（負の数または複素数の可能性あり）です。 ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \lambda }$

幾何学的には、ベクトルは大きさと方向を持つ多次元量であり、しばしば矢印で表されます。線形変換は、作用するベクトルを回転、伸縮、またはせん断します。線形変換の固有ベクトルとは、回転もせん断も行わずに、伸縮のみが行われるベクトルのことです。対応する固有値は、固有ベクトルが伸縮される係数です。固有値が負の場合、固有ベクトルの方向は反転します。^[1]

線形変換の固有ベクトルと固有値は、変換の特性を表すものであり、地質学から量子力学に至るまで、線形代数が応用されるあらゆる分野で重要な役割を果たします。特に、あるシステムが線形変換によって表現され、その出力が同じ変換の入力として与えられる（フィードバック）ことがよくあります。このような応用では、最大の固有値が特に重要です。なぜなら、その値は線形変換を何度も適用した後のシステムの長期的な挙動を支配し、それに関連する固有ベクトルはシステムの 定常状態となるからです。

行列

行列Aと非零ベクトルに対して、Aに（ と表記）を乗じると、 λ （ はスカラー）の係数で単純にスケールされるとき、はAの固有ベクトルと呼ばれ、λは対応する固有値である。この関係は次のように表される。^[2]${\displaystyle n{\times }n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle A\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$

n次元ベクトル空間と基底の選択が与えられた場合、ベクトル空間からそれ自身への線型変換とn行n 列の正方行列との間には直接的な対応関係がある。したがって、有限次元ベクトル空間においては、線型変換の言語、あるいは行列の言語を用いて固有値と固有ベクトルを定義することは等価である。^{[3] [4]}

概要

固有値と固有ベクトルは、線形変換の解析において重要な役割を果たします。接頭辞eigen-は、ドイツ語のeigen（英語のownと同語源）に由来し、「固有の」「特徴的な」「独自の」という意味です。^{[5] [6]もともと}剛体の回転運動の主軸を研究するために用いられていた固有値と固有ベクトルは、安定性解析、振動解析、原子軌道、顔認識、行列の対角化など、幅広い応用分野を持っています。

本質的には、線形変換Tの固有ベクトルvは、 Tを適用しても方向が変化しない非ゼロベクトルです。固有ベクトルにTを適用すると、固有ベクトルは固有値と呼ばれるスカラー値λだけスケーリングされます。この条件は、固有値方程式または固有方程式 と呼ばれる方程式で表すことができます 。一般に、λは任意のスカラーです。例えば、λ が負の値である場合、固有ベクトルはスケーリングの一環として方向を反転します。また、 λ がゼロまたは複素数である場合もあります。 $${\displaystyle T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} ,}$$

このせん断写像では、赤い矢印は方向を変えますが、青い矢印は方向を変えません。青い矢印は方向を変えないため、このせん断写像の固有ベクトルであり、長さは変わらないため、固有値は1です。

平面の伸張とせん断を表す2×2の実対称行列。行列の固有ベクトル（赤線）は、その上のすべての点が滑る2つの特別な方向を表します。

ここでは、モナリザに基づいた例で、簡単な説明を提供します。絵画上の各点は、絵画の中心からその点を指すベクトルとして表すことができます。この例の線形変換は、シアー マッピングと呼ばれます。上半分の点は右に移動し、下半分の点は、絵画の中央を通る水平軸からの距離に比例して左に移動します。したがって、元のイメージの各点を指すベクトルは、変換によって右または左に傾き、長くなったり短くなったりします。水平軸に沿った点は、この変換を適用してもまったく移動しません。したがって、マッピングによって方向が変わらないため、垂直成分がなく右または左に直接指すベクトルはすべて、この変換の固有ベクトルになります。さらに、マッピングによって長さも変わらないため、これらの固有ベクトルの固有値はすべて 1 になります。

線形変換は、さまざまなベクトル空間にベクトルをマッピングするさまざまな形式をとれるため、固有ベクトルもさまざまな形式をとれます。たとえば、線形変換はのような微分演算子になる可能性があり、その場合、固有ベクトルはのような、その微分演算子によってスケールされる 固有関数と呼ばれる関数です。あるいは、線形変換はn  ×  n行列 の形式をとる可能性があり、その場合、固有ベクトルはn  × 1行列です。線形変換がn  ×  n行列Aの形式で表される場合、上記の線形変換の固有値方程式は、 固有ベクトルvがn  × 1行列である行列の乗算として書き直すことができます。行列の場合、固有値と固有ベクトルを使用して、たとえば対角化することによって行列を分解できます。 ${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{\lambda x}=\lambda e^{\lambda x}.}$$ $${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,}$$

固有値と固有ベクトルは、密接に関連する多くの数学的概念を生み出し、それらの名前には接頭辞eigen-が頻繁に使用されます。

• 線形変換のすべての固有ベクトルの集合は、それぞれ対応する固有値と対になって、その変換の固有系と呼ばれます。 ^{[7] [8]}
• 同じ固有値に対応するTのすべての固有ベクトルの集合は、零ベクトルとともに固有空間、またはその固有値に関連付けられたTの特性空間と呼ばれます。^[9]
• Tの固有ベクトルの集合がTの定義域の基底を形成する場合、この基底は固有基底と呼ばれます。

歴史

固有値はしばしば線形代数や行列理論の文脈で導入されます。しかし、歴史的には、二次形式や微分方程式の研究において生まれました。

18世紀、レオンハルト・オイラーは剛体の回転運動を研究し、主軸の重要性を発見しました。^[a] ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュは主軸が慣性行列の固有ベクトルであることに気づきました。^[10]

19世紀初頭、オーギュスタン＝ルイ・コーシーは、彼らの研究が二次曲面の分類にどのように使えるかに気づき、それを任意の次元に一般化した。^{[11]コーシーはまた、現在では}固有値と呼ばれているものに、 racine caractéristique （特性根）という用語を造語した。彼の用語は特性方程式に残っている。^[b]

その後、ジョゼフ・フーリエはラグランジュとピエール＝シモン・ラプラスの研究成果を用いて、 1822年の論文『熱の解析理論』（Théorie analytique de la chaleur）の中で変数分離法によって熱方程式を解きました。^[12]シャルル＝フランソワ・シュトゥルムはフーリエのアイデアをさらに発展させ、コーシーの注目を集めました。コーシーはそれを自身のアイデアと組み合わせ、実対称行列は実固有値を持つという事実に至りました。^{[11]これは1855年に}シャルル・エルミートによって現在エルミート行列と呼ばれるものに拡張されました。^[13]

同じ頃、フランチェスコ・ブリオスキは直交行列の固有値が単位円上にあることを証明し、^[11]アルフレッド・クレプシュは歪対称行列について同様の結果を得ました。^[13]最後に、カール・ワイエルシュトラスはラプラスによって提唱された安定性理論の重要な側面を明らかにし、欠陥のある行列が不安定性を引き起こす可能性があることを示しました。^[11]

その間に、ジョゼフ・リウヴィルはシュトゥルムと同様の固有値問題を研究し、彼らの研究から生まれた分野は現在シュトゥルム＝リウヴィル理論と呼ばれています。^[14] シュワルツは19世紀末に一般領域におけるラプラス方程式の第一固有値を研究し、ポアンカレは数年後にポアソン方程式を研究しました。 ^[15]

20世紀初頭、ダヴィト・ヒルベルトは積分作用素の固有値を、作用素を無限行列とみなして研究した。^[16]彼は1904年に、固有値と固有ベクトルを表すために「固有の」を意味するドイツ語eigen ^[6]を初めて使用した。 ^{[c]ただし、これは}ヘルマン・フォン・ヘルムホルツの関連した用法に従った可能性もある。しばらくの間、英語では「固有値」という用語が標準であったが、今日ではより明確な「固有値」という用語が標準となっている。^[17]

