テンソル体

数学と物理学において、テンソル場とは、数学的空間（典型的にはユークリッド空間または多様体）または物理的空間の領域の各点にテンソルを割り当てる関数である。テンソル場は、微分幾何学、代数幾何学、一般相対性理論、物質の応力と歪みの解析、そして物理科学の多くの応用において用いられる。テンソルはスカラー（速度などの値を表す純粋な数）とベクトル（速度などの大きさと方向）の一般化であるため、テンソル場は、空間の各点にそれぞれスカラーまたはベクトルを割り当てるスカラー場とベクトル場の一般化である。テンソルAがモジュールM上のベクトル場集合X(M)上で定義されている場合、 A をM上のテンソル場と呼ぶ。^[1] テンソル場は、一般的には「テンソル」という短縮形で呼ばれることが多い。例えば、リーマン曲率テンソルは、位相空間であるリーマン多様体の各点にテンソルを関連付けるため、テンソル場を指します。

与えられた点で1つの値を持つスカラー場と、2つの値（方向と大きさ）を持つベクトル場と比較して、テンソル場は各点で2つ以上の値を持ち、ここでは各点に長軸半長、短軸半長、方向を持つ楕円で表されます。

定義

を多様体、例えばユークリッド空間とします。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

定義。型の テンソル場は切断です 。${\displaystyle (p,q)}$

$${\displaystyle T\ \in \ \Gamma (M,V^{\otimes p}\otimes (V^{*})^{\otimes q})}$$

ここで、はの接束（物理学ではその切断はベクトル場または反変ベクトル場と呼ばれます）であり、はの双対束である余接空間（物理学ではその切断は1形式または共変ベクトル場と呼ばれます）であり、はベクトル束のテンソル積です${\displaystyle V=TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V^{*}=T^{*}M}$ ${\displaystyle \otimes }$

同様に、テンソル体とは、あらゆる点 に対する元の集合であり、はベクトル空間のテンソル積を表し、滑らかな写像 を構成します。これらの元はテンソルと呼ばれます。 ${\displaystyle T_{x}\in V_{x}^{\otimes p}\otimes (V_{x}^{*})^{\otimes q}}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle T:M\rightarrow V^{\otimes p}\otimes (V^{*})^{\otimes q}}$ ${\displaystyle T_{x}}$

