ユーティリティ

経済学において、効用とは、ある人が特定の世界状態から得る満足度の尺度です。この用語は、時を経て、少なくとも2つの意味で使われるようになりました。

規範的な文脈において、効用とは、最大化を目指す目標や目的、すなわち目的関数を指します。この種の効用は、ジェレミー・ベンサムやジョン・スチュアート・ミルといった道徳哲学者によって発展させられた、本来の功利主義の概念に近いものです。
記述的な文脈では、この用語は明らかな客観的な関数を指します。このような関数は、人の行動、具体的には、定量化された選択肢である宝くじに対する好みによって明らかにされます。

これら 2 種類の効用関数の関係は経済学者と倫理学者の両方の間で論争の的となっているが、大部分の人は、この 2 つは異なるが、一般的には関連していると主張している。

効用関数

ある人が優先順位を持つ選択肢の集合を考えてみましょう。効用関数とは、各選択肢に実数を割り当て、選択肢 a が選択肢 bよりも大きい数値を割り当てられる場合、かつその場合に限り、その優先順位を表します。この状況において、最も好ましい選択肢を選択する人は、関連する効用関数を最大化する選択肢も選択しなければなりません。

ジェームズが、リンゴの数が個、チョコレートの数が個の効用関数を持っているとします。選択肢Aにはリンゴとチョコレートがあり、選択肢Bにはリンゴとチョコレートがあります。これらの値を効用関数に代入すると、選択肢Aについては、選択肢Bについてはとなり、ジェームズは選択肢Bを好みます。一般的な経済学では、効用関数とは、一連の財とサービスに関する選好を順位付けするものです。 $U={\sqrt {xy}}$ $x$ $y$ $x=9$ $y=16$ $x=13$ $y=13$ $x,y$ ${\sqrt {9\times 16}}=12$ ${\sqrt {13\times 13}}=13$

ジェラール・ドブリューは、選好順序付けが効用関数によって表現可能となるための条件を導出した。^[1]選択肢の有限集合に対して、選好順序付けが完全であること（つまり、個人が任意の2つの選択肢のどちらが好ましいか、またはどちらでもないかを判断できること）と、選好順序が推移的であることのみが求められる。

選択肢の集合が有限ではないと仮定する（例えば、財の数が有限であっても、選択される数量は区間上の任意の実数となり得る）。その場合、消費者の選好を表す連続効用関数が存在するのは、消費者の選好が完全、推移的、かつ連続的である場合に限る。^[2]

アプリケーション

効用は無差別曲線の集合によって表すことができます。無差別曲線は関数自体の水準曲線であり、個人が一定の満足度を維持するために受け入れる財の組み合わせをプロットします。無差別曲線と予算制約を組み合わせることで、個人需要曲線を導出することができます。

無差別曲線において、縦軸と横軸はそれぞれ個人による財Yと財Xの消費を表します。同じ無差別曲線上の財Xと財Yのすべての組み合わせは、個人にとって無差別とみなされます。つまり、無差別曲線上のすべての組み合わせは同じ効用値をもたらします。

個人効用と社会効用は、それぞれ効用関数と社会厚生関数の値として解釈できる。生産制約や財制約と組み合わせると、いくつかの仮定の下で、これらの関数を用いてパレート効率性を分析することができる。これは、契約曲線におけるエッジワース・ボックスで示される。このような効率性は、厚生経済学における主要な概念である。

好み

ミクロ経済学における選択理論は、選好が従来の基礎となっているが、選好を効用関数で表現することがしばしば便利である。Xを消費集合、すなわち消費者が消費し得る相互に排他的なすべてのバスケットの集合としよう。消費者の効用関数は、消費集合内の各可能な結果を順位付けする。消費者がyよりもxを厳密に選好するか、あるいは両者に無関心である場合、となる。 $u\colon X\to \mathbb {R}$ $u(x)\geq u(y)$

たとえば、消費者の消費セットがX = {なし、リンゴ 1 個、オレンジ 1 個、リンゴ 1 個とオレンジ 1 個、リンゴ 2 個、オレンジ 2 個} で、その効用関数がu (なし) = 0、u (リンゴ 1 個) = 1、u (オレンジ 1 個) = 2、u (リンゴ 1 個とオレンジ 1 個) = 5、u (リンゴ 2 個) = 2 、 u (オレンジ 2 個) = 4 だとします。この場合、この消費者はリンゴ 1 個よりもオレンジ 1 個を好みますが、オレンジ 2 個よりもオレンジを 1 個ずつを好みます。

