ヴェルサー

数学 において、バーサーとはノルム1の四元数であり、単位四元数とも呼ばれる。各バーサーは以下の形をとる。

${\displaystyle u=\exp(a\mathbf {r} )=\cos a+\mathbf {r} \sin a,\quad \mathbf {r} ^{2}=-1,\quad a\in [0,\pi ],}$

ここで、r ² = −1 の条件は、rが虚数単位であることを意味します。四元数には虚数単位の球面が存在します。ベルソルの表現は、虚数単位rに対するオイラーの公式に等しいことに注意してください。a = π/2（直角）の場合、 となり、右ベルソルと呼ばれます。 ${\displaystyle u=\mathbf {r} }$

このマッピングは3次元回転に対応し、軸-角度表現では軸rの周りの角度2aを持ちます。 ${\displaystyle q\to u^{-1}qu}$

四元数の乗算を伴うベルソルのコレクションは、グループを形成し、4 次元四元数代数では 3 球面として現れます。

3次元球面と2次元球面に関するプレゼンテーション

弧AB + 弧BC = 弧AC

ハミルトンは四元数qのバーサーを記号U qで表した。そして、一般の四元数を極座標形式で表示できた。

q = T q U q、

ここで、T qはqのノルムです。バーソルのノルムは常に 1 に等しいため、の単位3 球面を占めます。バーソルの例には、四元数群の 8 つの要素が含まれます。特に重要なのは、角度 π/2を持つ右バーソルです。これらのバーソルはスカラー部分がゼロで、長さ 1 のベクトル(単位ベクトル) もゼロです。右バーソルは、四元数代数で-1 の平方根の球面を形成します。生成元i、j、k は、右バーソルの例であり、それらの加法逆も同様です。その他のバーソルには、ノルムが 1 で24 セルのポリクロロンの頂点を形成する24 個のHurwitz 四元数があります。 ${\displaystyle \ \mathbb {H} \ }$

ハミルトンは、四元数を 2 つのベクトルの商として定義しました。ベルソルは、2 つの単位ベクトルの商として定義できます。任意の固定平面 Πについて、 Πにある 2 つの単位ベクトルの商は、それらの間の角度（有向）のみに依存し、上で説明したベルソルの単位ベクトル–角度表現の場合と同じです。そのため、対応するベルソルを、単位ベクトルのペアを接続し、平面 Π が原点を通過する単位球面 と交差して形成される大円上にある有向弧として理解するのが 自然です。同じ方向と長さ（または、ラジアンで同じ範囲の角度）の弧は等角であり、同じベルソルに対応します。^[1]

このような弧は、三次元空間に存在するものの、ヴェルサーとの挟み込み積で記述されるような点の回転経路を表すものではありません。実際には、これは四元数に対するヴェルサーの左乗算作用を表し、平面 Π とそれに対応する3次元ベクトルの大円を保存します。ヴェルサーによって定義される三次元回転は、弧の内角の2倍の角度を持ち、同じ平面を保存します。これは、Πに垂直な対応するベクトルrを中心とした回転です。

3つの単位ベクトルについて、ハミルトンは次のように書いている^[2]

${\displaystyle q=\beta :\alpha =OB:OA\quad }$ そして

${\displaystyle q'=\gamma :\beta =OC:OB\quad }$ 暗示する

${\displaystyle q'q=\gamma :\alpha =OC:OA~.}$

大円弧の一般的な三角形は、ベルソルの積として解釈できる。

ベルソルの乗算は、単位球面上の大円弧の（非可換な）「加算」に対応する。任意の大円のペアは、同一の円であるか、2つの交点を持つ。したがって、点Bとそれに対応するベクトルをこれらの点のいずれかに移動させることで、2番目の弧の始点が1番目の弧の終点と一致するようにすることができる。

楕円幾何学や3次元空間における回転をベルソルで表現できるのは、因子の媒介変数表現によるものです。例えば、角a、b、cを大文字の頂点の対辺とする球面三角形ABCを考えてみましょう。三角形の各辺の平面に垂直な単位ベクトル、例えばr、s、tを用います。すると、三角形の各辺はベルソルで表される大円弧と等辺になります。