座標 を持つ座標近傍において、局所的にベクトル場 の局所基底（フィールバイン）を持ち、 1 の双対基底はとなるため、 となります 。座標近傍では、 となります 。 ここで、以下ではアインシュタインの総和規則を使用します。異なる座標系を選択した場合、 となり、 となります。ここで、座標は座標で表すことができ、その逆も同様です。つまり、 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x^{1},\ldots x^{n}}$ ${\displaystyle \partial _{1}={\frac {\partial }{\partial x^{n}}}\ldots \partial _{n}={\frac {\partial }{\partial x_{n}}}}$ ${\displaystyle dx^{1},\ldots dx^{n}}$ ${\displaystyle dx^{i}(\partial _{j})=\partial _{j}x^{i}=\delta _{j}^{i}}$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle T_{x}=T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots i_{p}}(x^{1},\ldots ,x^{n})\partial _{i_{1}}\otimes \cdots \otimes \partial _{i_{p}}\otimes dx^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes dx^{j_{q}}}$$ ${\displaystyle y^{1}\ldots y^{n}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{i}}}={\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial y^{k}}}}$ ${\displaystyle dx^{j}={\frac {\partial x^{j}}{\partial y^{\ell }}}dy^{\ell }}$ ${\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}$ ${\displaystyle (y^{1},\ldots y^{n}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{x}&=T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots i_{p}}(x^{1},\ldots ,x^{n}){\frac {\partial }{\partial x^{i_{1}}}}\otimes \cdots \otimes {\frac {\partial }{\partial x^{i_{p}}}}\otimes dx^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes dx^{j_{q}}\\&=T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots i_{p}}(x^{1},\ldots ,x^{n}){\frac {\partial y^{k_{1}}}{\partial x^{i_{1}}}}\cdots {\frac {\partial y^{k_{p}}}{\partial x^{i_{p}}}}{\frac {\partial x^{j_{1}}}{\partial y^{\ell _{1}}}}\cdots {\frac {\partial x^{j_{q}}}{\partial y^{\ell _{q}}}}{\frac {\partial }{\partial y^{k_{1}}}}\otimes \cdots \otimes {\frac {\partial }{\partial y^{k_{p}}}}\otimes dy^{\ell _{1}}\otimes \cdots \otimes dy^{\ell _{q}}\\&=T_{\ell _{1},\cdots \ell _{q}}^{k_{1},\ldots ,k_{p}}(y^{1},\ldots y^{n}){\frac {\partial }{\partial y^{k_{1}}}}\otimes \cdots \otimes {\frac {\partial }{\partial y^{k_{p}}}}\otimes dy^{\ell _{1}}\otimes \cdots \otimes dy^{\ell _{q}}\\\end{aligned}}}$$ つまり、 上記のように変換によって接続された インデックス付き関数の系（座標系の選択ごとに1つの系）は、以下の定義におけるテンソルです。 $${\displaystyle T_{\ell _{1},\cdots \ell _{q}}^{k_{1},\ldots ,k_{p}}(y^{1},\ldots y^{n})=T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots i_{p}}(x^{1},\ldots ,x^{n}){\frac {\partial y^{k_{1}}}{\partial x^{i_{1}}}}\cdots {\frac {\partial y^{k_{p}}}{\partial x^{i_{p}}}}{\frac {\partial x^{j_{1}}}{\partial y^{\ell _{1}}}}\cdots {\frac {\partial x^{j_{q}}}{\partial y^{\ell _{q}}}}}$$ ${\displaystyle T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots i_{p}}(x^{1},\ldots ,x^{n})}$

注： より一般的には、 上の任意のベクトル束とその双対束を取ることができます。その場合、 はより一般的な位相空間 となります。これらのセクションは、混同がない場合は のテンソル、または略して テンソル と呼ばれます${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$

幾何学的導入

直感的には、ベクトル場は、領域の各点に付加された、長さと方向が可変の「矢印」として視覚化するのが最も適切です。曲がった空間上のベクトル場の一例は、地球表面の各点における水平風速を示す天気図です。

ここで、より複雑な体を考えてみましょう。例えば、多様体がリーマン多様体である場合、計量体 を持ち、点 における任意の2つのベクトルが与えられた場合、それらの内積はとなります。この体は行列形式で与えることができますが、座標の選択に依存します。代わりに、各点で半径1の楕円体として与えることもでき、これは座標に依存しません。地球の表面に適用すると、これはティソの指示行列となります。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle v,w}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g_{x}(v,w)}$ ${\displaystyle g}$

一般に、テンソル場は座標に依存しない方法で指定する必要があります。つまり、緯度と経度、あるいは数値座標を導入するために使用している特定の「地図投影法」とは独立して存在する必要があります。

座標遷移を介して

Schouten (1951) と McConnell (1957) に従えば、テンソルの概念は参照フレーム（または座標系）の概念に依存します。参照フレームは（背景の参照フレームに対して）固定される場合もありますが、一般にはこれらの座標系の変換のいくつかのクラス内で変化することが許容されます。^[2]

例えば、n次元実座標空間に属する座標は、任意の アフィン変換を受ける可能性があります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle x^{k}\mapsto A_{j}^{k}x^{j}+a^{k}}$

（n次元のインデックスを持ち、和は暗黙的に与えられます）。共変ベクトル、またはコベクトルは、このアフィン変換の下で規則に従って変換される 関数の系です。${\displaystyle v_{k}}$