ミクロ経済モデルでは、通常、L個の商品の有限集合があり、消費者は各商品を任意の量消費する。これにより消費集合はとなり、各パッケージは各商品の量を含むベクトルとなる。例えば、リンゴとオレンジという2つの商品があるとする。リンゴを最初の商品、オレンジを2番目の商品とすると、消費集合はとなり、前述と同様にu ( 0, 0) = 0、u (1, 0) = 1、u (0, 1) = 2、u (1, 1) = 5、u (2, 0) = 2、u (0, 2) = 4となる。しかし、 uがX上の効用関数となるためには、 X内のすべてのパッケージに対して定義されなければならないため、分数のリンゴとオレンジに対しても関数を定義する必要がある。これらの数値に適合する関数の1つは $\mathbb {R} _{+}^{L}$ $x\in \mathbb {R} _{+}^{L}$ $X=\mathbb {R} _{+}^{2}$ $u(x_{\text{apples}},x_{\text{oranges}})=x_{\text{apples}}+2x_{\text{oranges}}+2x_{\text{apples}}x_{\text{oranges}}.$

設定には主に 3 つのプロパティがあります。

完全

ある個人がAとBという2つの選択肢を持っていると仮定します。2つの選択肢を順位付けすると、以下の関係のうち1つだけが成り立ちます。個人がAを強く好む（A > B）、個人がBを強く好む（B > A）、個人がAとBのどちらにも関心がない（A = B）。すべての（ a、b）について、 a ≥ bまたはb ≥ a（または両方）のいずれかです。

推移性

個体の選好はバンドル全体にわたって一貫している。ある個体がバンドルAをバンドルBよりも選好し、バンドルBをバンドルCよりも選好する場合、その個体はバンドルAをバンドルCよりも選好すると仮定できる。（a ≥ bかつb ≥ cの場合、すべての ( a , b , c ) についてa ≥ c が成立する。）

不満足または単調性

バンドルAにはバンドルBに含まれるすべての商品が含まれていますが、Aには少なくとも1つの商品がBより多く含まれています。個人はBよりもAを好みます。^[3]たとえば、バンドルA = {リンゴ1個、オレンジ2個}、バンドルB = {リンゴ1個、オレンジ1個}の場合、AはBよりも好まれます。

顕示的選好

効用は直接測定または観察できないことが認識されたため、経済学者は代わりに観察された選択から相対的な効用を推論する方法を考案しました。ポール・サミュエルソンが「顕示選好」と名付けたこれらの選好は、例えば人々の支払意思額に表れていました。

効用は欲望または欲求と相関関係にあると想定されている。欲望は直接的に測定することはできず、それが引き起こす外的現象によって間接的にしか測定できないことは既に論じられている。そして、経済学が主に扱う場合には、その測定基準は、人がその欲望の充足または満足のために喜んで支払う価格によって求められる。^[4]^{: 78}

機能

効用関数は、消費される様々な財の量の関数として効用を表現し、単に財の束の間での選好の順位付け以上の情報（選好の強さに関する情報など）を提供すると解釈されるかどうかによって、基数関数または順序関数として扱われます。

枢機卿

基数効用とは、消費から得られる効用は客観的に測定・順位付けが可能であり、数値で表すことができるという考え方です。^[5]基数効用には基本的な前提があります。経済主体は、自らの選好や効用に基づいて、異なる財の束を順位付けし、2つの財の束間の異なる遷移を分類できるはずです。^[6]

基数効用関数は、正の線形変換（正の数を掛けて他の数を加える）によって別の効用関数に変換することができます。しかし、どちらの効用関数も同じ選好を表します。^[7]