${\displaystyle arcAB=\exp(cr),\quad arcBC=\exp(as),\quad arcAC=\exp(bt)}$ は、 r、s、tの平方が-1なので、それぞれオイラーの公式によって展開されます。なので、ベルサー積は球面弧の加算に相当します。${\displaystyle \exp(bt)=\exp(cr)\times \exp(as)}$

楕円空間の幾何学は、ベルソル空間として説明されてきた。^[3]

SO(3)の表現

3次元の直交群である回転群SO(3)は、 uがバーソルである ときの内部自己同型 を介してバーソルで解釈されることが多い。実際、${\displaystyle \ q\mapsto u^{-1}q\ u\ }$

${\displaystyle \ u=\exp(a\ \mathbf {r} )}$ そしてベクトルsはrに垂直であり、

それから

${\displaystyle u^{-1}\mathbf {s} \ u=\mathbf {s} \ \cos(2a)+\mathbf {s} \ \mathbf {r} \ \sin(2a)\ }$

計算により^[4]平面はと同型であり、内部自己同型は可換性により、そこにおける恒等写像に帰着する。四元数は2次元複素環として解釈できるため、回転作用は特殊ユニタリ群SU(2)を通して見ることもできる。 ${\displaystyle \ \{\ x+y\ \mathbf {r} \ :\ (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ \}\subset \mathbb {H} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {C} \ }$

固定されたrに対して、 の形をしたバーソルは、円群と同型な部分群を形成する。この部分群の左乗法作用の軌道は、2次元球面上の繊維束の繊維であり、 r = iの場合にホップ繊維化として知られる 。他のベクトルは同型ではあるが、同一ではない繊維化を与える。Lyons (2003) は、ホップ繊維化を単位四元数への写像として説明するために、四元数への初歩的な入門を与えている。彼は「ホップ写像の繊維は S ³ 内の円である」と記している。^[5]${\displaystyle \ \exp(a\ \mathbf {r} )\ }$ ${\displaystyle \ a\in \left(-\pi ,\pi \ \right]\ ,}$

ヴェルソルは、四元数の乗算によるブロッホ球面の回転を表すために使用されています。^[6]

楕円空間

ベルソルの機能は、楕円幾何学、特に回転の3次元領域である楕円空間を示しています。ベルソルはこの楕円空間の点ですが、 4次元ユークリッド空間での回転を指します。2つの固定ベルソルuとvが与えられた場合、マッピングは楕円運動です。固定ベルソルの1つが1の場合、運動は楕円空間のクリフォード変換であり、この空間の提唱者であるウィリアム・キングドン・クリフォードにちなんで名付けられました。ベルソルuを通る楕円直線は、空間内の平行性はクリフォード平行線によって表現されます。楕円空間を表示する方法の1つは、ケイリー変換を使用してベルソルを${\displaystyle \ q\mapsto u\ q\ v\ }$ ${\displaystyle \ \{\ u\ \exp(a\ \mathbf {r} )\ :\ 0\leq a<\pi \ \}~.}$ ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{3}~.}$

サブグループ

すべてのバーソルの集合は、それらの乗法を四元数として、連続群 Gを形成する。固定された右バーソルのペアに対して、 は円群と同型な1パラメータ部分群である。 ${\displaystyle \ \{-\mathbf {r} ,+\mathbf {r} \ \}\ }$ ${\displaystyle \ G_{1}=\{\ \exp(a\ \mathbf {r} )\ :\ a\in \mathbb {R} \ \}\ }$

次に四元数群Q ₈を超える有限部分群を考える: ^{[7] [8]}

ハーヴィッツが指摘したように、16個の四元数はすべてノルム1を持つため、 Gに属する。Q ₈と合わせると、これらの単位ハーヴィッツ四元数は位数24の群G _{2を形成し、これは}二元四面体群と呼ばれる。群の元は S ^{3上の点としてとられ、} 24個のセルを形成する。 ${\displaystyle \ {\tfrac {\ 1\ }{2}}\left(\pm \mathbf {1} \pm \mathbf {i} \pm \mathbf {j} \pm \mathbf {k} \right)\ }$

