ベクトル束

（無限に延長された）メビウスの帯は、 1次元球面上の線束です。 内の任意の点の周囲では、（は点を含む開弧）のように見えますが、全体の線束は （ は円柱）とは異なります。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{1}}$ ${\displaystyle U\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{1}\times \mathbb {R} }$

数学において、ベクトル束は、別の空間(位相空間、多様体、代数多様体など)によってパラメータ化されたベクトル空間の族という概念を明確にする位相構成です。空間のすべての点にベクトル空間を関連付け (または「添付」) して、これらのベクトル空間が互いに適合し、 と同じ種類の別の空間 (位相空間、多様体、代数多様体 など) を形成するようにします。この空間は上のベクトル束と呼ばれます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

最も単純な例は、ベクトル空間の族が定数である場合、つまり、のすべての に対してとなる固定されたベクトル空間が存在する場合です。この場合、の各 に対してのコピーが存在し、これらのコピーが合わさって上のベクトル束を形成します。このようなベクトル束は自明であると言われています。より複雑で典型的な例として、滑らかな（または微分可能な）多様体の接束があります。このような多様体のすべての点に、その点における多様体に接空間を接続できます。一般に、接束は自明な束ではありません。たとえば、球面の接束は、毛玉定理により非自明です。一般に、多様体は、その接束が自明である場合に限り、平行化可能であると言われます。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V(x)=V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times V}$ ${\displaystyle X}$

ベクトル束はほとんどの場合、局所的に自明であることが要求されます。つまり、ベクトル束はファイバー束の例です。また、ベクトル空間は通常、実数または複素数上に存在することが要求されます。この場合、ベクトル束はそれぞれ実ベクトル束または複素ベクトル束と呼ばれます。複素ベクトル束は、追加の構造を持つ実ベクトル束と見なすことができます。以下では、位相空間のカテゴリにおける実ベクトル束に焦点を当てます。

定義と最初の結果

基底上のベクトル束。内の点はベクトル束の繊維の原点に対応し、この繊維は射影によって点に写像される。${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle M(=X)}$ ${\displaystyle E_{m_{1}}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle \pi :E\to M}$

実ベクトル束は次のものから構成されます。

1. 位相空間（基底空間）と（全空間）${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$
2. 連続射影（束 射影） ${\displaystyle \pi :E\to X}$
3. の任意のに対して、ファイバー上の有限次元実ベクトル空間の構造${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(\{x\})}$

ここで、次の適合条件が満たされる：内の任意の点に対して、の開近傍、自然数、同相写像が存在する。${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \varphi \colon U\times \mathbb {R} ^{k}\to \pi ^{-1}(U)}$

となるように、 のすべてのに対して、 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$

• ${\displaystyle (\pi \circ \varphi )(x,v)=x}$ のすべてのベクトル に対して、そして${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$
• この写像はベクトル空間との間の線型同型 である。${\displaystyle v\mapsto \varphi (x,v)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(\{x\})}$

同相写像と開近傍はベクトル束の局所自明化と呼ばれます。局所自明化は、写像が局所的にはの への射影に「似ている」ことを示します。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle U\times \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle U}$

すべてのファイバーは有限次元の実ベクトル空間であるため、次元を持ちます。局所的自明化により、関数は局所的に定数であり、したがっての各連結成分上で定数であることが示されます。が のすべてにおいて定数に等しい場合、 はベクトル束の階数と呼ばれ、階数 のベクトル束であると言われます。多くの場合、ベクトル束の定義には階数が明確に定義されていることが含まれるため、 は定数です。階数 のベクトル束は線束と呼ばれ、階数 のベクトル束はそれほど一般的ではありませんが、平面束と呼ばれます。 ${\displaystyle \pi ^{-1}(\{x\})}$ ${\displaystyle k_{x}}$ ${\displaystyle x\to k_{x}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k_{x}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k_{x}}$

射影 を備えた直積は 、上の階数の自明なバンドルと呼ばれます。 ${\displaystyle X\times \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} ^{k}\to X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$

遷移関数

開集合 と 上の2つの自明なベクトル束は、遷移関数によって交点を挟んで接着することができる。遷移関数は、ファイバーに線形変換を適用した後、灰色の領域を互いに接着する役割を果たす（の効果による青い四辺形の変化に注意）。遷移関数の選択を変えることで、接着後に自明でないベクトル束が生成される場合がある。${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle U_{\beta }}$ ${\displaystyle U_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$