基数効用を仮定する場合、効用差の大きさは倫理的または行動的に重要な量として扱われます。例えば、オレンジジュース1杯の効用が120「ユーティル」、紅茶1杯の効用が80「ユーティル」、水1杯の効用が40「ユーティル」であるとします。基数効用の場合、オレンジジュース1杯は紅茶1杯よりも、紅茶1杯が水1杯よりも優れているのと同じ量だけ優れていると結論付けることができます。これは、ある人が紅茶1杯を飲む場合、ジュース1杯を得る確率pが0.5以上で、水1杯を得るリスクが1-pである賭けであれば、喜んで賭けることを意味します。しかし、紅茶1杯はジュース1杯の3分の2の良さしかないと結論付けることはできません。なぜなら、この結論は効用差の大きさだけでなく、効用が「ゼロ」であることにも依存するからです。例えば、効用の「ゼロ」が-40にあるとすると、オレンジジュース1杯はゼロより160ユーティル多く、紅茶1杯はゼロより120ユーティル多くなります。基数効用とは、身長、体重、気温といった定量化可能な特性で効用を測定できるという仮定です。

新古典派経済学は、経済行動の基礎として基数効用関数を用いることから大きく後退した。注目すべき例外は、リスクを伴う選択の分析という文脈である（下記参照）。

場合によっては、基数効用は、人々全体の効用を集計して社会福祉関数を作成するために使用されます。

序数

順序効用は、異なる商品やサービスのバンドルに対して実際の数値を示すのではなく、異なる商品やサービスのバンドルから得られる効用の順位付けのみを示します。^[5]例えば、順序効用は、アイスクリームを2つ食べると1つ食べるよりも個人にとってより大きな効用が得られることを伝えることができますが、個人がどれだけの追加効用を得たかを正確に伝えることはできません。順序効用では、個人が好む商品やサービスのバンドルから、他のバンドルと比較してどれだけの追加効用を得たかを明確にする必要はありません。必要なのは、どのバンドルを好むかを伝えることだけです。

順序効用が用いられる場合、効用値（効用関数が想定する値）の差は倫理的または行動的に無意味なものとして扱われます。効用指数は選択集合のメンバー間の行動順序を完全に符号化しますが、関連する選好の強さについては何も示しません。上記の例では、ジュースはお茶よりも水よりも好まれるとしか言えません。したがって、順序効用は「〜よりも好まれる」「〜以上ではない」「〜より少ない」などの比較を利用します。

関数が順序数かつ非負値である場合、関数と等価です。これは、平方をとることは単調増加（または単調）な変換であるためです。これは、これらの関数によって誘導される順序数の選好は同じであることを意味します（ただし、これらは2つの異なる関数です）。一方、が基数である場合、はと等価ではありません。 $u(x)$ $u(x)^{2}$ $u(x)$ $u(x)^{2}$

例

計算を簡素化するために、人間の好みの詳細に関してさまざまな代替仮定が立てられており、これらは次のようなさまざまな代替効用関数を暗示しています。

モデル化や理論に用いられる効用関数のほとんどは、振る舞いが良い。通常、単調で準凹関数である。しかし、合理的な選好が効用関数で表現できない場合もある。例えば、辞書式選好は連続的ではなく、連続的な効用関数では表現できない。^[8]

限界効用

経済学者は総効用と限界効用を区別します。総効用とは、選択肢、つまり消費全体、あるいは生活における状況の効用です。消費される財の量の変化による効用の変化率は、その財の限界効用と呼ばれます。したがって、限界効用とは、財の変化に対する効用関数の傾きを測るものです。^[9]限界効用は通常、財の消費とともに減少します。これは「限界効用逓減」の考え方です。微積分記法では、財Xの限界効用はとなります。財の限界効用が正の場合、その財の追加消費は効用を増加させます。ゼロの場合、消費者は満足しており、消費を増やすことに無関心です。負の場合、消費者は消費を減らすために支払うでしょう。^[10] $MU_{x}={\frac {\partial U}{\partial X}}$

限界効用逓減の法則

合理的な個人は、限界効用が増加する場合にのみ、財の追加単位を消費します。しかし、限界効用逓減の法則とは、追加で消費される財の限界効用は、それ以前の消費単位がもたらす限界効用よりも低くなることを意味します。例えば、喉の渇いた人は水を1本飲むと満足しますが、水の消費量が増えると気分が悪くなり始め、限界効用はゼロ、あるいはマイナスになる可能性があります。さらに、この法則は累進課税の分析にも用いられます。累進課税は税率の上昇によって効用が減少する可能性があるためです。

限界代替率（MRS）

限界代替率とは、無差別曲線の傾きの絶対値であり、個人がある財から別の財に切り替える意思があるかどうかを測る指標です。数式を用いると、U ( x ₁ , x ₂ )は一定となります。したがって、限界代替率は、個人がより多くの財x ₁を消費するために支払う意思のある金額です。 $MRS=-\operatorname {d} \!x_{2}/\operatorname {d} \!x_{1}$