24 セルのビットランケーションのプロセスにより、 G上の48 セルが得られ、これらのベルソルはバイナリ八面体グループとして増殖します。

もう 1 つのサブグループは、 2 元 20 面体グループと同じように増殖する120個の 20 面体によって形成されます 。

双曲バーサー

双曲型バーソルは、四元数バーソルをローレンツ群のような不定直交群に一般化したものである。これは、以下の形で表される量として定義される。

${\displaystyle \exp(a\mathbf {r} )=\cosh a+\mathbf {r} \sinh a~~}$ どこ${\displaystyle ~~\mathbf {r} ^{2}=+1~.}$

このような元は、例えば分割複素数や分割四元数といった分割代数において現れる。双曲型バーサーを初めて提供したのは、1848年にジェームズ・コックルが発見したテッサリン代数であった。実際、コックルはテッサリンに新しいタイプの虚数元が含まれていることを発見した際に、上記の式（rの代わりにjを使用）を書いた。

このバーサーは、ホーマーシャム・コックス（1882/1883）によって四元数の乗算に関連して用いられた。 ^{[9] [10]}双曲型バーサーの主な提唱者はアレクサンダー・マクファーレンであり、彼は四元数理論を物理科学に役立てようと尽力した。^[11]彼は、分割複素数平面上で動作する双曲型バーサーのモデリング能力に着目し、1891年に双曲型四元数を導入してその概念を4次元空間に拡張した。この代数における問題が、1900年以降に双四元数の使用につながった。広く読まれているレビューの中で、マクファーレンは次のように書いている。

...二次方程式の根は、本質的にバーサー（versor）である場合もあれば、本質的にスカラー（scalar）である場合もある。もしバーサーの性質を持つ場合、根号の影響を受ける部分は、基準面に対して垂直な軸を含む。これは、根号がマイナス1の平方根を含むかどうかに関わらず当てはまる。前者の場合、バーサーは円状であり、後者の場合、バーサーは双曲状である。^[12]

今日では、ソフス・リーの用語がハミルトンとマクファーレンの用語に取って代わったため、 1パラメータ群の概念はバーソルと双曲型バーソルの概念を包含している。特に、rr = +1またはrr = −1となる各rについて、写像は実数直線を双曲型または通常のバーソルの群へと導く。通常の場合、rと− r が球面上の対蹠体であるとき、1パラメータ群は同じ点を持つが、向きが逆になる。物理学では、回転対称性のこの側面は二重項と呼ばれる。 ${\displaystyle a\mapsto \exp(a\,\mathbf {r} )}$

ロブ（1911）は、参照フレームの変化を規定するパラメータラピディティを定義した。このラピディティパラメータは、双曲型バーサーの1パラメータ群における実変数に対応する。特殊相対論のさらなる発展に伴い、双曲型バーサーの作用はローレンツブーストと呼ばれるようになった。^[13]

嘘理論

ハミルトンが初めて四元数を記述した時、ソフス・リーは生後1歳にもなっていなかったが、リーの名は指数法によって生成されるすべての群と結び付けられるようになった。ベルソルとその乗法の集合は、ギルモア（1974）によってSl(1,q)と表記された。^[14] Sl(1,q)は四元数上の1次元の特殊線型群であり、「特殊」はすべての要素がノルム1であることを示す。この群は特殊ユニタリ群であるSU(2,c)と同型である。四元数とベルソルは群論において時代遅れと見なされることがあるが、このためこの名称は頻繁に用いられる。三次元回転の特殊直交群SO(3,r)は密接に関連しており、SU(2,c)の2:1準同型像である。

この部分空間は、ベルソル群のリー代数と呼ばれる。交換子積は、2つのベクトルの外積を2倍したものに過ぎず、リー代数における乗算演算を形成する。SU(1,c)およびSO(3,r)との密接な関係は、それらのリー代数の同型性から明らかである。^[14]${\displaystyle \ \{\ xi+yj+zk\ :\ x,y,z\in \mathbb {R} \ \}\subset \mathbb {H} \ }$ ${\displaystyle [u,v]=uv-vu\ ,}$