メビウスの帯は、円S ¹の開部分集合 UとV 上の二つの自明な束を非自明に接着することによって構成できる。自明に接着した場合（g _UV =1）、自明な束が得られるが、一方の重なりにおいてg _UV =1とし、もう一方の重なりにおいてg _UV =-1とする非自明な接着を行うと、非自明な束E、すなわちメビウスの帯が得られる。これは、局所チャートの一つを「ねじった」ものとして視覚化できる。

階数のベクトル束と近傍のペアとが与えられ、その束は次のように自明になる。 ${\displaystyle E\to X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{U}\colon U\times \mathbb {R} ^{k}&\mathrel {\xrightarrow {\cong } } \pi ^{-1}(U),\\\varphi _{V}\colon V\times \mathbb {R} ^{k}&\mathrel {\xrightarrow {\cong } } \pi ^{-1}(V)\end{aligned}}}$

複合関数

${\displaystyle \varphi _{U}^{-1}\circ \varphi _{V}\colon (U\cap V)\times \mathbb {R} ^{k}\to (U\cap V)\times \mathbb {R} ^{k}}$

重なり合う部分で明確に定義され、

${\displaystyle \varphi _{U}^{-1}\circ \varphi _{V}(x,v)=\left(x,g_{UV}(x)v\right)}$

ある-値関数 に対して${\displaystyle {\text{GL}}(k)}$

${\displaystyle g_{UV}\colon U\cap V\to \operatorname {GL} (k).}$

これらはベクトル束の 遷移関数（または座標変換）と呼ばれます。

遷移関数の集合は、次の意味で チェフコサイクルを形成する。

${\displaystyle g_{UU}(x)=I,\quad g_{UV}(x)g_{VW}(x)g_{WU}(x)=I}$

に対して、バンドルが を満たすように自明化する。したがって、データはファイバーバンドルを定義する。 の追加データは、ファイバーへの作用が の標準作用となる構造群を指定する。 ${\displaystyle U,V,W}$ ${\displaystyle U\cap V\cap W\neq \emptyset }$ ${\displaystyle (E,X,\pi ,\mathbb {R} ^{k})}$ ${\displaystyle g_{UV}}$ ${\displaystyle {\text{GL}}(k)}$ ${\displaystyle {\text{GL}}(k)}$

逆に、ファイバー束と、そのファイバーに標準的な方法で作用するコサイクルが与えられた場合、ベクトル束が付随する。これはベクトル束に対するファイバー束構成定理の例であり、ベクトル束の別の定義として捉えることができる。 ${\displaystyle (E,X,\pi ,\mathbb {R} ^{k})}$ ${\displaystyle {\text{GL}}(k)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$

サブバンドル

1 次元多様体上の階数 2 の自明なベクトル束の線分部分束。${\displaystyle L}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$

ベクトル束を構成する簡単な方法の一つは、他のベクトル束の部分束を取ることです。位相空間上のベクトル束が与えられた場合、部分束は単に位相的部分空間であり、を に制限することでベクトル束の構造も与えられます。この場合、ファイバーは任意の に対してベクトル部分空間となります。 ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle F\subset E}$ ${\displaystyle \left.\pi \right|_{F}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \left.\pi \right|_{F}:F\to X}$ ${\displaystyle F_{x}\subset E_{x}}$ ${\displaystyle x\in X}$

自明バンドルの部分バンドルは自明である必要はなく、実際、コンパクト空間上のすべての実ベクトルバンドルは、十分に高いランクの自明バンドルの部分バンドルと見なすことができます。例えば、円上の非自明な直線バンドルであるメビウスの帯は、円上の自明なランク2バンドルの部分バンドルと見なすことができます。

ベクトル束射

ベクトル束からベクトル束への射は、連続写像のペアとによって与えられ、 ${\displaystyle \pi _{1}:E_{1}\rightarrow X_{1}}$ ${\displaystyle \pi _{2}:E_{2}\rightarrow X_{2}}$ ${\displaystyle f:E_{1}\rightarrow E_{2}}$ ${\displaystyle g:X_{1}\rightarrow X_{2}}$ $${\displaystyle g\circ \pi _{1}=\pi _{2}\circ f}$$