固有値と固有ベクトルを計算する最初の数値アルゴリズムは、1929年にリチャード・フォン・ミーゼスがべき乗法を発表したときに登場しました。今日最も人気のある方法の一つであるQRアルゴリズムは、 1961年にジョン・GF・フランシス^[18]とヴェラ・クブラノフスカヤ^[19]によって独立に提案されました。^{[20] [21]}

行列の固有値と固有ベクトル

固有値と固有ベクトルは、行列に焦点を当てた線形代数学の授業で学生に紹介されることが多い。^{[22] [23]} さらに、有限次元ベクトル空間上の線形変換は行列を用いて表現することができ、^{[3] [4]}これは特に数値計算や計算アプリケーションでよく使われる。^[24]

行列A はベクトルx を方向を変えずに伸ばすように作用するため、xはAの固有ベクトルになります。

3次元ベクトルのような n個のスカラーのリストとして形成されるn次元ベクトルを考える。$${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}1\\-3\\4\end{bmatrix}}\quad {\mbox{and}}\quad \mathbf {y} ={\begin{bmatrix}-20\\60\\-80\end{bmatrix}}.}$$

これらのベクトルは、スカラーλが存在し 、$${\displaystyle \mathbf {x} =\lambda \mathbf {y} .}$$

この場合、。${\displaystyle \lambda =-{\frac {1}{20}}}$

ここで、 n行n列の行列Aで定義されるn次元ベクトルの線形変換を考える。 ここ で、各行について、 $${\displaystyle A\mathbf {v} =\mathbf {w} ,}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nn}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}w_{1}\\w_{2}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle w_{i}=A_{i1}v_{1}+A_{i2}v_{2}+\cdots +A_{in}v_{n}=\sum _{j=1}^{n}A_{ij}v_{j}.}$$

vとwがスカラー倍数である場合、つまり

ここで、vは線形変換Aの固有ベクトルであり、スケール係数λはその固有ベクトルに対応する固有値である。式( 1 )は行列Aの固有値方程式である。

式（１）は次のように等価的に表される。

ここで、Iはn行n列の 単位行列であり、0は零ベクトルです。

固有値と特性多項式

式( 2 )は、行列( A − λI )の行列式がゼロのときのみ、非零解vを持つ。したがって、 Aの固有値は、次式を満たす λの値である。

ライプニッツの行列式公式を用いると、式( 3 )の左辺は変数λの多項式関数となり、この多項式の次数は行列Aの次数nである。係数はAの各項に依存するが、 n次の項は常に(-1) ^{nλnとなる。}この多項式はAの特性多項式と呼ばれる。式( 3 )はAの特性方程式または永年方程式と呼ばれる。

n行n列の行列Aの特性多項式はn次多項式であり、最大でn 個の複素根を持ちます。これらの複素根は、特性多項式を因数分解するか、数値的に根を求めることによって求めることができます。特性多項式は、n 個の線形項の積に因数分解することができます。

ここで、複素数λ ₁、λ ₂、 ... 、λ _nはそれぞれ固有値であり、すべてが異なるとは限らない。（固有値が現れる回数は、その固有値の代数的重複度と呼ばれる。）

簡単な例として、後述の例のセクションでより詳しく説明しますが、次の行列を考えてみましょう。 $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}.}$$

( A − λI )の行列式をとると、 Aの特性多項式は $${\displaystyle \det(A-\lambda I)={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}=3-4\lambda +\lambda ^{2}.}$$

特性多項式をゼロとすると、λ = 1とλ = 3に根を持ち、これらはAの2つの固有値である。各固有値λに対応する固有ベクトルは、方程式( A − λI ) v = 0におけるvの成分を解くことで求められる。この例では、固有ベクトルは任意の非ゼロのスカラー倍である。 $${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda =3}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}.}$$

行列Aの要素がすべて実数である場合、特性多項式の係数も実数になりますが、固有値は依然として非零の虚数部を持つ可能性があります。したがって、対応する固有ベクトルの要素も非零の虚数部を持つ可能性があります。同様に、Aのすべての要素が有理数であっても、あるいはすべて整数であっても、固有値は無理数になる可能性があります。ただし、 Aのすべての要素が有理数を含む代数的数である場合、固有値も代数的数でなければなりません。

実係数を持つ実多項式の非実根は、複素共役のペアにグループ化できます。つまり、各ペアの2つの要素は、虚部が符号のみ異なり、実部は同じです。次数が奇数の場合、中間値定理により、少なくとも一方の根は実数です。したがって、奇数次の実行列は少なくとも1つの実固有値を持ちますが、偶数次の実行列は実固有値を全く持たない場合があります。これらの複素固有値に関連付けられた固有ベクトルも複素であり、複素共役ペアとして現れます。

行列のスペクトル

行列のスペクトルは、多重度に応じて繰り返される固有値のリストです。別の表記法では、多重度を持つ固有値のセットです。

スペクトルに関連する重要な量は、任意の固有値の絶対値の最大値です。これは行列の スペクトル半径として知られています。

代数的重複性

λ _{i を}n行n列の行列Aの固有値とする。固有値の代数的重複度 μ _A ( λ _i )は、特性多項式の根としての重複度、すなわち( λ − λ _i ) ^kがその多項式を割り切る最大の整数kである。^{[9] [25] [26]}

行列Aがn次元で、d≤n個の異なる固有値を持つとする。式( 4 )はAの特性多項式を、一部の項が重複する可能性のあるn個の線形項の積に因数分解するが、特性多項式は、それぞれ異なる固有値に対応する d個の項の積として表すこともできる。$${\displaystyle \det(A-\lambda I)=(\lambda _{1}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{1})}(\lambda _{2}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{2})}\cdots (\lambda _{d}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{d})}.}$$

d = nの場合には右辺はn 個の線形項の積となり、これは式( 4 )と同じである。各固有値の代数的重複度の大きさは次元nと次のよう に関係している。$${\displaystyle {\begin{aligned}1&\leq \mu _{A}(\lambda _{i})\leq n,\\\mu _{A}&=\sum _{i=1}^{d}\mu _{A}\left(\lambda _{i}\right)=n.\end{aligned}}}$$

μ _A ( λ _i ) = 1ならば、λ _iは単純固有値であると言われる。^[26] μ _A ( λ _i )が次の節で定義されるλ _iの幾何重複度γ _A ( λ _i )に等しいならば、λ _{i は}半単純固有値であると言われる。

固有空間、幾何学的重複度、行列の固有基底

n  ×  n行列Aの特定の固有値λが与えられたとき、式( 2 ) を満たすすべてのベクトルvをE集合と定義する。 $${\displaystyle E=\left\{\mathbf {v} :\left(A-\lambda I\right)\mathbf {v} =\mathbf {0} \right\}.}$$

一方で、この集合はまさに行列A − λIの核あるいは零空間である。他方、定義により、この条件を満たす任意の非零ベクトルはλに関連付けられたAの固有ベクトルである。したがって、集合Eは零ベクトルとλに関連付けられたAのすべての固有ベクトルの集合との和集合であり、EはA − λIの零空間に等しい。空間Eはλに関連付けられたAの固有空間あるいは特性空間と呼ばれる。^{[27] [9]}一般にλは複素数であり、固有ベクトルは複素n  × 1行列（列ベクトル）である。すべての零空間は定義域の線型部分空間であるため、E はの線型部分空間である。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

固有空間Eは線型部分空間なので、加法に対して閉じています。つまり、uとvの 2 つのベクトルが集合Eに属し、u , v ∈ Eと表記される場合、u + v ∈ E 、つまりA ( u + v ) = λ ( u + v )となります。これは、行列の乗算の分配法則を使って確認できます。同様に、 E は線型部分空間なので、スカラー乗算に対して閉じています。つまり、v ∈ Eでαが複素数の場合、α v ∈ E、つまりA ( α v ) = λ ( α v )となります。これは、複素行列と複素数の乗算が可換であることに注目することで確認できます。 u + vとα vがゼロでない限り、これらもλに関連付けられたAの固有ベクトルです。