${\displaystyle v_{k}\mapsto v_{i}A_{k}^{i}.}$

直交座標基底ベクトルのリストは、アフィン変換の下ではコベクトルとして変換されるため、コベクトルとして変換されます。反変ベクトルは、このようなアフィン変換の下で変換を受ける座標の 関数の系です。${\displaystyle \mathbf {e} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{k}\mapsto A_{k}^{i}\mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle v^{k}}$

${\displaystyle v^{k}\mapsto (A^{-1})_{j}^{k}v^{j}.}$

これはまさに、量が選択された座標系に依存しない不変オブジェクトであることを保証するために必要な要件です。より一般的には、原子価テンソル（ p、q ）の座標は、p個の上限インデックスとq個の下​​限インデックスを持ち、変換則は次のようになります ${\displaystyle v^{k}\mathbf {e} _{k}}$

${\displaystyle {T^{i_{1}\cdots i_{p}}}_{j_{1}\cdots j_{q}}\mapsto A_{i'_{1}}^{i_{1}}\cdots A_{i'_{p}}^{i_{p}}{T^{i'_{1}\cdots i'_{p}}}_{j'_{1}\cdots j'_{q}}(A^{-1})_{j_{1}}^{j'_{1}}\cdots (A^{-1})_{j_{q}}^{j'_{q}}.}$

テンソル場の概念は、許容される座標変換を滑らか（または微分可能、解析的など）に特殊化することで得られます。共ベクトル場は、（与えられたクラスの）遷移関数のヤコビアンによって変換される座標の関数です。同様に、反変ベクトル場は逆ヤコビアンによって変換されます。 ${\displaystyle v_{k}}$ ${\displaystyle v^{k}}$

テンソル束

テンソル束はファイバー束であり、ファイバーは多様体である基底空間の接空間および／または余接空間の任意の数のコピーのテンソル積です。したがって、ファイバーはベクトル空間であり、テンソル束は特別な種類のベクトル束です

ベクトル束とは、「パラメータに連続的（または滑らかに）依存するベクトル空間」という自然な考え方です。パラメータとは、多様体Mの点です。例えば、角度に依存する1次元のベクトル空間は、メビウスの帯のように見えることもあれば、円筒のように見えることもあります。M上のベクトル束Vが与えられた場合、対応する体の概念は束の切断と呼ばれます。M上で変化するmに対して、ベクトルの選択は

V _mにおけるv _m、

ここで、V _mはmにおけるベクトル空間です。

テンソル積の概念は基底の選択に依存しないため、 M上の2つのベクトル束のテンソル積を取ることは日常的なことです。接束（接空間の束）から始めて、テンソルの成分フリーな扱いで説明したすべての仕組みが、導入部で述べたように、座標とは独立して、日常的な方法で引き継がれます。

したがって、テンソル体の定義を、つまりあるテンソル束の切断として与えることができます。（テンソル束ではないベクトル束もあります。例えば、メビウスの帯などです。）すべてが本質的な方法で行われているため、これは幾何学的な内容が保証されます。より正確には、テンソル体は多様体の任意の点に、空間内のテンソルを割り当てます。

${\displaystyle V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*},}$

ここで、 Vはその点における接空間であり、 V ^∗は余接空間です。接束と余接束も参照してください

2つのテンソル束E → MとF → Mが与えられたとき、 Eの切断空間からFの切断への線型写像A : Γ( E ) → Γ( F ) は、Γ( E ) 内の各切断sとM上の各滑らかな関数fに対して、 A ( fs ) = fA ( s )を満たす場合のみ、それ自体が のテンソル切断とみなすことができます。したがって、テンソル切断は、切断のベクトル空間上の線型写像であるだけでなく、切断の加群上のC ^∞ ( M ) -線型写像でもあります。この性質は、例えば、リー微分と共変微分はテンソルではないものの、それらから構築される 捩れテンソルと曲率テンソルはテンソルであることを確認するために使用されます。${\displaystyle \scriptstyle E^{*}\otimes F}$