MRSは限界効用と関連している。限界効用とMRSの関係は以下の通りである。^[9]

MRS={\frac {MU_{1}}{MU_{2}}}

期待効用

期待効用理論は、複数の（場合によっては多次元の）結果をもたらす リスクの高いプロジェクト間の選択の分析を扱います。

サンクトペテルブルクのパラドックスは、ニコラウス・ベルヌーイによって1713年に初めて提唱され、ダニエル・ベルヌーイによって1738年に解決されました。しかし、スイスの数学者ガブリエル・クラマーは、1728年にニコラウス・ベルヌーイに宛てた手紙の中で、貨幣の効用関数の期待値を平方根とすることを提案しました。D.ベルヌーイは、意思決定者がリスク回避を示し、対数基数効用関数を主張すれば、このパラドックスは解決できると主張しました。（21世紀の国際調査データの分析は、効用が幸福を表す限りにおいて、功利主義においては、効用は確かに所得の対数に比例することを示しました。）

期待効用理論の最初の重要な応用は、ジョン・フォン・ノイマンとオスカー・モルゲンシュテルンによるもので、彼らはゲーム理論の定式化において期待効用最大化の仮定を使用しました。

それぞれの可能性のある結果から効用値の確率加重平均を求める場合:

{\text{EU}}=\Pr(z)\cdot u({\text{Value}}(z))+\Pr(y)\cdot u({\text{Value}}(y))

フォン・ノイマン・モルゲンシュテルン

フォン・ノイマンとモルゲンシュテルンは、選択の結果が確実には分からないが、それに関連する確率がある状況に対処しました。

宝くじの表記法は次のとおりです。宝くじで選択肢AとBの確率がpと1 − pの場合、それを線形結合として書きます。

L=pA+(1-p)B

より一般的には、多くの選択肢がある宝くじの場合、次のようになります。

L=\sum _{i}p_{i}A_{i},

どこ。 $\sum _{i}p_{i}=1$

フォン・ノイマンとモルゲンシュテルンは、選択の振る舞い方についていくつかの合理的な仮定を立てることで、エージェントが宝くじを選択できる場合、このエージェントは、任意の宝くじの望ましさをその部分の効用の線形結合として計算できるような効用関数を持ち、重みは発生確率であることを示しました。

これは期待効用定理と呼ばれます。必要な仮定は、「単純くじ」（選択肢が2つだけのくじ）におけるエージェントの選好関係の特性に関する4つの公理です。「AはBよりも弱く好まれる」（「Aは少なくともBと同じくらい好まれる」）という意味で書くと、これらの公理は次のようになります。 $B\preceq A$

完全性: 任意の 2 つの単純な宝くじとについて、またはのいずれか(または両方。その場合、どちらも同様に望ましいものと見なされます)。 $L$ $M$ $L\preceq M$ $M\preceq L$
推移性: 任意の 3 つの宝くじについて、かつであれば。 $L,M,N$ $L\preceq M$ $M\preceq N$ $L\preceq N$
凸性/連続性（アルキメデスの性質）：の場合、とが同等に望ましい0 と 1 の間にが存在します。 $L\preceq M\preceq N$ $p$ $pL+(1-p)N$ $M$
独立性: 任意の3つの宝くじと任意の確率pに対して、の場合に限ります。直感的に、との確率的組み合わせによって形成される宝くじが、との同じ確率的組み合わせによって形成される宝くじよりも好ましくない場合、の場合に限ります。 $L,M,N$ $L\preceq M$ $pL+(1-p)N\preceq pM+(1-p)N$ $L$ $N$ $M$ $N,$ $L\preceq M$

公理 3 と 4 により、2 つの資産または宝くじの相対的な効用を判断できるようになります。

より正式な言葉で言えば、フォン・ノイマン・モルゲンシュテルンの効用関数は、選択肢から実数への関数である。

u\colon X\to \mathbb {R}

これは、エージェントが単純な宝くじよりも好む選好度を表す実数を、あらゆる結果に割り当てます。上記の4つの仮定を用いると、エージェントが宝くじよりも宝くじを好むのは、そのエージェントを特徴付ける効用関数において、の期待効用がの期待効用よりも大きい場合のみです。 $L_{2}$ $L_{1}$ $L_{2}$ $L_{1}$

