標準誤差

統計量（通常は平均値のようなパラメータの推定値）の標準誤差（SE）^[1]は、その標本分布の標準偏差です。^[2]^[1]標準誤差は信頼区間の計算によく使用されます。^[3]

平均値の標本分布は、同じ母集団から繰り返し標本抽出を行い、標本ごとに標本平均を記録することで生成されます。これにより、異なる標本平均の分布が形成され、この分布は独自の平均と分散を持ちます。数学的には、得られた標本平均分布の分散は、母集団の分散を標本サイズで割ったものに等しくなります。これは、標本サイズが大きくなるにつれて、標本平均が母集団平均の周囲に密集するようになるためです。

したがって、平均の標準誤差と標準偏差の関係は、与えられたサンプルサイズに対して、平均の標準誤差は標準偏差をサンプルサイズの平方根で割ったものに等しくなります。 ^[1]言い換えれば、平均の標準誤差は、母集団の平均の周りのサンプル平均の分散の尺度です。

回帰分析では、「標準誤差」という用語は、縮小カイ二乗統計量の平方根、または特定の回帰係数の標準誤差（信頼区間などで使用される）のいずれかを指します。

標本平均の標準誤差

正確な値

標準偏差（母集団の標準偏差）を持つ統計的母集団から、統計的に独立した標本観測値が抽出されたと仮定する。標本から算出された平均値は、平均値に対する標準誤差を持ち、これは次式で表される。[ ^1] $n$ $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ $\sigma$ ${\bar {x}}$ ${\sigma }_{\bar {x}}$

${\sigma }_{\bar {x}}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}.$

実際には、これは、母集団の平均値を推定しようとする場合、係数により、推定値の誤差を 2 分の 1 に減らすにはサンプル内で 4 倍の観測値を取得する必要があり、係数を 10 分の 1 に減らすには 100 倍の観測値を取得する必要があることを示しています。 $1/{\sqrt {n}}$

見積もり

標本となる母集団の標準偏差が既知であることはほとんどありません。そのため、平均値の標準誤差は通常、標本標準偏差を代入することで推定されます。 $\sigma$ $\sigma$ $\sigma _{x}$ ${\sigma }_{\bar {x}}\ \approx {\frac {\sigma _{x}}{\sqrt {n}}}.$

これは真の「標準誤差」の推定値にすぎないため、次のような他の表記が使用されるのが一般的です。 ${\widehat {\sigma }}_{\bar {x}}:={\frac {\sigma _{x}}{\sqrt {n}}}\qquad {\text{ or }}\qquad {s}_{\bar {x}}\ :={\frac {s}{\sqrt {n}}}.$

混乱が生じる一般的な原因は、次の点を明確に区別できない場合に発生します。

母集団の標準偏差（）、 $\sigma$
標本の標準偏差（）、 $\sigma _{x}$
標本平均自体の標準偏差（これは標準誤差である）、および $\sigma _{\bar {x}}$
標本平均の標準偏差の推定値（これは最も頻繁に計算される量であり、口語的には標準誤差と呼ばれることも多い）。 ${\widehat {\sigma }}_{\bar {x}}$

推定値の精度

標本サイズが小さい場合、母集団の真の標準偏差ではなく標本の標準偏差を使用すると、母集団の標準偏差が系統的に過小評価され、その結果標準誤差も過小評価される傾向があります。n = 2の場合、過小評価は約25%ですが、n = 6の場合はわずか5%です。GurlandとTripathi (1971)は、この影響に対する補正式を示しています。^{[4] SokalとRohlf (1981)は、}n < 20の小規模標本に対する補正係数の式を示しています。^[5]詳細については、標準偏差の不偏推定を参照してください。

導出

平均の標準誤差は、分散の定義とそのいくつかの性質を前提として、独立確率変数の和の分散から導くことができる^[6] 。平均と標準偏差を持つ母集団からの独立観測値の標本をとすると、ビエネメの公式により、分散がとなる合計を定義することができる。 $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ $n$ $x$ $\sigma$ $T=(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}),$

$\operatorname {Var} (T)=\operatorname {Var} (x_{1})+\operatorname {Var} (x_{2})+\cdots +\operatorname {Var} (x_{n})=n\sigma ^{2}.$