λに関連付けられた固有空間Eの次元、あるいはλに関連付けられた線型独立な固有ベクトルの最大数は、固有値の幾何学的重複度と呼ばれます。EはA − λIの零空間でもあるため、 λの幾何学的重複度はA − λIの零空間の次元であり、A − λIの零度とも呼ばれます。この量は、 A − λIの大きさと階数と次式で 結びついています。 ${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )}$ $${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )=n-\operatorname {rank} (A-\lambda I).}$$

固有値と固有ベクトルの定義により、固有値の幾何重複度は少なくとも1でなければなりません。つまり、各固有値には少なくとも1つの固有ベクトルが関連付けられている必要があります。さらに、固有値の幾何重複度は代数的重複度を超えることはできません。また、固有値の代数的重複度はn を超えることはできないことにも留意してください。 $${\displaystyle 1\leq \gamma _{A}(\lambda )\leq \mu _{A}(\lambda )\leq n}$$

不等式 を証明するには、B = A − λIとします。ここでλは固定の複素数であり、λに関連付けられた固有空間はBの零空間です。その固有空間の次元を とします。これは、 Bの階段形の最後のk行がゼロであることを意味します。したがって、ガウス・ジョルダン縮約から得られる 可逆行列Eが存在し、次のようになります。したがって、 EB − tEの 最後のk行は、 Eの最後のk行の(− t )倍です。したがって、行列式の基本的な特性 (同次性) により、多項式t ^kは多項式det( EB − tE )を均等に割り切ります。一方、det( EB − tE ) = det E det( B − tI ) = p _A ( t + λ ) det Eなので、( t − λ ) ^kはp _A ( t )を割り切るので、λの代数的重複度は少なくともkです。 ${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )\leq \mu _{A}(\lambda )}$ ${\displaystyle k=\gamma _{A}(\lambda )}$ $${\displaystyle EB={\begin{bmatrix}*&*\\\mathbf {0} _{k\times (n-k)}&\mathbf {0} _{k\times k}\end{bmatrix}}.}$$

A がd ≤ n 個の異なる固有値λ ₁ , ... , λ _dを持つと仮定する。ここでλ _iの幾何重複度はγ _A ( λ _i )である。A の全幾何重複度は 、$${\displaystyle \gamma _{A}=\sum _{i=1}^{d}\gamma _{A}(\lambda _{i}),\quad d\leq \gamma _{A}\leq n,}$$

はAの固有値のすべての固有空間の和の次元、またはAの線形独立な固有ベクトルの最大数である。の場合、 ${\displaystyle \gamma _{A}=n}$

• Aのすべての固有値の固有空間の直和は、ベクトル空間全体です。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
• Aの基底はn 個の線形独立な固有ベクトルから構成され、このような基底は固有基底と呼ばれる。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
• 内の任意のベクトルは、Aの固有ベクトルの線形結合として表すことができます。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

追加のプロパティ

A を、固有値λ ₁ , ... , λ _nを持つ任意のn  ×  n複素数行列とする。各固有値はこのリストにμ _A (  λ _i  )回出現する。ここでμ _A ( λ _i )は固有値の代数的重複度である。この行列とその固有値には以下の性質がある。

• Aのトレースはその対角要素の和として定義され、すべての固有値の和でもある。^{[28] [29] [30]} $${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}.}$$
• Aの行列式はそのすべての固有値の積である^{[28] [31] [32]} $${\displaystyle \det(A)=\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.}$$
• Aのk乗の固有値、すなわち任意の正の整数kに対するA ^kの固有値はλ k
  1 、...、λ k
  n 。
• 行列Aは、すべての固有値がゼロ以外の場合のみ逆行列となります。
• Aが逆行列を持つ場合、 A ⁻¹の固有値はであり、各固有値の幾何重複度は一致する。さらに、逆行列の特性多項式は元の行列の逆数多項式であるため、固有値は同じ代数的重複度を共有する。${\textstyle {\frac {1}{\lambda _{1}}},\ldots ,{\frac {1}{\lambda _{n}}}}$
• A がその共役転置 A ^∗に等しい場合、あるいはAがエルミート行列である場合、すべての固有値は実数である。任意の対称実数行列についても同様である。
• Aがエルミート分布であるだけでなく、正定値、半正定値、負定値、または半負定値である場合、すべての固有値はそれぞれ正、非負、負、または非正になります。
• Aがユニタリの場合、すべての固有値は絶対値| λ _i | = 1を持ちます。
• Aがn  ×  n行列で、 { λ ₁ , ... , λ _k }がその固有値である場合、行列I + A（Iは単位行列）の固有値は{ λ ₁ + 1, ... , λ _k + 1}です。さらに、 の場合、 αI + Aの固有値は{ λ ₁ + α , ... , λ _k + α }です。より一般的には、多項式Pに対して、行列P ( A )の固有値は{ P ( λ ₁ ), ... , P ( λ _k )}です。${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$

左固有ベクトルと右固有ベクトル

多くの分野では、ベクトルを1行の行列ではなく、1列の行列として表現することが伝統的に行われています。そのため、行列の文脈における「固有ベクトル」という言葉は、ほとんどの場合、右固有ベクトル、すなわち定義式（1 ）におけるn  ×  n行列Aの右乗となる列ベクトルを指します。 $${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} .}$$

固有値と固有ベクトルの問題は、行列Aの左乗法の行ベクトルに対しても定義できる。この定式化では、定義方程式は $${\displaystyle \mathbf {u} A=\kappa \mathbf {u} ,}$$

ここで、κはスカラー、uは1×  n行列である。この式を満たす任意の行ベクトルuはAの左固有ベクトルと呼ばれ、κはその固有値である。この式の転置をとると、 $${\displaystyle A^{\textsf {T}}\mathbf {u} ^{\textsf {T}}=\kappa \mathbf {u} ^{\textsf {T}}.}$$

この式を式( 1 )と比較すると、 Aの左固有ベクトルはA ^Tの右固有ベクトルの転置と同じであり、同じ固有値を持つことが直ちに分かります。さらに、A ^Tの特性多項式はAの特性多項式と同じなので、 Aの左固有ベクトルと右固有ベクトルは同じ固有値に関連付けられます。

対角化と固有値分解

Aの固有ベクトルが基底を形成する、あるいは同値としてA がn個の線形独立な固有ベクトルv ₁ , v ₂ , ..., v _{n を}持ち、それらに対応する固有値がλ ₁ , λ ₂ , ..., λ _{n で}あるとする。これらの固有値は互いに異なる必要はない。Aのn個の線形独立な固有ベクトルを列とする正方行列 Qを定義する。 $${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}.}$$

Qの各列はAの固有ベクトルなので、AにQを右乗すると、Qの各列はそれに対応する固有値でスケーリングされます。 $${\displaystyle AQ={\begin{bmatrix}\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}&\lambda _{2}\mathbf {v} _{2}&\cdots &\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}.}$$

これを念頭に置いて、対角行列Λを定義する。ここで、各対角要素Λ _iiはQのi番目の列に関連付けられた固有値である。そして、 $${\displaystyle AQ=Q\Lambda .}$$

Qの列は線形独立なので、Qは逆行列を持つ。方程式の両辺にQ ⁻¹を右掛けするか、 あるいは両辺にQ ⁻¹を左掛けすることで、 $${\displaystyle A=Q\Lambda Q^{-1},}$$ $${\displaystyle Q^{-1}AQ=\Lambda .}$$

したがって、 Aは、その固有ベクトルからなる行列、対角線に沿って固有値を持つ対角行列、そして固有ベクトルの逆行列に分解できます。これは固有分解と呼ばれ、相似変換です。このような行列Aは、対角行列Λと相似である、あるいは対角化可能であると言われます。行列Qは、相似変換の基底変換行列です。本質的に、行列AとΛは、 2つの異なる基底で表現された同じ線形変換を表します。固有ベクトルは、線形変換をΛとして表す際の基底として使用されます 。