双曲型バーソルを含むリー群には単位双曲線上の群と特殊ユニタリ群SU(1,1)が含まれる。

語源

この語はラテン語のversari（「回す」）に接尾辞-orが付き、動詞から名詞（例えばversor ＝「回す人」）を形成した言葉に由来する。1840年代にウィリアム・ローワン・ハミルトンが四元数理論の文脈で導入した。

幾何代​​数学におけるヴェルソル

幾何代​​数におけるバーサーと他の要素の関係

「バーサー」という用語は幾何代数学において一般化され、可逆ベクトルの積として表現できる代数要素を指す。^{[15] [16]}${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R=v_{1}v_{2}\cdots v_{k}}$

四元数バーサーがマッピングを伴う四元数の回転を表すために使用できるのと同様に、幾何代数のバーサーはマッピングを伴う代数のメンバーの反射の結果を表すために使用できます。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q\mapsto u^{-1}qu}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\mapsto (-1)^{k}RAR^{-1}}$

回転は 2 つの反射の結果であると考えられるため、四元数バーサーは3 つの実次元の幾何学代数における2 バーサーとして識別できることがわかります。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle R=v_{1}v_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$

ハミルトンの定義とは異なり、多重ベクトル・バーソルは単位ノルムを持つ必要はなく、単に可逆であればよい。しかしながら、正規化は依然として有用なので、幾何代数において、 の場合にはバーソルを単位バーソルと指定するのが便利である。ここで、チルダはバーソルの 反転を表す。${\displaystyle R{\tilde {R}}=\pm 1}$

参照

• cis（数学）（cis( x ) = cos( x ) + i sin( x )）
• 四元数と空間回転
• 4次元ユークリッド空間における回転
• ターン（幾何学）

参考文献

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6. Wharton, KB; Koch, D. (2015). 「単位四元数とブロッホ球面」. Journal of Physics A. 48 ( 23). arXiv : 1411.4999 . Bibcode :2015JPhA...48w5302W. doi :10.1088/1751-8113/48/23/235302. MR  3355237
7. Stringham, I. (1881). 「有限四元数群の決定」. American Journal of Mathematics . 4 ( 1–4 ): 345– 357. doi :10.2307/2369172. JSTOR  2369172.
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13. Robb, A. (1911).光学的運動幾何学.
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出典

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• ハミルトン、WR (1844–1850). 「四元数について、あるいは代数学における虚数系の新しい体系について」. Philosophical Magazine – ダブリン、トリニティ・カレッジ、デイヴィッド・R・ウィルキンス・コレクションより。
• ハミルトン, WR (1899). ジョリー, チャールズ・ジャスパー (編).四元数の要素（第2版）. ロングマンズ・グリーン・アンド・カンパニー. pp.  135– 147.
• ハーディ, AS (1887). 「球面弧によるベルソルの表現」. 『四元数原論』pp.  71– 72.

ハーディ, AS (1887). 「球面三角法への応用」.四元数原論. pp.  112– 118.

• Hathaway, AS (1896). 「第2章：回転、回転、円弧ステップ」(PDF) .四元数入門–プロジェクト・グーテンベルク経由.
• ヘステネス、デイヴィッド、ソブチク、ギャレット (1984).クリフォード代数から微積分まで：数学と物理学のための統一言語. シュプリンガー・オランダ. ISBN 978-90-277-1673-6。
• ピーター、モーレンブルック (1891)。 「Darstellung der Versoren mittelst Bogen auf der Einheitskugel [単位球上の円弧によるヴァーサーの表現 ]」。Theorie der Quaternionen [四元数理論] (ドイツ語)。ライデン、ニュージャージー州: 素晴らしいです。 p. 48.
• シルバ、シベレ・セレスティーノ；デ・アンドラーデ・マルティンス、ロベルト（2002）「極ベクトルと軸ベクトルと四元数」アメリカ物理学会誌70 （ 9）：958.書誌コード：2002AmJPh..70..958S. doi：10.1119/1.1475326.

セクション IV: 四元数系におけるバーソルとユニタリベクトル。

セクション V: ベクトル代数におけるバーソルとユニタリベクトル。

外部リンク

• 数学百科事典の Versor 。
• Luis Ibáñez Quaternion tutorial アーカイブ 2012-02-04ウェイバックマシンより国立医学図書館より