の任意の に対して、によって誘導される写像はベクトル空間間の線型写像です。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle \pi _{1}^{-1}(\{x\})\rightarrow \pi _{2}^{-1}(\{g(x)\})}$ ${\displaystyle f}$

は( は全射であるため)によって決定され、gを覆うと言われることに注意してください。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \pi _{1}}$ ${\displaystyle f}$

すべてのベクトル束のクラスは、束射とともに圏を形成する。空間が多様体であり（束射影が滑らかな写像である）、かつ滑らかな束射に限定すると、滑らかなベクトル束の圏が得られる。ベクトル束射は、ファイバー束間の束写像の概念の特殊なケースであり、（ベクトル）束準同型と呼ばれることもある。

からへのバンドル準同型で、その逆もまたバンドル準同型（ からへ）であるものは、（ベクトル）バンドル同型と呼ばれ、このとき、 と は同型ベクトルバンドルであると言われる。上の（階数 の）ベクトルバンドルと（上階数の）自明バンドルとの同型はの自明化と呼ばれ、このとき は自明（または自明化可能）であると言われる。ベクトルバンドルの定義は、任意のベクトルバンドルが局所的に自明 であることを示す。 ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

固定された基底空間 上のすべてのベクトル束の圏も考えることができます。この圏の射として、基底空間 への写像がへの恒等写像となるようなベクトル束の射をとります。つまり、次の図式がと可換となるような束射です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

(このカテゴリはアーベル的ではない ことに注意してください。ベクトル束の射の 核は、一般に自然な意味ではベクトル束ではありません。)

からへの写像を覆うベクトル束との間のベクトル束射は、からプルバック束上のベクトル束射としても見ることができます。 ${\displaystyle \pi _{1}:E_{1}\rightarrow X_{1}}$ ${\displaystyle \pi _{2}:E_{2}\rightarrow X_{2}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle g^{*}E_{2}}$

セクションと局所自由層

断面 を持つ基底上のベクトル束。${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle s}$

面上の各点に法線を関連付けた写像は、断面と考えることができます。面は空間Xであり、各点xにはベクトル空間内のxに付随するベクトルが存在します。

ベクトル束π : E → XとXの開集合Uが与えられている場合、 U上のπの切断、つまり連続関数s : U → Eを考えることができる。ここで合成関数π  ∘  sは、 U内のすべてのuに対して( π ∘ s )( u ) = uとなるようなものである。U 上の切断とは、 U内のすべての点pに、 p上のベクトル空間ファイバーからのベクトルを連続的に割り当てることである。例えば、微分多様体の接束の切断は、その多様体上のベクトル場と同じである。

F ( U ) をU上のすべての切断の集合とする。F ( U )は常に少なくとも1つの元、すなわち零切断、すなわちUのすべての元xをベクトル空間π ⁻¹ ({ x }) の零元に写す関数sを含む。切断の各点の加法とスカラー乗算により、F ( U ) 自体は実ベクトル空間となる。これらのベクトル空間の集合は、X上のベクトル空間の層である。

s がF ( U )の元であり、 f : U → Rが連続写像である場合、それらの積 f s（点ごとのスカラー乗算）はF ( U ) に含まれます。これは、 F ( U ) がU上の連続実数値関数の環上の加群であることを示しています。さらに、 O _{X が}X上の連続実数値関数の構造層を表す場合、F はO _X加群の層になります。

O _X加群のすべての層がベクトル束からこのように生じるわけではありません。局所的に自由なものだけがベクトル束から生じます。（その理由は、局所的には射影U × R ^k → Uの切断を探しているからです。これらはまさに連続関数U → R ^kであり、そのような関数は連続関数U → Rのk組です。）

さらに、X上の実ベクトル束のカテゴリは、 O _X加群の局所自由かつ有限生成層のカテゴリと同等です。

したがって、 X上の実ベクトル束のカテゴリは、O _X加群の層のカテゴリ内にあると考えることができます。この後者のカテゴリはアーベルであるため、ここでベクトル束の射の核と余核を計算できます。