表記法

テンソル体の表記法は、テンソル空間の表記法と紛らわしいほど似ていることがあります。したがって、接束TM = T ( M ) は次のように書かれることがあります

${\displaystyle T_{0}^{1}(M)=T(M)=TM}$

接束が多様体M上の(1,0)テンソル場（つまりベクトル場）の値域空間であることを強調するためです。これは、見た目が非常に似ている記法と混同しないでください 。

${\displaystyle T_{0}^{1}(V)}$ ;

後者の場合、テンソル空間は1つだけですが、前者の場合、多様体Mの各点に対してテンソル空間が定義されます。

中括弧付きの文字は、 M上の無限微分可能なテンソル体の集合を表すために使用されることがあります。したがって、

${\displaystyle {\mathcal {T}}_{n}^{m}(M)}$

は、 M上の( m , n )テンソル束の無限微分可能な切断です。テンソル体はこの集合の元です。

多重線型形式としてのテンソル体

多様体M上のテンソル場を特徴付ける、より抽象的な（しかししばしば有用な）方法がもう1つあります。これは、テンソル場を正直なテンソル（つまり、単一の多重線型写像）にしますが、その型は異なります（ただし、実際には「テンソル場」を意味するときに「テンソル」と言うことが多いのは、これが理由ではありません）。まず、 M上のすべての滑らか^な（ C∞）ベクトル場（上記の表記法のセクションを参照）の集合を、単一の空間、つまり滑らかな関数の環 C∞(M) 上の加群として考えることができます。点ごとのスカラー乗算によって。^{多重線型性とテンソル積の概念は、}任意の可換環上の加群の場合に容易に拡張できます。 ${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M):={\mathcal {T}}_{0}^{1}(M)}$

動機付けの例として、滑らかな共ベクトル場（1-形式）の空間、これも滑らかな関数上の加群を考えてみましょう。これらは滑らかなベクトル場に作用して、点ごとの評価によって滑らかな関数を生成します。つまり、共ベクトル場ωとベクトル場Xが与えられたとき、次のように定義します ${\displaystyle \Omega ^{1}(M)={\mathcal {T}}_{1}^{0}(M)}$

${\displaystyle {\tilde {\omega }}(X)(p):=\omega (p)(X(p)).}$

関係するすべてのものの点ごとの性質のため、 Xへの作用はC∞ ( M ) -線型写像、つまり ${\displaystyle {\tilde {\omega }}}$

${\displaystyle {\tilde {\omega }}(fX)(p)=\omega (p)((fX)(p))=\omega (p)(f(p)X(p))=f(p)\omega (p)(X(p))=(f\omega )(p)(X(p))=(f{\tilde {\omega }})(X)(p)}$

M内の任意のpと滑らかな関数fに対してである。したがって、共ベクトル場は余接束の切断としてだけでなく、ベクトル場から関数への線型写像としても見なすことができる。二重双対構成により、ベクトル場も同様に共ベクトル場から関数への写像として表現できる（つまり、共ベクトル場から「ネイティブに」始めて、そこから作業を進めることができる）。

M上の通常の単一テンソル（テンソル体ではない！）を ベクトルと共ベクトル上の多重線型写像として構築することと完全に並行して、M 上の一般的な ( k , l )テンソル体を、k個のとl個の から C ∞ ( M ) へのC ^∞ ( M )多重^線型写像と見なすことができます。 ${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}(M)}$

さて、k個のと l個の の積からC ^∞ ( M )への任意の写像Tが与えられたとき、それが C ∞ ( M ) 上多重線型である場合に限り、M上のテンソル体から生じることがわかります。つまり、M上の型のテンソル体のC ^∞ ( M ) 加群は、C ∞ ⁽ M )多重線型形式のC ^∞ ( M )加群と標準同型です。${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}(M)}$ ${\displaystyle (k,l)}$