逆に、行列Aが対角化可能であると仮定する。Pを特異でない正方行列とし、P ⁻¹ AP が何らかの対角行列Dであるとする。両者にPを左乗すると、AP = PDとなる。したがって、 Pの各列はAの固有ベクトルでなければならず、その固有値はDの対応する対角要素となる。P が逆行列であるためには、 Pの列は線形独立でなければならないため、 Aにはn個の線形独立な固有ベクトルが存在する。したがって、 Aの固有ベクトルが基底を形成するのは、 A が対角化可能である場合のみである。

対角化できない行列は欠陥行列と呼ばれます。欠陥行列の場合、固有ベクトルの概念は一般化固有ベクトルに一般化され、固有値の対角行列はジョルダン正規形に一般化されます。代数閉体上では、任意の行列Aはジョルダン正規形を持ち、したがって一般化固有ベクトルの基底と一般化固有空間への分解が可能です。

変分特性評価

エルミートの場合、固有値は変分的な特徴付けを受けることができる。H の最大固有値は、二次形式 x ^T H x / x ^T xの最大値である。この最大値を実現するxの値は固有ベクトルである。

行列の例

2次元行列の例

変換行列A =  ⎡⎣²
₁ ¹
₂⎤⎦  は、 v _{λ =1} = [1 −1] ^Tに平行なマゼンタのベクトルと、v _{λ =3} = [1 1] ^Tに平行な青のベクトルの方向を保存します。赤のベクトルはどちらの固有ベクトルにも平行ではないため、変換によって方向が変更されます。マゼンタのベクトルの長さは変換後も変化しません（固有値が1であるため）。一方、青のベクトルは元の長さの3倍になります（固有値が3であるため）。4つの象限すべてを示す拡張バージョンも参照してください。

マトリックスを考えてみましょう $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}.}$$

右の図は、この変換が平面上の点座標に与える影響を示しています。この変換の固有ベクトルvは式( 1 )を満たし、行列式( A − λI )が0となるλの値が固有値です。

行列式をとってAの特性多項式を求めると、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\det(A-\lambda I)&=\left|{\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right|={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}\\[6pt]&=3-4\lambda +\lambda ^{2}\\[6pt]&=(\lambda -3)(\lambda -1).\end{aligned}}}$$

特性多項式をゼロに設定すると、Aの 2 つの固有値であるλ = 1とλ = 3に根があります。

λ = 1の場合、式（2）は、 $${\displaystyle {\begin{aligned}(A-I)\mathbf {v} _{\lambda =1}&={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}\\1v_{1}+1v_{2}&=0\end{aligned}}}$$

v ₁ = − v ₂を満たす任意の非零ベクトルはこの方程式を解く。したがって、 λ = 1に対応するAの固有ベクトルは、このベクトルの任意のスカラー倍と同様に、 A の固有ベクトルとなる。$${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}v_{1}\\-v_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}}$$

λ = 3の場合、式（2）は $${\displaystyle {\begin{aligned}(A-3I)\mathbf {v} _{\lambda =3}&={\begin{bmatrix}-1&{\hphantom {-}}1\\{\hphantom {-}}1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}\\-1v_{1}+1v_{2}&=0;\\1v_{1}-1v_{2}&=0\end{aligned}}}$$

v ₁ = v ₂を満たす任意の非零ベクトルはこの方程式を解く。したがって、 λ = 3 に対応する A の固有ベクトルは、このベクトルの任意のスカラー倍と同様に、 λ = 3に対応するAの固有ベクトルである。 $${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda =3}={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}$$

したがって、ベクトルv _{λ =1}とv _{λ =3}は、それぞれ固有値λ = 1とλ = 3に関連付けられたAの固有ベクトルです。

3次元行列の例

マトリックスを考えてみましょう $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&0&0\\0&3&4\\0&4&9\end{bmatrix}}.}$$

Aの特性多項式は $${\displaystyle {\begin{aligned}\det(A-\lambda I)&=\left|{\begin{bmatrix}2&0&0\\0&3&4\\0&4&9\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\right|={\begin{vmatrix}2-\lambda &0&0\\0&3-\lambda &4\\0&4&9-\lambda \end{vmatrix}},\\[6pt]&=(2-\lambda ){\bigl [}(3-\lambda )(9-\lambda )-16{\bigr ]}=-\lambda ^{3}+14\lambda ^{2}-35\lambda +22.\end{aligned}}}$$

特性多項式の根は2、1、11であり、これらはAの唯一の3つの固有値である。これらの固有値は、固有ベクトル[1 0 0] ^T、[0 −2 1] ^T、[0 1 2] ^T、またはそれらの非ゼロの倍数に対応する。

複素固有値を持つ3次元行列の例

巡回置換行列を考える $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}}.}$$

この行列はベクトルの座標を1つ上にシフトし、最初の座標を一番下に移動します。その特性多項式は1 − λ ³で、その根は です 。 ここで、iは虚数単位で、i ² = −1です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&=1\\\lambda _{2}&=-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\\lambda _{3}&=\lambda _{2}^{*}=-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{aligned}}}$$

実固有値λ ₁ = 1に対して、3つの等しい非零要素を持つベクトルは固有ベクトルである。例えば、 $${\displaystyle A{\begin{bmatrix}5\\5\\5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\\5\\5\end{bmatrix}}=1\cdot {\begin{bmatrix}5\\5\\5\end{bmatrix}}.}$$

複素共役の虚数固有値対については、 $${\displaystyle \lambda _{2}\lambda _{3}=1,\quad \lambda _{2}^{2}=\lambda _{3},\quad \lambda _{3}^{2}=\lambda _{2}.}$$

それから そして $${\displaystyle A{\begin{bmatrix}1\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{2}\\\lambda _{3}\\1\end{bmatrix}}=\lambda _{2}\cdot {\begin{bmatrix}1\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle A{\begin{bmatrix}1\\\lambda _{3}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{3}\\\lambda _{2}\\1\end{bmatrix}}=\lambda _{3}\cdot {\begin{bmatrix}1\\\lambda _{3}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}.}$$

したがって、 Aの他の2つの固有ベクトルは複素ベクトルであり、それぞれ固有値がλ ₂とλ _3であるv _{λ 2} = [1 λ ₂ λ ₃ ] ^Tとv _{λ 3} = [1 λ ₃ λ ₂ ] ^Tである。この2つの複素固有ベクトルは、複素共役ベクトル対として現れる。 $${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda _{2}}=\mathbf {v} _{\lambda _{3}}^{*}.}$$

対角行列の例

主対角線上にのみ要素を持つ行列は対角行列と呼ばれます。対角行列の固有値は対角要素そのものです。次の行列を考えてみましょう。 $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}}.}$$

Aの特性多項式は、 根λ ₁ = 1、λ ₂ = 2、λ ₃ = 3を持ちます。これらの根はAの対角要素であると同時に固有値でもあります 。 $${\displaystyle \det(A-\lambda I)=(1-\lambda )(2-\lambda )(3-\lambda ),}$$

各対角要素は、その対角要素と同じ行に唯一の非零成分を持つ固有ベクトルに対応します。例では、固有値は それぞれ固有ベクトルに対応し、またこれらのベクトルのスカラー倍にも対応しています。 $${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda _{1}}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda _{2}}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda _{3}}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},}$$

三角行列の例

主対角線より上の要素がすべてゼロである行列を下三角行列と呼び、主対角線より下の要素がすべてゼロである行列を上三角行列と呼びます。対角行列と同様に、三角行列の固有値は主対角線の要素です。

下三角行列を考えてみましょう。 $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&0\\1&2&0\\2&3&3\end{bmatrix}}.}$$

Aの特性多項式は、 根λ ₁ = 1、λ ₂ = 2、λ ₃ = 3を持ちます。これらの根はAの対角要素であると同時に固有値でもあります 。 $${\displaystyle \det(A-\lambda I)=(1-\lambda )(2-\lambda )(3-\lambda ),}$$

これらの固有値は、それぞれ固有ベクトルに対応し 、またこれらのベクトルのスカラー倍数にも対応します。 $${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda _{1}}={\begin{bmatrix}1\\-1\\{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda _{2}}={\begin{bmatrix}0\\1\\-3\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda _{3}}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},}$$