ランクnベクトル束は、n個の線形独立なグローバルセクションを持つ場合にのみ自明です。

ベクトル束の演算

ベクトル空間上のほとんどの演算は、ベクトル空間演算をファイバー単位で実行することによってベクトル束に拡張できます。

たとえば、E がX上のベクトル束である場合、 X上の束E*が存在し、これは双対束と呼ばれ、 x ∈ Xにおけるファイバーは双対ベクトル空間( E _x )*です。正式には、E* は( x , φ )のペアの集合として定義でき、ここでx ∈ Xおよび φ ∈ ( E _x )* です。 Eの局所自明化の逆の双対空間はE*の局所自明化であるため、双対束は局所自明です。ここで重要な点は、双対ベクトル空間を取る操作が関数的であるということです。

（同一体上の）ベクトル空間の対に対して実行できる関数演算は数多く存在し、これらは（与えられた体上の） X上のベクトル束E , Fの対にも直接拡張される。以下にいくつかの例を挙げる。

• ホイットニー和（ハスラー・ホイットニーにちなんで名付けられた）またはEとFの直和バンドルは、 X上のベクトルバンドルE ⊕ Fであり、そのx上のファイバーはベクトル空間E _xとF _xの直和E _x ⊕ F _xです。
• テンソル積バンドル E ⊗ Fは、ベクトル空間のファイバーごとのテンソル積を使用して同様の方法で定義されます。
• ホム束Hom( E , F ) は、 xにおけるファイバーがE _xからF _xへの線型写像の空間（しばしば Hom( E _x , F _x ) またはL ( E _x , F _x ) と表記される）であるベクトル束である。ホム束と呼ばれるのは、EからFへのX上のベクトル束準同型と Hom( E , F )のX上の切断との間に一対一性が存在するためである（そして有用である） 。
• 前の例を基に、自己準同型束 Hom( E , E )の切断sと関数f : X → Rが与えられれば、点x ∈ X上のファイバーを線型写像s ( x ): E _x → E _xのf ( x )-固有空間とすることで、固有束を構築できます。この構成は自然ですが、注意しないと、結果として得られるオブジェクトは局所的な自明化を持ちません。sが零切断で、f が孤立零点を持つ場合を考えてみましょう。結果として得られる「固有束」内のこれらの零点上のファイバーは、 E内のそれらの零点上のファイバーと同型になりますが、それ以外の場所ではファイバーは自明な 0 次元ベクトル空間です。
• 双対ベクトル束 E*は、 Eの束準同型と自明束R × XのHom 束 Hom( E , R × X ) である。標準ベクトル束同型 Hom( E , F ) = E* ⊗ Fが存在する。

これらの演算はそれぞれ、束の一般的な特徴、すなわちベクトル空間のカテゴリに対して実行できる演算の多くが、関数的にベクトル束のカテゴリに対しても実行できるという特徴の特別な例です。これは、滑らかな関数という言語で明確に表現されます。異なる性質の演算は、引き戻し束の構築です。ベクトル束E → Yと連続写像f : X → Yが与えられれば、 E をX上のベクトル束f*Eに「引き戻す」ことができます。点x ∈ X上のファイバーは、本質的にf ( x ) ∈ Y上のファイバーです。したがって、E ⊕ Fのホイットニー和は、 XからX × Xへの対角線写像の引き戻し束として定義でき、ここでX × X上の束はE  ×  Fです。

注：Xをコンパクト空間とする。X上の任意のベクトル束Eは、自明な束の直和項となる。すなわち、E ⊕ E 'が自明となるような束E 'が存在する。これはXがコンパクトでない場合成立しない。例えば、無限実射影空間上のトートロジー直線束はこの性質を持たない。^[1]

追加の構造と一般化

ベクトル束には、しばしばさらなる構造が与えられます。例えば、ベクトル束にはベクトル束計量 が与えられます。通常、この計量は正定値 であることが要求され、その場合、Eの各ファイバーはユークリッド空間になります。複素構造を持つベクトル束は複素ベクトル束に対応し、これは定義内の実ベクトル空間を複素ベクトル空間に置き換え、すべての写像がファイバー内で複素線型であることを要求することによっても得られます。より一般的には、ベクトル束に課せられる追加の構造は、束 の構造群 の結果として得られる縮小によって理解できます。より一般的な位相体上のベクトル束も使用できます。