${\displaystyle \underbrace {\Omega ^{1}(M)\times \ldots \times \Omega ^{1}(M)} _{l\ \mathrm {times} }\times \underbrace {{\mathfrak {X}}(M)\times \ldots \times {\mathfrak {X}}(M)} _{k\ \mathrm {times} }\to C^{\infty }(M).}$

この種の多重線型性は、私たちが実際には点ごとに定義されたオブジェクト、つまりテンソル場を扱っているという事実を暗黙的に表現しています。これは、単一の点で評価された場合でも、ベクトル場と1-形式のすべての値に同時に依存する関数とは対照的です。

この一般則の頻繁な応用例は、レヴィ-チヴィタ接続（ベクトル場のペアをベクトル場に変換する滑らかなベクトル場の写像）が、 M上のテンソル場を定義しないことを示すことです。これは、レヴィ-チヴィタ接続がYにおいてのみ-線型であるためです（完全^なC∞ ( M )-線型性の代わりに、ライプニッツ則を満たします）。ただし、テンソル場ではないにもかかわらず、成分のない解釈を持つ幾何学的オブジェクトとして適格であることを強調する必要があります。 ${\displaystyle (X,Y)\mapsto \nabla _{X}Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \nabla _{X}(fY)=(Xf)Y+f\nabla _{X}Y}$

応用

曲率テンソルは微分幾何学で議論され、応力エネルギーテンソルは物理学で重要であり、これら2つのテンソルはアインシュタインの一般相対性理論によって関連付けられています。

電磁気学では、電場と磁場は電磁テンソル場に結合されます

多様体上の積分を定義する際に用いられる微分形式は、テンソル体の一種です。

テンソル計算

理論物理学やその他の分野において、テンソル場を用いて表される微分方程式は、本質的に幾何学的であり（テンソルの性質によって保証されている）、かつ慣例的に微分積分学に関連付けられている関係を表現するための非常に一般的な方法を提供します。そのような方程式を定式化するためにさえ、共変微分という新しい概念が必要です。これは、ベクトル場に沿ったテンソル場の変化の定式化を扱います。後にテンソル計算と呼ばれるようになった、元々の絶対微分積分学の概念は、接続という幾何学的概念の分離につながりました。

線束によるねじれ

テンソル場の考え方の拡張は、M上の追加の線束 Lを組み込みます。WがVとLのテンソル積束である場合、WはVとちょうど同じ次元のベクトル空間の束です。これにより、「ねじれた」タイプのテンソル場であるテンソル密度の概念を定義することができます。テンソル密度は、 Lが多様体上の密度の束、つまり余接束の行列式束である場合の特殊なケースです。 （厳密に正確にするためには、遷移関数にも絶対値を適用する必要があります。これは、向き付け可能な多様体ではほとんど違いはありません。）より伝統的な説明については、テンソル密度の記事 を参照してください

密度束Lの特徴の1つは（ここでも向き付け可能性を仮定）、 L ^{s が}sの実数値に対して明確に定義されていることです。これは、厳密に正の実数値を取る遷移関数から読み取ることができます。これは、例えば、s = ⁠1/2⁠の場合、半密度を取ることができることを意味します。 一般に、Wの切断、 VとL ^sのテンソル積を取り、重みsを持つテンソル密度場を考えることができます

半密度は、多様体上の積分作用素の定義や幾何量子化などの分野で応用されています。

平坦なケース

Mがユークリッド空間であり、すべての体がMのベクトルによる並進によって不変であるとすると、テンソル場は「原点に位置する」テンソルと同義になる状況に戻ります。これは大きな害はなく、応用でよく使用されます。テンソル密度に適用すると、違いが生じます。密度の束は「ある点」で真剣に定義することはできません。したがって、テンソルの現代の数学的扱いの限界は、テンソル密度が回りくどい方法で定義されていることです。