重複した固有値を持つ行列の例

前の例と同様に、下三角行列は 対角要素の積である特性多項式を持ちます。 $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&0&0&0\\1&2&0&0\\0&1&3&0\\0&0&1&3\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle \det(A-\lambda I)={\begin{vmatrix}2-\lambda &0&0&0\\1&2-\lambda &0&0\\0&1&3-\lambda &0\\0&0&1&3-\lambda \end{vmatrix}}=(2-\lambda )^{2}(3-\lambda )^{2}.}$$

この多項式の根、つまり固有値は2と3です。それぞれの固有値の代数的重複度は2です。つまり、どちらも二重根です。すべての異なる固有値の代数的重複度の和はμ _A = 4 = nであり、これは特性多項式の位数とAの次元に等しくなります。

一方、固有値 2 の幾何学的多重度は1です。これは、その固有空間が1つのベクトル[0 1 −1 1] ^Tによって張られ、したがって1次元であるためです。同様に、固有値 3 の幾何学的多重度も1です。これは、その固有空間が1つのベクトル[0 0 0 1] ^Tによって張られるためです。幾何学的多重度γ _{A の}合計は2で、これは2つの異なる固有値を持つ行列の最小値です。幾何学的多重度は後の節で定義されます。

固有ベクトル-固有値の恒等式

エルミート行列 Aの場合、正規化固有ベクトルのα番目の成分の二乗ノルムは、行列の固有値と対応する小行列の固有値のみを使用して計算できます。 ここで、 は元の行列からα番目の行と列を削除して形成される部分行列です。 ^{[33] [34] [35]この恒等式は}対角化可能な行列にも拡張され、文献で何度も再発見されています。^{[34] [36]}$${\displaystyle |v_{i\alpha }|^{2}={\frac {\prod _{k}{(\lambda _{i}(A)-\lambda _{k}(A_{\alpha }))}}{\prod _{k\neq i}{(\lambda _{i}(A)-\lambda _{k}(A))}}},}$$ ${\textstyle A_{\alpha }}$

微分作用素の固有値と固有関数

線型変換Tの固有値と固有ベクトルの定義は、基となるベクトル空間が無限次元ヒルベルト空間またはバナッハ空間であっても有効である。無限次元空間に作用する線型変換の広く用いられるクラスは、関数空間上の微分作用素である。Dを、実引数tの無限微分可能実関数の空間上の線型微分作用素とする。D の固有値方程式は、微分方程式である。${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )}$ $${\displaystyle Df(t)=\lambda f(t)}$$

この方程式を満たす関数はDの固有ベクトルであり、一般に固有関数と呼ばれます。

微分演算子の例

固有値方程式を持つ 微分演算子を考える${\displaystyle {\tfrac {d}{dt}}}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(t)=\lambda f(t).}$$

この微分方程式は、両辺にdt / f ( t )を掛けて積分することで解くことができます。その解である指数関数は 、 微分演算子の固有関数です。この場合、固有関数自体は、それに対応する固有値の関数です。特に、λ = 0の場合、固有関数f ( t )は定数です。 $${\displaystyle f(t)=f(0)e^{\lambda t},}$$

一般的な定義

固有値と固有ベクトルの概念は、任意のベクトル空間上の任意の線型変換に自然に拡張される。Vをスカラー体 K上の任意のベクトル空間とし、TをVをVに写す線型変換とする。 $${\displaystyle T:V\to V.}$$

非零ベクトルv∈VがTの固有ベクトルであるとは、 スカラーλ∈Kが存在し、

この方程式はTの固有値方程式と呼ばれ、スカラーλは固有ベクトルvに対応するTの固有値である。T ( v )はベクトルvに変換Tを適用した結果であり、λvはスカラーλとvの積である。^{[37] [38]}

固有空間、幾何学的重複度、固有基底

固有値λが与えられたとき、 零ベクトルと λに関連付けられたすべての固有ベクトルの集合との和集合を考える。Eはλに関連付けられた Tの固有空間または特性空間と呼ばれる。^[39] これは線型変換T − λIの核である。 $${\displaystyle E=\left\{\mathbf {v} :T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} \right\},}$$

線型変換の定義により、 x , y ∈ V、α ∈ K である。したがって、uとv が固有値λに関連付けられたTの固有ベクトル、すなわちu , v ∈ Eである場合、 $${\displaystyle {\begin{aligned}T(\mathbf {x} +\mathbf {y} )&=T(\mathbf {x} )+T(\mathbf {y} ),\\T(\alpha \mathbf {x} )&=\alpha T(\mathbf {x} ),\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}T(\mathbf {u} +\mathbf {v} )&=\lambda (\mathbf {u} +\mathbf {v} ),\\T(\alpha \mathbf {v} )&=\lambda (\alpha \mathbf {v} ).\end{aligned}}}$$

したがって、u + vとα vはどちらも零点、あるいはλに付随するTの固有ベクトル、すなわちu + v , α v ∈ Eのいずれかであり、E は加法とスカラー乗算に関して閉じている。したがって、 λに付随する固有空間EはVの線型部分空間となる。^[40]その部分空間が1次元の場合、それは固有線と呼ばれることがある。^[41]

固有値λの幾何学的重複度 γT ( λ ₎はλに関連付けられた固有空間の次元、すなわちその固有値に関連付けられた線形独立な固有ベクトルの最大数である。^[42]固有値と固有ベクトルの定義により、すべての固有値_は少なくとも1つの固有ベクトルを持つため γT ( λ )≥1となる。

Tの固有空間は常に直和を形成する。結果として、異なる固有値を持つ固有ベクトルは常に線型独立である。したがって、固有空間の次元の和は、 T が作用するベクトル空間の次元n を超えることはできず、 n個を超える固有値は存在しない。 ^[d]

Tの固有ベクトルによって張られる任意の部分空間はTの不変部分空間であり、そのような部分空間へのTの制限は対角化可能である。さらに、ベクトル空間V全体がTの固有ベクトルによって張られる場合、あるいは同値として、 Tのすべての固有値に関連付けられた固有空間の直和がベクトル空間V全体である場合、 Tの線型独立な固有ベクトルから、固有基底と呼ばれるVの基底を形成することができる。Tが固有基底を許容する場合、 Tは対角化可能である。

スペクトル理論

λがTの固有値である場合、作用素( T − λI )は一対一ではないため、その逆作用素( T − λI ) ^{−1 は}存在しない。この逆は有限次元ベクトル空間では成立するが、無限次元ベクトル空間では成立しない。一般に、 λが固有値でなく ても、作用素( T − λI ) の逆作用素が存在しない場合がある。

このため、関数解析において、固有値は線型作用素 Tのスペクトル、すなわち作用素( T − λI )が有界逆を持たないようなスカラーλ全体の集合として一般化できる。作用素のスペクトルは常にそのすべての固有値を含むが、それだけに限定されない。

結合代数と表現論

ベクトル空間に作用する代数的対象を一般化するには、ベクトル空間に作用する単一の作用素を、加群に作用する結合代数 という代数表現に置き換える必要がある。このような作用の研究は表現論の分野である。

表現理論における重みの概念は固有値の類似体であり、重みベクトルと重み空間はそれぞれ固有ベクトルと固有空間の類似体です。

ヘッケの固有層はそれ自身のテンソル倍であり、ラングランズ対応において考慮されます。

動的方程式

最も単純な差分方程式は次の形をとる。 $${\displaystyle x_{t}=a_{1}x_{t-1}+a_{2}x_{t-2}+\cdots +a_{k}x_{t-k}.}$$

この方程式のxに関するtの解は、その特性方程式を使って求められる。 $${\displaystyle \lambda ^{k}-a_{1}\lambda ^{k-1}-a_{2}\lambda ^{k-2}-\cdots -a_{k-1}\lambda -a_{k}=0,}$$