有限次元ベクトル空間の代わりに、ファイバーFをバナッハ空間とすると、バナッハ束が得られる。^[2]具体的には、各ファイバー上の局所自明化がバナッハ空間同型（単なる線型同型ではなく）であること、さらに、

${\displaystyle g_{UV}\colon U\cap V\to \operatorname {GL} (F)}$

はバナッハ多様体の連続写像である。C ^p束の対応する理論では、すべての写像が C ^pであることが要求される。

ベクトル束は特別なファイバー束であり、ファイバーがベクトル空間であり、そのコサイクルがベクトル空間構造を尊重するものである。より一般的なファイバー束は、ファイバーが他の構造を持つように構成することもできる。例えば、球束は球によってファイバー化される。

滑らかなベクトル束

ベクトル束を記述する遷移関数の規則性によって、ベクトル束の種類が決まります。連続遷移関数g _UVを用いると、得られるベクトル束Eは連続ではあるものの滑らかではありません。滑らかな遷移関数h _UVを用いると、得られるベクトル束Fは滑らかなベクトル束になります。

ベクトル束 ( E , p , M ) は、EとMが滑らかな多様体で、 p: E → Mが滑らかな写像であり、局所自明化が微分同相写像であるとき、滑らかである。必要な滑らかさの度合いに応じて、 C ^p束、無限微分可能C ^∞束、実解析的C ^ω束など、対応する異なる概念が存在する。このセクションでは、 C ^∞束に焦点を当てる。 C ^∞ベクトル束の最も重要な例は、 C ^∞多様体Mの接線束( TM , π _TM , M ) である。

滑らかなベクトル束は、上述のように、自明化チャートUとVの重なりにおける滑らかな関数である遷移関数を許容するという事実によって特徴付けられる。つまり、ベクトル束E が滑らかであるとは、任意の2つの開集合UとVに対して、遷移関数

${\displaystyle g_{UV}:U\cap V\to \operatorname {GL} (k,\mathbb {R} )}$

は、リー群である行列群GL(k, R )への滑らかな関数です。

同様に、遷移関数が次の場合:

• C ^rの場合、ベクトル束はC ^rベクトル束であり、
• 実解析的であればベクトル束は実解析的ベクトル束である（これは行列群が実解析的構造を持つことを要求する）。
• 正則な場合、ベクトル束は正則ベクトル束である（これは行列群が複素リー群であることを必要とする）。
• 代数関数の場合、ベクトル束は代数ベクトル束です（これには行列群が代数群である必要があります）。

C ^∞ -ベクトル束 ( E , p , M ) は、より一般的なC ^∞ -ファイバー束にはない非常に重要な性質を持つ。すなわち、任意のv ∈ E _xにおける接空間T _v ( E _x ) は、ファイバーE _x自身と自然に同一視できる。この同一視は、次のように定義される垂直方向の揚力vl _v : E _x → T _v ( E _x ) によって得られる。

${\displaystyle \operatorname {vl} _{v}w[f]:=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}f(v+tw),\quad f\in C^{\infty }(E_{x}).}$

垂直リフトは、自然なC ^∞ベクトル束同型p*E → VEとみなすこともできます。ここで、 ( p*E、p*p、E ) は、 p : E → Mを通したE上の( E、p、M )の引き戻し束であり、VE  := Ker( p _* ) ⊂ TEは、垂直接線束、つまり全空間Eの接線束 ( TE、π _TE、E ) の自然なベクトル部分束です。

任意の滑らかなベクトル束の全空間Eは、自然ベクトル場V _v  := vl _v vを持ち、これは正準ベクトル場として知られる。より正式には、Vは ( TE , π _TE , E ) の滑らかな切断であり、また、繊維方向のスカラー乗算によって与えられるリー群作用 の無限小生成元として定義することもできる。正準ベクトル場V は、以下のように滑らかなベクトル束の構造を完全に特徴付ける。準備として、X が滑らかな多様体M上の滑らかなベクトル場であり、x ∈ MであってX _x = 0 であるとき、線形写像 ${\displaystyle (t,v)\mapsto e^{tv}}$