これらの測定値の平均（標本平均）は次のように与えられ、平均の分散は次のように表される。 ${\bar {x}}$ ${\bar {x}}=T/n.$

$\operatorname {Var} ({\bar {x}})=\operatorname {Var} \left({\frac {T}{n}}\right)={\frac {1}{n^{2}}}\operatorname {Var} (T)={\frac {1}{n^{2}}}n\sigma ^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{n}},$

ここで、 2番目の等式では分散の伝播が用いられています。標準誤差は、定義により、分散の平方根となる標準偏差です。 ${\bar {x}}$

$\sigma _{\bar {x}}={\sqrt {\frac {\sigma ^{2}}{n}}}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}.$

言い換えれば、サンプルあたりの観測数が多い場合（母分散に比べて高い場合）、計算されたサンプルあたりの平均値は母平均に近くなることが予想されます。 ${\textstyle n}$ ${\textstyle \sigma }$ ${\textstyle {\bar {x}}}$ $x$

相関のあるランダム変数の場合、サンプル分散はマルコフ連鎖の中心極限定理に従って計算する必要があります。

ランダムサンプルサイズを持つ独立かつ同一分布の確率変数

ある基準に照らして許容できる観測値がいくつあるかを事前に知らずに標本を採取する場合があります。そのような場合、標本サイズは確率変数であり、その変動はの変動に加算されるため、^[7]は全分散の法則から導かれます。 $N$ $X$ $\operatorname {Var} (T)=\operatorname {E} (N)\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (N){\big (}\operatorname {E} (X){\big )}^{2}$

がポアソン分布に従う場合、推定値はとなります。したがって、の推定値はとなり、標準誤差の式は次のようになります。（標準偏差は分散の平方根であるため）。 $N$ $\operatorname {E} (N)=\operatorname {Var} (N)$ $n=N$ $\operatorname {Var} (T)$ $nS_{X}^{2}+n{\bar {X}}^{2}$ $\operatorname {Standard~Error} ({\bar {X}})={\sqrt {\frac {S_{X}^{2}+{\bar {X}}^{2}}{n}}}$

学生の近似値σ値は不明です

多くの実用例において、 σの真の値は不明です。そのため、σの可能性のある範囲の広がりを考慮した分布を使用する必要があります。真の分布がガウス分布であることが分かっているものの、σが不明な場合、推定された分布はスチューデントt分布に従います。標準誤差はスチューデントt分布の標準偏差です。t分布はガウス分布とはわずかに異なり、標本サイズによって異なります。標本サイズが小さい場合、母集団の標準偏差を過小評価し、真の母集団平均とは異なる平均値を持つ可能性が高くなります。スチューデントt分布は、ガウス分布に比べてやや裾が厚くなることで、これらの事象の確率を考慮に入れています。スチューデントt分布の標準誤差を推定するには、 σの代わりに標本標準偏差「s」を使用すれば十分であり、この値を使用して信頼区間を計算できます。

注:標本サイズが100を超える場合、スチューデントの確率分布はガウス分布でよく近似されます。このような標本には、より単純な後者の分布を使用できます。また、母集団の「真の」分布が不明であっても、標本分布が正規分布であると仮定することは、妥当な標本サイズと特定の標本条件下では理にかなっています。CLTを参照してください。これらの条件が満たされない場合、標準誤差を推定するためにブートストラップ分布を使用するのが多くの場合良い回避策ですが、計算量が多くなる可能性があります。

前提と使用法

（標準誤差）を用いて未知の母平均の信頼区間を作成する例を示します。標本分布が正規分布している場合、標本平均、標準誤差、および正規分布の変位値を用いて真の母平均の信頼区間を計算できます。以下の式を用いて95%信頼限界の上限と下限を計算できます。ここで、は標本平均、は標本平均の標準誤差（標本平均値の標準偏差）、1.96は正規分布の97.5パーセンタイル点の近似値です。 $\operatorname {SE}$ ${\bar {x}}$ $\operatorname {SE}$

95%の上限 = 、および ${\bar {x}}+(\operatorname {SE} \times 1.96)$
95% 下限 = 。 ${\bar {x}}-(\operatorname {SE} \times 1.96)$

特に、標本統計量（例えば標本平均）の標準誤差とは、標本平均が生成された過程における、標本平均の実際または推定の標準偏差です。言い換えれば、標本統計量の標本分布の実際または推定の標準偏差です。標準誤差の表記法は、SE、SEM（測定標準誤差または平均）、またはS _Eのいずれかです。