これは、上記の差分方程式とk – 1方程式x _{t –1} = x _{t –1} , ..., x _{t – k +1} = x _{t – k +1}からなる方程式の集合を行列形式に積み重ねることによって見つけられ、積み重ねられた変数ベクトル[ x _t   ⋅⋅⋅  x _{t – k +1} ]の1次遅れ値に関するk次元システムを与え、このシステムの行列の特性方程式を取る。この方程式は、解方程式で使用する k個の特性根λ ₁ , ... , λ _kを与える。$${\displaystyle x_{t}=c_{1}\lambda _{1}^{t}+\cdots +c_{k}\lambda _{k}^{t}.}$$

同様の手順が、次 のような微分方程式を解くときにも用いられる。$${\displaystyle {\frac {d^{k}x}{dt^{k}}}+a_{k-1}{\frac {d^{k-1}x}{dt^{k-1}}}+\cdots +a_{1}{\frac {dx}{dt}}+a_{0}x=0.}$$

計算

固有値と固有ベクトルの計算は、初等線形代数の教科書で紹介されている理論が実践から大きくかけ離れていることが多いトピックです。

古典的な方法

古典的な方法は、まず固有値を求め、次に各固有値の固有ベクトルを計算するというものです。この方法は、浮動小数点数のような非正確な演算にはいくつかの点で適していません。

固有値

行列Aの固有値は、特性多項式の根を求めることで決定できます。これは2×2行列の場合は簡単ですが、行列のサイズが大きくなるにつれて難易度は急激に増加します。

理論上は、特性多項式の係数は行列要素の積の和であるため、正確に計算できます。また、任意の次数の多項式のすべての根を必要な精度で求めることができるアルゴリズムも存在します。^{[43]しかし、この方法は実際には実行可能ではありません。係数には避けられない}丸め誤差が含まれ、多項式の根は係数の非常に敏感な関数になる可能性があるからです (ウィルキンソンの多項式で例示されているように)。^[43]要素が整数である行列の場合でも、和が非常に長くなるため計算は簡単ではありません。定数項は行列式であり、n  ×  n行列の場合、 n !個の異なる積の和になります。^[e]

多項式の根を求める明示的な代数公式は、n次数が4以下の場合にのみ存在します。アーベル・ルフィニの定理によれば、5次以上の多項式の根を求める一般性、明示性、正確性を備えた代数公式は存在しません。（n次多項式はいずれもn次の行列の特性多項式であるため、一般性は重要です。）したがって、5次以上の行列の場合、固有値と固有ベクトルは明示的な代数公式では得られないため、近似数値法で計算する必要があります。3次多項式の根を求める 正確な公式でさえ、数値的に現実的ではありません。

固有ベクトル

固有値の（正確な）値が分かれば、対応する固有ベクトルは、固有値方程式の非零解を求めることで求めることができます。この方程式は、係数が既知の線形方程式の連立方程式となります。例えば、行列の固有値が6であることが分かれば、 方程式Av = 6 vを解くことで、その固有ベクトルを求めることができます。つまり 、$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}4&1\\6&3\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}4&1\\6&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=6\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$$

この行列方程式は2つの線形方程式 と等価であり 、 $${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}4x+{\hphantom {3}}y&=6x\\6x+3y&=6y\end{aligned}}\right.}$$ $${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}-2x+{\hphantom {3}}y&=0\\6x-3y&=0\end{aligned}}\right.}$$

どちらの方程式も、単一の線形方程式y = 2 xに帰着する。したがって、任意の非零実数aに対して[ a   2 a ] ^Tの形のベクトルは、固有値λ = 6を持つAの固有ベクトルとなる。

上記の行列Aには別の固有値λ = 1があります。同様の計算により、対応する固有ベクトルは3 x + y = 0の非零解、つまり任意の非零実数bに対する[ b   −3 b ] ^Tの形のベクトルであることが示されます。

シンプルな反復法

逆のアプローチ、つまり最初に固有ベクトルを求め、次にその固有ベクトルから各固有値を決定する方法は、コンピュータにとってはるかに扱いやすいことが分かっています。ここで最も簡単なアルゴリズムは、任意の開始ベクトルを選択し、それを行列と繰り返し乗算することです（オプションでベクトルを正規化して要素のサイズを適切な値に保つこともできます）。これにより、ベクトルは固有ベクトルに収束します。別の方法として、代わりにベクトルに( A − μI ) ⁻¹を乗算する方法があります。これにより、ベクトルは に最も近い固有値の固有ベクトルに収束します。${\displaystyle \mu \in \mathbb {C} }$

vがAの固有ベクトル（の良い近似）である場合、対応する固有値は次のように計算できます。 ここで、v ^{∗ は}vの共役転置を表します。 $${\displaystyle \lambda ={\frac {\mathbf {v} ^{*}A\mathbf {v} }{\mathbf {v} ^{*}\mathbf {v} }}}$$

現代的な方法

1961年にQRアルゴリズムが設計されるまで、任意の行列の固有値と固有ベクトルを計算する効率的で正確な方法は知られていなかった。^[43]ハウスホルダー変換とLU分解を組み合わせると、QRアルゴリズムよりも収束性の高いアルゴリズムが得られる。^[要出典]大規模なエルミート 疎行列の場合、ランチョスアルゴリズムは、他のいくつかの可能性の中でも、固有値と固有ベクトルを計算する効率的な反復法の一例である。^[43]

行列の固有値を計算するほとんどの数値計算法では、計算の副産物として対応する固有ベクトルのセットも決定しますが、実装者によっては、不要になった固有ベクトル情報を破棄することを選択する場合もあります。

アプリケーション

幾何学的変換

固有ベクトルと固有値は、幾何学的図形の線形変換を理解するのに役立ちます。次の表は、平面における変換の例と、それらの2×2行列、固有値、および固有ベクトルを示しています。

回転の特性方程式は、判別式D = −4(sin θ ) ²を持つ二次方程式であり、 θ がπ (180°)の整数倍でない場合は負の数となる。したがって、これらの特殊な場合を除いて、2つの固有値は複素数cos θ ± i sin θとなり、すべての固有ベクトルは非実数成分を持つ。実際、これらの特殊な場合を除いて、回転は平面上のすべての非零ベクトルの方向を変える。

正方形を同じ面積の長方形に変換する線形変換 (スクイーズ マッピング) には、逆数の固有値があります。

主成分分析

(1, 3)を中心とし、おおよそ(0.878, 0.478)方向の 標準偏差が3 、直交方向の標準偏差が1である多変量ガウス分布のPCA 。示されているベクトルは、（対称、半正定値）共分散行列の単位固有ベクトルであり、対応する固有値の平方根でスケーリングされている。1次元の場合と同様に、標準偏差の方が分散よりも視覚的に分かりやすいため、平方根が取られている。

対称半正定値(PSD)行列の固有分解により、それぞれが非負の固有値を持つ固有ベクトルの直交基底が生成されます。PSD 行列の直交分解は、標本共分散行列が PSD である多変量解析で使用されます。統計では、この直交分解は主成分分析(PCA)と呼ばれます。PCA は変数間の線形関係を調べます。PCA は共分散行列または相関行列(各変数の標本分散が 1 になるように尺度化される) に対して実行されます。共分散行列または相関行列の場合、固有ベクトルは主成分に対応し、固有値は主成分によって説明される分散に対応します。相関行列の主成分分析により、観測データの空間の直交基底が提供されます。この基底では、最大の固有値は、多数の観測データ間における共変動の大部分に関連付けられた主成分に対応します。

主成分分析は、バイオインフォマティクスなどで見られるような大規模データセットの研究において、次元削減の手段として用いられる。Q法では、相関行列の固有値に基づいて、Q法学者による実質的な有意性の判断が決定される（これは仮説検定における統計的有意性とは異なる。因子数決定基準を参照）。より一般的には、主成分分析は構造方程式モデリングにおける因子分析の手法として用いられる。