${\displaystyle C_{x}(X):T_{x}M\to T_{x}M;\quad C_{x}(X)Y=(\nabla _{Y}X)_{x}}$

はM上の線型共変微分∇の選択に依存しない。E上の標準ベクトル場Vは公理を満たす 。

1. Vの流れ( t , v )→ΦtV ⁽ v )は_{グローバル}に定義されます。
2. 各v∈Vに対して、唯一の限界_t→ ∞ΦtV ( ^v ) ∈Vが存在し_ます。
3. V v = 0のときは常に C v ( _V ) ∘ C v ₍ V ) = C _{v ( V} )です。
4. Vの零点集合はEの滑らかな部分多様体であり、その余次元はC _v ( V )の階数に等しい。

逆に、E が任意の滑らかな多様体であり、V が1 – 4 を満たすE上の滑らかなベクトル場である場合、 E上にはVを標準ベクトル場とする唯一のベクトル束構造が存在します。

任意の滑らかなベクトル束 ( E , p , M ) に対して、その接線束 ( TE , π _TE , E ) の全空間TEは、自然な二次ベクトル束構造( TE , p _* , TM ) を持ちます。ここで、p _*は標準射影p : E → Mのプッシュフォワードです。この二次ベクトル束構造におけるベクトル束演算は、元の加算 +: E × E → E のプッシュフォワード+ _* : T ( E × E ) → TEとλ _* : TE → TE 、およびスカラー乗算 λ: E → Eです。

K理論

コンパクトハウスドルフ位相空間のK理論群K ( X )は、ホイットニー和の群演算の下で複素ベクトル束の同型類[ E ]によって生成されるアーベル群として定義され、位相K理論 において 正確な列が存在する場合は常に、という関係を法とする。KO理論は、実ベクトル束を考慮したこの構成のバージョンである。コンパクトな台を持つK理論や、高次のK理論群も定義できる。 $${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0,}$$ $${\displaystyle [B]=[A]+[C]}$$

ラウル・ボットの有名な周期性定理は、任意の空間Xの K 理論は、 Xの二重サスペンションであるS ² Xの K 理論と同型であると主張しています。

代数幾何学では、スキームX上の連接層からなる K-理論群と、上記の同値関係を持つスキーム上のベクトル束の K-理論群を考える。これら2つの構成は、基礎となるスキームが滑らかである限り、自然に同型である。

参照

一般的な概念

• グラスマン多様体：ベクトル束の空間を分類する。その中には直線束の射影空間も含まれる。
• 特性クラス
• 分割原理
• 安定したバンドル

位相幾何学と微分幾何学

• 接続: ベ​​クトル束のセクションを微分するために必要な概念。
• ゲージ理論: ベクトル束と主束上の接続とそれらの物理学との関係についての一般的な研究。

代数幾何学と解析幾何学

• 代数的ベクトル束
• ピカードグループ
• 正則ベクトル束

注記

1. Hatcher 2003、例3.6。
2. ラング 1995.

出典

• アブラハム、ラルフ H. ;マースデン、ジェロルド E. (1978)、『力学の基礎』、ロンドン：ベンジャミン・カミングス、第 1.5 節参照、Bibcode :1978fome.book.....A、ISBN 978-0-8053-0102-1。
• Hatcher, Allen (2003)、「ベクトルバンドルと K 理論 (2.0 版)」。
• ヨスト、ユルゲン（2002年）、リーマン幾何学と幾何学解析（第3版）、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-3-540-42627-1セクション1.5を参照してください。
• ラング、セルジュ（1995）、微分多様体とリーマン多様体、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-94338-1。
• リー、ジェフリー・M.（2009）「多様体と微分幾何学」、数学大学院研究、第107巻、プロビデンス：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-4815-9。
• リー、ジョン・M.（2003）、滑らかな多様体入門、ニューヨーク：シュプリンガー、ISBN 0-387-95448-1第5章参照
• ルベイ、エレナ（2014）、代数幾何学、簡潔な辞典、ベルリン/ボストン：ウォルター・デ・グリュイター、ISBN 978-3-11-031622-3。

外部リンク

• 「ベクトル束」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• ベクトル束を学ぶことはなぜ役に立つのか？
• 空間のベクトル束を分類することがなぜ有用なのでしょうか?