L_{1}\preceq L_{2}{\text{ iff }}u(L_{1})\leq u(L_{2})

。

あらゆる公理の中で、独立性は最も頻繁に無視される。様々な一般化期待効用理論が生まれてきたが、そのほとんどは独立性公理を省略あるいは緩和している。

間接的な効用

間接効用関数は、商品の価格と個人が保有する収入または富のレベルに応じて、特定の効用関数の達成可能な最適値を示します。

お金

間接効用概念の一つの用途は、貨幣の効用という概念である。貨幣の（間接）効用関数は、原点を中心として有界かつ非対称な非線形関数である。この効用関数は正の領域で凹型となり、限界効用逓減現象を表す。この有界性は、ある時点における経済規模自体が有界であるため、ある金額を超えると貨幣は全く役に立たなくなるという事実を表す。原点を中心として非対称であることは、貨幣の獲得と損失が個人と企業の両方にとって根本的に異なる影響を持つ可能性があるという事実を表す。貨幣の効用関数の非線形性は、意思決定プロセスに深い意味合いを持つ。選択の結果が貨幣の獲得または損失によって効用に影響を与える状況（これはほとんどのビジネス環境では一般的である）では、ある決定における最適な選択は、同じ期間における他のすべての決定の可能な結果に依存する。^[11]

予算の制約

個人の消費は、その予算限度額によって制約されます。予算線のグラフは、X軸とY軸を結ぶ直線で、下向きに傾斜します。予算線の下の消費バンドルはすべて、総予算がバンドルの総費用よりも大きいため、個人が予算全体を使い切ることなく消費することを可能にします。1つのバンドルに含まれる2つの財の価格と数量のみを考慮する場合、予算制約線はとで表すことができます。ここで、とは2つの財の価格、は2つの財の数量です。 $p_{1}X_{1}+p_{2}X_{2}=Y$ $p_{1}$ $p_{2}$ $X_{1}$ $X_{2}$

{\text{slope}}={\frac {-P(x)}{P(y)}}

制約付き効用最適化

合理的な消費者は効用を最大化したいと考えています。しかし、予算に制約があるため、価格の変化は需要量に影響を与えます。この状況を説明できる要因は2つあります。

購買力。商品の価格が下がると、個人の購買力は高まります。価格が下がると、個人は貯蓄を増やし、他の商品を購入する余裕が生まれます。
代替効果。財Aの価格が下がると、財Aは代替品と比較して相対的に安くなります。したがって、個人は財Aをより多く消費するでしょう。なぜなら、そうすることで効用が増加するからです。

効用に関する個人間比較

効用における個人間比較の概念とは、複数の個人における満足度または幸福度を評価し、各個人が経験する効用（幸福または便益）の相対的なレベルを決定することを指します。この概念は経済学において広く問題視されています。主観的幸福度には客観的な指標が欠如しており、個人間の直接的な測定と比較が本質的に困難だからです。^[12]

課題

主な課題は、他者の内面的な思考や感情を直接観察したりアクセスしたりすることができないことであり、特定の状況においてある人が他の人よりも大きな効用を経験しているかどうかを客観的に判断することは不可能である。^[13]^[14]

規範的側面

個人間の効用を比較することは、通常、「幸福」や「幸せ」の本質に関する主観的な判断や倫理的な仮定に依存するため、そのような分析は純粋に経験的なものではなく、本質的に規範的なものになります。^[14]

制限にもかかわらず応用

固有の困難にもかかわらず、一部の経済理論、特に福祉経済学においては、政策が異なる人口集団に与える影響を評価するために、個人間の効用比較が取り入れられています。しかしながら、このような分析は、通常、大きな留意点と方法論的限界を伴って行われています。^[15]