グラフ

スペクトルグラフ理論では、グラフの固有値はグラフの隣接行列 Aの固有値として定義されるか、または（ますます）離散ラプラス演算子によるグラフのラプラシアン行列の固有値として定義され、D − A（組み合わせラプラシアンと呼ばれることもある）またはI − D ^−1/2 AD ^−1/2（正規化ラプラシアンと呼ばれることもある）のいずれかであり、ここでDは対角行列で、 D _iiは頂点v _iの次数に等しく、D ^−1/2においてi番目の対角要素は である。グラフのk番目の主固有ベクトルは、ラプラシアンのk番目に大きい固有値またはk番目に小さい固有値に対応する固有ベクトルとして定義される。グラフの最初の主固有ベクトルは、単に主固有ベクトルとも呼ばれる。 ${\textstyle 1/{\sqrt {\deg(v_{i})}}}$

主固有ベクトルは、頂点の中心性を測定するために使用されます。例として、 GoogleのPageRankアルゴリズムが挙げられます。ワールドワイドウェブグラフの修正隣接行列の主固有ベクトルは、その要素としてページランクを与えます。このベクトルは、行正規化された隣接行列で表されるマルコフ連鎖の定常分布に対応します。ただし、定常分布が存在するようにするには、まず隣接行列を修正する必要があります。2番目に小さい固有ベクトルは、スペクトルクラスタリングによってグラフをクラスターに分割するために使用できます。クラスタリングには他の手法も利用できます。

マルコフ連鎖

マルコフ連鎖は、システムの状態間の遷移確率を要素とする行列で表される。特に、これらの要素は非負であり、行列の各行の和は1となり、これはシステムのある状態から別の状態への遷移確率の和となる。ペロン＝フロベニウスの定理は、マルコフ連鎖が唯一の支配的固有値を持つための十分条件を与え、この支配的固有値がシステムの定常状態への収束を支配する。

振動解析

固有振動数における音叉のモード形状440.09 Hz

固有値問題は、多自由度機械構造の振動解析において自然に発生します。固有値とは振動の固有振動数（または固有周波数）であり、固有ベクトルとはこれらの振動モードの形状です。特に、減衰のない振動は、 または $${\displaystyle m{\ddot {x}}+kx=0}$$ $${\displaystyle m{\ddot {x}}=-kx}$$

つまり、加速度は位置に比例します (つまり、x は時間に対して正弦波になると予想されます)。

n次元では、mは質量行列、kは剛性行列となる。許容解は、一般化固有値問題 の解の線形結合となる。 ここで、ω ²は固有値、ωは（虚）角周波数である。主振動モードは、 kのみの固有ベクトルである主コンプライアンスモードとは異なる。さらに、減衰振動は、 いわゆる二次固有値問題につながる。 $${\displaystyle kx=\omega ^{2}mx}$$ $${\displaystyle m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=0}$$ $${\displaystyle \left(\omega ^{2}m+\omega c+k\right)x=0.}$$

これは、より大きなシステムを解くという犠牲を払って、 代数操作によって一般化された固有値問題に簡略化することができます。

固有ベクトルの直交性により、微分方程式を分離することができ、系を固有ベクトルの線形和として表すことができます。複雑な構造物の固有値問題は、しばしば有限要素解析を用いて解かれますが、この解法はスカラー値の振動問題にもうまく一般化されています。

慣性モーメントのテンソル

力学において、慣性モーメントテンソルの固有ベクトルは剛体の主軸を定義します。慣性モーメントテンソルは、剛体の質量中心の周りの回転を決定するために必要な重要な量です。

応力テンソル

固体力学において、応力テンソルは対称であるため、対角線上の固有値と固有ベクトルを基底とする対角テンソルに分解できます。対角線であるため、この方向では応力テンソルにはせん断成分がなく、存在する成分は主成分です。

シュレーディンガー方程式

水素原子内の電子の束縛状態に関連付けられた波動関数は、水素原子ハミルトニアンおよび角運動量演算子の固有ベクトルとして考えることができます。これらは、エネルギー（下方向へ増加：n = 1、2、3、…）および角運動量（横方向へ増加：s、p、d、…）として解釈される固有値に関連付けられています。図は波動関数の絶対値の2乗を示しています。明るい領域は、位置測定の確率密度が高い領域に対応します。各図の中心は原子核、すなわち陽子です。

変換Tが微分演算子で表される固有値方程式の例としては、量子力学における時間に依存しないシュレーディンガー方程式があります。 ここで、ハミルトニアンHは 2 次微分演算子であり、波動関数ψ _Eはその固有値Eに対応する固有関数の 1 つであり、そのエネルギーとして解釈されます。 $${\displaystyle H\psi _{E}=E\psi _{E}\,}$$

しかし、シュレーディンガー方程式の束縛状態解のみに関心がある場合は、 ψ _{E を}正方積分関数の空間内で探すことになります。この空間は明確に定義されたスカラー積を持つヒルベルト空間であるため、 ψ _EとHをそれぞれ1次元配列（つまりベクトル）と行列として表せる基底関数系を導入することができます。これにより、シュレーディンガー方程式を行列形式で表すことができます。

この文脈では、ブラケット記法がよく用いられます。正方可積分関数のヒルベルト空間における系の状態を表すベクトルは、|Ψ _E ⟩と表されます。この記法では、シュレーディンガー方程式は次のように表されます。 ここで、|Ψ _E ⟩はHの固有状態、E は固有値を表します。Hは観測可能な自己随伴演算子であり、エルミート行列の無限次元版です。行列の場合と同様に、上記の方程式Hにおいて、 |Ψ _E ⟩はHを|Ψ _E ⟩に適用することで得られるベクトルであると理解されます。 $${\displaystyle H|\Psi _{E}\rangle =E|\Psi _{E}\rangle }$$

波動輸送

光、音波、マイクロ波は、静的な無秩序系を通過する際に何度もランダムに散乱される。多重散乱によって波が繰り返しランダム化されても、最終的にはシステムを通るコヒーレントな波の輸送は決定論的なプロセスであり、場の透過行列tで記述できる。^{[44] [45]}透過演算子t ^† tの固有ベクトルは、無秩序系の固有チャネル（波がシステムを通過する独立した経路）に波が結合できるようにする無秩序特有の入力波面の集合を形成する。t ^† tの固有値τは、各固有チャネルに関連付けられた強度透過率に対応する。拡散系の透過演算子の注目すべき特性の 1 つは、τ _max = 1およびτ _min = 0となる二峰性固有値分布である。^[45]さらに、開いた固有チャネルの顕著な特性の一つは、完全な透過率に加えて、固有チャネルの統計的に堅牢な空間プロファイルである。^[46]

分子軌道

量子力学、特に原子および分子物理学では、ハートリー・フォック理論の範囲内で、原子軌道と分子軌道はフォック演算子の固有ベクトルによって定義できます。対応する固有値は、クープマンスの定理によってイオン化ポテンシャルとして解釈されます。この場合、フォック演算子は軌道とその固有値に明示的に依存するため、固有ベクトルという用語は、いくぶん一般的な意味で使用されます。したがって、この側面を強調したい場合は、非線形固有値問題といいます。このような方程式は通常、この場合は自己無撞着場法と呼ばれる反復手順によって解かれます。量子化学では、ハートリー・フォック方程式を非直交基底関数系で表すことがよくあります。この特定の表現は、ローターン方程式と呼ばれる一般化固有値問題です。

地質学と氷河学

地質学、特に氷河堆積物の研究では、固有ベクトルと固有値は、岩片の 構造に関する大量の情報を6つの数値で3次元空間にまとめる方法として使用されています。現場では、地質学者は土壌サンプル中の数百または数千の岩片についてそのようなデータを収集し、それをグラフや立体投影図で比較することができます。グラフでは、多くの地質学者がトリプロット（スニードとフォーク）図を使用します。^{[47] [48]立体投影図は、3次元空間を2次元平面に投影します。立体投影図の一種にウルフネットがあり、}結晶学でステレオグラムを作成するためによく使用されます。^[49]