コサイクルと連鎖律

テンソルの概念の高度な説明として、座標変換に適用される多変数の場合の連鎖律は、テンソル場を生み出すテンソルの自己無撞着な概念の要件としても解釈 できます

抽象的に、連鎖律は1-コサイクルとして識別できます。これは、接束を本質的な方法で定義するために必要な一貫性を与えます。テンソルの他のベクトル束にも、テンソル構成の関数的性質を連鎖律自体に適用することで得られる、同等のコサイクルがあります。これが、それらも本質的な（つまり「自然な」）概念である理由です。

テンソルに対する「古典的な」アプローチとして通常語られるものは、これを逆から読み取ろうとするものであり、したがって、真に基礎的なアプローチというよりは、経験的かつ事後的なアプローチです。座標変換下でテンソルがどのように変換するかによってテンソルを定義することには、コサイクルが表現する一種の自己無矛盾性が暗黙的に含まれています。テンソル密度の構築は、コサイクルレベルでの「ねじれ」です。幾何学者はテンソル量の幾何学的性質について何の疑いも抱いていませんでした。この種の降下論は、理論全体を抽象的に正当化します。

一般化

テンソル密度

テンソル場の概念は、異なる変換を行うオブジェクトを考えることで一般化できる。座標変換の下で通常のテンソル場として変換されるが、逆座標変換のヤコビアンのw乗の行列式も乗じられるオブジェクトは、重みwを持つテンソル密度と呼ばれる。^[4] 不変的に、多重線型代数の言語では、テンソル密度は、 Rだけで値を取るのではなく、n形式（nは空間の次元）の（1次元）空間などの密度束で値を取る多重線型写像と考えることができる。したがって、より高い「重み」は、範囲内でこの空間との追加のテンソル積を取ることにのみ対応する。

特殊なケースとしてスカラー密度があります。スカラー1-密度は、多様体上で積分を定義することが理にかなっているため、特に重要です。例えば、一般相対論におけるアインシュタイン-ヒルベルト作用に現れます。スカラー1-密度の最も一般的な例は体積元であり、計量テンソルgが存在する場合、それは座標における行列式の平方根であり、と表記されます。計量テンソルは2次の共変テンソルであるため、その行列式は座標変換の2乗に比例します。 ${\displaystyle {\sqrt {\det g}}}$

${\displaystyle \det(g')=\left(\det {\frac {\partial x}{\partial x'}}\right)^{2}\det(g),}$

これは、重み+2のスカラー密度の変換則です。

より一般的には、任意のテンソル密度は、適切な重みのスカラー密度を持つ通常のテンソルの積です。ベクトル束の言語では、接束の行列式束は、他の束をw回「ねじる」ために使用できる線束です確かに、局所的にはより一般的な変換則を使ってこれらのテンソルを認識することができますが、変換則ではヤコビ行列式またはその絶対値のいずれかを書くことができることを反映した、大域的な疑問が生じます。密度の束の（正の）遷移関数の非整数べきは意味をなすため、その意味では、密度の重みは整数値に制限されません。負の符号を除去する一貫した大域的方法があるため、正のヤコビ行列式を持つ座標変換に制限することは、有向多様体上では可能です。しかし、それ以外では、密度の線束とn形式の線束は異なります。本質的な意味の詳細については、「多様体上の密度」を参照してください。

参照

• バイテンソル – 多様体内の2点に依存するテンソルオブジェクト
• ジェットバンドル – 微分位相幾何学における構成
• リッチ計算 – テンソルベースの計算のためのテンソル指数表記
• スピノル場 – 幾何学的構造Pages displaying short descriptions of redirect targets

注釈

1. O'Neill, Barrett. Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity
2. Schoutenの英訳で使用されている「 affinor 」という用語は現在使用されていません。
3. Claudio Gorodski. "Notes on Smooth Manifolds" (PDF) . 2024-06-24取得.
4. "Tensor density", Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]

参考文献

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