対人効用比較の種類

効用水準：対人効用比較は広く議論されており、多くの経済学者や哲学者は、他者の精神状態を完全に理解できないため、そのような比較は信頼できないと主張している。絶対的な効用水準の比較と個人間の効用差の間には重要な違いがある。功利主義は社会福祉関数を最適化するために効用差の比較可能性に依存するのに対し、ロールズのマキシミン原理は絶対的な効用水準の比較可能性に依存する。対人効用比較がどの程度妥当とみなされるかは、効用関数を順序主義的に解釈するか、基数主義的に解釈するかによって左右される。^[12]
効用差：効用差とは、個人間の効用水準の測定可能な差異、特に幸福度の変化を知覚する能力との関連を指します。心理学的研究によると、人間の感受性には限界があり、効用における小さな差異は認識されない可能性があります。フランシス・エッジワースやジェレミー・ベンサムといった経済学者によって探求されたこの概念は、「ちょうど知覚できる」効用の変化が個人間の比較の単位となり得るという考えを支えています。弱い多数派選好基準（WMP）は、人口の少なくとも半数の選好に影響を与える効用差を優先することで、個人間の効用比較をサポートします。この原則は、社会福祉が個人の効用を加重せずに合計することによって決定される、功利主義的な社会福祉関数につながります。^[15]

批判

効用とは、個人の価値観、経験、状況などによって個人間で異なる主観的な満足度尺度です。文化的背景、心理的要因、社会経済的条件は、効用がどのように認識されるかに影響を与えます。この変動性は経済分析を複雑にし、効用は客観的に測定したり、異なる個人間で直接比較したりすることはできません。^[13]

効用は本質的に主観的であるため、客観的に定量化し、個人の幸福度を比較することは不可能であると主張されています。個人の嗜好、認識、状況の違いにより、普遍的な測定基準を確立することは困難です。その結果、個人間の効用比較に依拠する経済理論は、方法論的および哲学的に大きな課題に直面しています。^[13]

対人効用比較は、ある個人の幸福が他の個人の幸福よりも本質的に価値があることを示唆する場合には倫理的問題を引き起こす可能性があると主張する人もいる。^[16]

議論と批判

ケンブリッジ大学の経済学者ジョーン・ロビンソンは、効用が循環的な概念であると批判したことで有名である。「効用とは、個人が商品を買いたくなるような品質のことであり、個人が商品を買いたがるという事実は、効用があるということを示している」^[17]^{: 48}ロビンソンはまた、この理論では選好は固定されていると仮定しているため、効用は検証可能な仮定ではないと述べた。これは、価格の変化や予算制約の変化に関連して人々の行動の変化を観察しても、その行動の変化がどの程度価格の変化や予算制約の変化によるもので、どの程度選好の変化によるものかを確信できないためである。^[18]^{[信頼できない情報源]}この批判は、限界需要理論が依拠しているceteris paribus (他のすべての条件が等しい) という条件によって、この理論自体が実験的に検証できない無意味な同語反復になっていると主張した哲学者ハンス・アルベルトの批判と似ている。^[19]^[^{信頼できない情報源}^]本質的に、需要と供給の曲線（特定の価格で提供または要求される製品の理論的な数量線）は純粋に存在論的なものであり、経験的に証明することは決してできなかった^[^疑わしい^-^議論する^]。

効用関数にどのような議論を含めるべきかという他の問いは答えるのが難しいが、効用を理解するためには必要不可欠であるように思われる。人々が欲求、信念、あるいは義務感の一貫性から効用を得るかどうかは、効用器官における人々の行動を理解する上で重要である。^[20]同様に、選択肢の中から選択すること自体が、何を選択肢として考慮するかを決定するプロセスであり、不確実性の中での選択の問題である。^[21]

進化心理学の理論によれば、効用は、必ずしも現在の環境ではなく、祖先の環境における進化適応度を最大化する選好によるものと考えた方がよいだろう。 ^[22]

効用関数の測定

貨幣に関するエージェントの効用関数の形を推定しようとする実証研究は数多くある。^[23]

参照

幸福経済学
需要の法則
効用最大化問題- 市場において消費者が直面する問題：与えられた予算内で効用を最大化する方法。
効用評価- 被験者の効用関数を推定するプロセス。

参考文献

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外部リンク

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Investopediaによる効用の定義
3Dにおけるコブ・ダグラス型効用関数の解剖
3DにおけるCES型ユーティリティ関数の解剖
Investopediaの例を使ったよりシンプルな定義
オリジナリティの最大化 - 古典的な実用性の再定義
実用新案マーケティング - フォーム Archived 9 November 2015 at the Wayback Machine , Place Archived 12 November 2015 at the Wayback Machine , Time

2015年10月30日アーカイブ、Wayback Machine、所有、そしておそらくタスク