配向テンソルの出力は、空間の 3 つの直交（垂直）軸上にあります。3 つの固有ベクトルは、固有値E ₁ ≥ E ₂ ≥ E _3の順にv ₁、v ₂、v ₃と並べられます。^[50]この場合、強度に関して、 v ₁は岩片の主要な配向/傾斜、v ₂は二次、v ₃は三次です。岩片の配向は、 360°のコンパス ローズ上の固有ベクトルの方向として定義されます。傾斜は、テンソルの係数である固有値として測定されます。これは、0°（傾斜なし）から 90°（垂直）までの値をとります。E ₁、E ₂、およびE ₃の相対値は、堆積物の組織の性質によって決まります。E ₁ = E ₂ = E ₃の場合、組織は等方性であると言われます。E ₁ = E ₂ > E ₃の場合、その織物は平面的であると言われます。E 1 > E 2 > E 3 の場合、_その織物_は線状_であると言われます。^[51]

基本再生産数

基本再生産数（R ₀）は、感染症の蔓延を研究する上で基本的な数値です。感染者1名が完全に感受性を持つ集団に入れられた場合、R ₀は典型的な感染者1名が感染させる平均人数です。感染の世代時間とは、1人が感染してから次の人が感染するまでの時間t _Gです。異質な集団においては、次世代行列はt _G経過後に集団内で何人が感染するかを定義します。R ₀の値は、次世代行列の最大固有値となります。^{[52] [53]}

固有顔

固有ベクトルの例としての固有面

画像処理では、処理された顔画像は各ピクセルの明るさを要素とするベクトルとして見ることができます。^[54]このベクトル空間の次元はピクセル数です。正規化された顔画像の大規模なセットに関連付けられた共分散行列の固有ベクトルは、固有顔と呼ばれます。これは主成分分析の一例です。これらは、顔画像をそれらのいくつかの線形結合として表現するのに非常に便利です。生体認証の顔認識分野では、固有顔は識別の目的で顔にデータ圧縮を適用する手段を提供します。手のジェスチャーを決定する固有視覚システムに関する研究も行われています。

この概念と同様に、固有声は、ある言語の単語など、特定の発話における人間の発音の変動性の一般的な方向性を表します。このような固有声の線形結合に基づいて、その単語の新しい音声発音を構築することができます。これらの概念は、話者適応のための自動音声認識システムにおいて有用であることが分かっています。

参照

• 反固有値理論
• 固有演算子
• 固有面
• 固有モーメント
• 固有値アルゴリズム
• 量子状態
• ジョルダン正規形
• 数値解析ソフトウェア一覧
• 非線形固有値問題
• 正規固有値
• 二次固有値問題
• 特異値
• 行列のスペクトル

注記

1. 注記:
   • 1751 年、レオンハルト オイラーは、あらゆる物体には回転主軸があることを証明しました。レオンハルト オイラー (発表: 1751 年 10 月、出版: 1760 年) 「Du mouvement d'un corps Solide quelconque lorsqu'il toourne autour d'un ax mobile」(移動軸の周りを回転する固体の動きについて)、Histoire de l'Académie Royaleベルリンの科学とベルの手紙、176–227ページ。 p. 212 年、オイラーは、あらゆる物体には回転主軸が含まれていることを証明しました。「Theorem. 44. De quelque Figure que soit le corps, on y peut toujours assigner un tel axe, qui passe par Son center de gravité, autour duquel le corps peut tourner librement & d'un mouvement uniquee」。 (定理 44. 物体の形状が何であれ、人は常にその重心を通過するような軸をそれに割り当てることができ、その周りを自由に均一な動きで回転させることができます。)
   • 1755 年、ヨハン アンドレアス ゼグナーは、あらゆる物体には 3 つの主回転軸があることを証明しました。ヨハン アンドレアス セグナー、標本理論理論[コマ (つまり、回転体) の理論に関するエッセイ] (Halle (「Halae」)、(ドイツ): Gebauer、1755)。 (https://books.google.com/books?id=29 p. xxviiii [29])、Segner はtの 3 次方程式を導き出し、物体には 3 つの主回転軸があることを証明しています。次に彼は（同じページで）次のように述べています。「Non autem repugnat tres esse eiusmodi Positiones plani HM, quia in aequatione cubica radices tres esse possunt, et tres tangentis t valores」。 (しかし、平面 HM のそのような位置が 3 つあることは矛盾ではありません。3 次方程式では根が 3 つあり、接線 t の値が 3 つあるためです。)
   • セグナーの著作の関連箇所については、アーサー・ケイリーが簡潔に論じている。参照：A. ケイリー (1862)「力学の特定の特殊問題の解決の進展に関する報告」『英国科学振興協会第32回会議報告書』（1862年10月ケンブリッジ開催）32 : 184–252。特に225–226ページを参照。
2. Kline 1972, pp. 807–808 Augustin Cauchy (1839) "Mémoire sur l'intégration des équations linéaires" (線形方程式の積分に関する回想録)、Comptes rendus、8 : 827–830、845–865、889–907、931–937。 p. より827: 「ラグランジュの方法については、変数の原則を遵守して、さまざまな原則を考慮して確実に評価する必要があります。十分な精度を持って、適切な調整を行う必要があります。」 (さらに、ラグランジュの方法に従うと、主変数の一般値に対して、主変数とともに「特性方程式」と呼ぶ特定の方程式の根が現れる関数が得られることが分かっています。この方程式の次数は、積分しなければならない微分方程式の次数とまっ​​たく同じです。)
3. 参照:
   • David Hilbert (1904) 「Grundzüge einer allgemeinen Theorie der lineen Integralgleichungen. (Erste Mittailung)」 (線形積分方程式の一般理論の基礎。(第 1 報))、Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen、数学物理学Klasse (ゲッティンゲン哲学協会ニュース、数学物理セクション)、49 ～ 91 ページ。 p. より51: 「Insbesondere in Dieser ersten Mitpeilung gelange ich zu Formeln, die die Entwickelung einer willkürlichen Funktion nach gewissen ausgezeichneten Funktionen, die ich 'Eigenfunktionen' nenne, liefern: ...」 (特に、この最初のレポートでは、私が固有関数と呼んでいるいくつかの特徴的な関数に関する任意の関数: ...) 同じページの後半で、「Dieser Erfolg ist wesentlich durch den Umstand bedingt, daß ich nicht, wie es bisher geschah, in erster Linie auf den Beweis für die Existenz der Eigenwerte ausgehe, ...」 (これは成功は主に私がそうするという事実に起因しますこれまでのように、まずは固有値の存在証明を目指すのではなく...)
   • 固有値、特性値などの用語の起源と進化については、「数学用語の最も古い使用例（E）」を参照してください。
4. この補題の証明については、Roman 2008、p. 186、Theorem 8.2、Shilov 1977、p. 109、Hefferon 2001、p. 364、およびBeezer 2006、p. 469、Theorem EDELIを参照。
5. n項に切り捨てられた正式な冪級数に対してガウス消去法を実行すると、 O( n4 )回^の演算で済む可能性があるが、組み合わせ爆発は考慮されない。

引用

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さらに読む

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外部リンク

• 固有値とは何か？ – PhysLink.comの「専門家に聞く」からの非技術的な紹介
• 固有値と固有ベクトルの数値例 – Revoledu のチュートリアルとインタラクティブ プログラム。
• 固有ベクトルと固有値入門 – カーンアカデミーの講義
• 固有ベクトルと固有値 | 線形代数のエッセンス、第10章 – 3Blue1Brownによる視覚的な解説
• Symbolab の行列固有ベクトル計算機 (2×12 グリッドの右下のボタンをクリックして行列サイズを選択します。サイズ (正方行列の場合) を選択し、数値を入力して [Go] ボタンをクリックします。複素数も使用できます。)${\displaystyle n\times n}$

ウィキバーシティは入門物理学を使って固有値と固有ベクトルを紹介しています

理論

• 固有値の計算
• 固有値問題の数値解法 Zhaojun Bai、 James Demmel、Jack Dongarra、Axel Ruhe、Henk van der Vorst編集