標準誤差は値の不確実性を示す単純な尺度であり、次のような理由でよく使用されます。^{[引用が必要]}

多くの場合、いくつかの個々の量の標準誤差がわかっていれば、量の何らかの関数の標準誤差は簡単に計算できます。
値の確率分布がわかっている場合は、それを使用して正確な信頼区間を計算できます。
確率分布が不明な場合は、チェビシェフの不等式またはヴィソチャンスキー・ペチュニンの不等式を使用して保守的な信頼区間を計算することができます。
サンプルサイズが無限大に近づくにつれて、中心極限定理により、平均値のサンプル分布が漸近的に正規分布になることが保証されます。

平均の標準誤差と標準偏差

科学技術文献では、実験データはサンプルデータの平均と標準偏差、あるいは平均と標準誤差のいずれかを用いて要約されることが多い。そのため、これらの互換性について混乱が生じることが多い。しかし、平均と標準偏差は記述統計量であるのに対し、平均の標準誤差はランダムサンプリング過程を記述するものである。サンプルデータの標準偏差は測定値の変動を記述するものであり、平均の標準誤差は中心極限定理に照らして、サンプルサイズが母平均の推定値に対してどの程度のより良い境界を与えるかについての確率論的な記述である。^[8]

簡単に言えば、標本平均の標準誤差は標本平均が母平均からどれくらい離れているかの推定値であり、標本の標準偏差は標本内の個体が標本平均からどれくらい異なるかの度合いです。^[9]母標準偏差が有限である場合、標本平均の標準誤差は標本サイズが大きくなるにつれてゼロに近づく傾向があります。これは、標本サイズが大きくなるにつれて、母平均の推定値が改善される一方で、標本の標準偏差は母標準偏差に近づく傾向があるためです。

拡張機能

有限人口補正（FPC）

上記の標準誤差の式は、母集団が無限大であることを前提としています。しかしながら、既存の有限母集団を形成したプロセスを測定することに関心がある場合（これは分析研究と呼ばれます）、有限母集団に対してこの式が用いられることがよくあります。上記の式は母集団が有限の場合に厳密には正しくありませんが、標本抽出率が小さい場合（例えば、有限母集団のごく一部を調査する場合）、有限母集団の場合と無限母集団の場合の差は小さくなります。このような場合、有限母集団を補正せず、実質的に「ほぼ無限」の母集団として扱うことがよくあります。

時間の経過に伴って変化しない既存の有限母集団を測定することに関心がある場合、母集団のサイズに合わせて調整する必要があります（列挙調査と呼ばれます）。列挙調査でサンプリング率（多くの場合fと呼ばれます）が大きい場合（およそ 5% 以上）、標準誤差の推定値は「有限母集団補正」（別名：FPC）で補正する必要があります。^[10]^[11] これは、Nが大きい場合、母集団のより大きな割合に近いサンプリングによって得られる追加の精度を考慮に入れます。 FPC の効果は、サンプルサイズnが母集団サイズNに等しいときに誤差がゼロになることです。 $\operatorname {FPC} ={\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}$ $\operatorname {FPC} \approx {\sqrt {1-{\frac {n}{N}}}}={\sqrt {1-f}}$

これは、調査方法において、非復元抽出法を用いる場合に発生します。復元抽出法を用いる場合、FPCは適用されません。

サンプルの相関関係の補正

標本バイアス係数 *ρを持つn 個*のデータ点の標本におけるAの平均の期待誤差。偏りのない**標準誤差は、** ρ = 0 の対角線で表され、両対数勾配は − 1 ⁄ 2となる。

測定量Aの値が統計的に独立ではないが、パラメータ空間x内の既知の位置から取得された場合、計算されたサンプルの標準誤差に係数fを掛けることで、平均値の真の標準誤差の不偏推定値（実際には標準偏差部分の修正）を取得できます。ここで、サンプルバイアス係数 ρ は、すべてのサンプルポイントペアの自己相関係数（-1 から +1 の間の量）の広く使用されている Prais–Winsten 推定値です。この近似式は、中規模から大規模のサンプルサイズ向けです。参考文献には、任意のサンプルサイズに対する正確な式が記載されており、ウォール街の株価情報のような自己相関の強い時系列に適用できます。さらに、この式は ρ が正の場合も負の場合も同様に機能します。^[12]詳細については、標準偏差の不偏推定も参照してください。 $f={\sqrt {\frac {1+\rho }{1-\rho }}},$

参照

参考文献

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