ラジアン

ラジアンは、記号radで表され、国際単位系（SI）における角度の単位であり、数学の多くの分野で用いられる標準的な角度測定単位である。1ラジアンは、平面円の中心を半径に等しい長さの弧が囲む角度と定義される。 ^[1]この単位は、SIにおいて平面角および位相角の統一単位として定義されている。^[2]明示的に単位が指定されていない角度は、特に数学的な記述においては、一般的にラジアンで測定されるものとみなされる。^[3]

意味

1ラジアンは、円の半径に等しい長さの弧によって囲まれた平面上の円の中心における角度として定義されます。^[4]より一般的には、内角のラジアンで表された大きさは、円の半径に対する弧の長さの比に等しくなります。つまり、 $θ = s / r$ です。ここで、 $θ$ は内角のラジアンで表された大きさ、 $s$ は弧の長さ、 $r$ は半径です。直角は正確に $π/2$ ラジアンです。^[5]

1回転は、角度 $を$ ラジアンで表すと、円周の長さを半径で割った値で、 $2 π r / r$ 、つまり $2 π$ となります。したがって、 $2 πラジアンは360度に等しくなります。2$ $π$ $rad = 360°$ という関係は、円弧の長さの公式、⁠ ⁠を使用して導くことができます。ラジアンは、円の半径に等しい長さの円弧によって囲まれる角度の尺度であるため、⁠ ⁠ 。これはさらに⁠ ⁠と簡略化できます。両辺に $360°を掛けると$ $、360° = 2$ $π$ $rad$ となります。 $\textstyle \ell _{\text{arc}}=2\pi r\left({\tfrac {\theta }{360^{\circ }}}\right)$ $\textstyle 1=2\pi \left({\tfrac {1{\text{ rad}}}{360^{\circ }}}\right)$ $\textstyle 1={\tfrac {2\pi {\text{ rad}}}{360^{\circ }}}$

単位記号

国際度量衡局^[6]と国際標準化機構^[7]は、ラジアンの記号としてradを規定しています。1909年に使用されていた代替記号としては、 ^c（上付き文字cは「円周測定」の意）、文字r、または上付き文字^R [ ^8]がありましたが、これらの異形は度記号（°）や半径記号（r）と誤認される可能性があるため、あまり使用されていません。したがって、1.2ラジアンの角度は今日では1.2 radと表記されます。古い表記法には、1.2 r、1.2 ^rad、1.2 ^c、または1.2 ^Rなどがあります。

数学的な記述では、記号「rad」はしばしば省略されます。記号がない場合に角度を表す場合はラジアンが使用され、度を表す場合は度記号 °が使用されます。

次元解析

$平面角はθ = s / r$ と定義されます。ここで、 $θ$ はラジアンで表した角度の大きさ、 $s$ は円弧の長さ、 $rは半径です。 1 ラジアンは$ $s = r$ となる角度に対応するため、 $1 ラジアン = 1 m/m = 1$ となります。^[9]ただし、 $rad$ は角度を表すためにのみ使用され、一般に長さの比を表すために使用されません。^[10]円扇形の面積 $θ = 2 A / r 2$ を使用した同様の計算では、1 ラジアンは 1 m ² /m ² = 1となります。 ^[11]重要な事実は、ラジアンが1に等しい無次元単位であることです。 SI 2019 では、 SI ラジアンはそれに応じて1 rad = 1と定義されています。^[12] $rad = 1$ を使用することは、数学や科学のすべての分野で長年確立された慣習です。^[13]^[14]

ジャコモ・プランドは、「現状では、物理方程式の次元解析において、ラジアンが幽霊のように現れたり消えたりする現象が避けられない」と述べている。^[15]例えば、滑車に紐で吊るされた物体は、 $y = rθ$ センチメートルだけ上昇または下降する。ここで、 $r$ は滑車の半径の大きさ（センチメートル）、 $θ$ は滑車が回転する角度の大きさ（ラジアン）である。rと $θ$ $を$ 掛け合わせた値には、ラジアンの単位もセンチメートルの単位も現れない。なぜなら、どちらの係数も大きさ（数値）だからである。同様に、転がる車輪の角速度の式 $ω = v / r$ $においても、ラジアンはω$ の単位には現れるが、右辺には現れない。^[16]アンソニー・フレンチはこの現象を「力学教育における永遠の課題」と呼んでいる。^[17]オーバーホファーは、次元解析中にラジアンを無視し、慣習や文脈的知識に従って単位でラジアンを追加または削除するという典型的なアドバイスは「教育的に満足のいくものではない」と述べています。^[18]

1993年にアメリカ物理教師協会のメートル法委員会は、角度（rad）、角速度（rad/s）、角加速度（rad / s ^{2 ）、}ねじり剛性（N⋅m/rad）などの他の角度の尺度を使用した場合に異なる数値が得られる場合にのみ、ラジアンを明示的に数量に使用し、トルク（N⋅m）や角運動量（kg⋅m ² /s）には使用しないことを規定しました。^[19]

1936年から2022年の間に、少なくとも12人の科学者が、「平面角」という基本量（および次元）の測定単位としてラジアンを扱う提案を行ってきました。[ 20 ] ^[^21]^[22]クインシーによる提案のレビューでは、2種類の提案が概説されています。最初の選択肢は、半径の単位をメートル/ラジアンに変更することですが、これは円の面積 $π$ $r$ $2$ の次元解析と両立しません。もう1つの選択肢は、次元定数を導入することです。クインシーによると、このアプローチはSI法に比べて「論理的に厳密」ですが、「多くの馴染みのある数学的および物理学的方程式の修正」が必要になります。^[23]角度の次元定数は「かなり奇妙」であり、次元定数を追加するために方程式を修正することの難しさから、広範な使用は妨げられる可能性があります。^[22]

特に、クインシーは、定数 ε ₀の導入と同様に、1逆ラジアン（1 rad ^{−1 ）に等しい定数} $η$ を導入するというトーレンスの提案を指摘している。^[23]^[a]この変更により、円の中心を向く角度の式 $s$ $=$ $rθは$ $s$ $=$ $ηrθ$ と修正され、角度 $θ$ の正弦のテイラー級数は次のように表される。^[22]^[24] ここで、はラジアン単位の角度である。大文字で表記された関数 $Sin$ は、角度の次元を持つ引数を取り、表現される単位に依存しない「完全な」関数である。 ^[24]一方、 $sin$ は、引数がラジアン単位の無次元数であると仮定する、純粋数に対する伝統的な関数である。 ^[25]完全な形式を意味することが明らかな場合は、大文字で表記してもよい。 ^[22]^[26] $\operatorname {Sin} \theta =\sin \ x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\eta \theta -{\frac {(\eta \theta )^{3}}{3!}}+{\frac {(\eta \theta )^{5}}{5!}}-{\frac {(\eta \theta )^{7}}{7!}}+\cdots ,$ $x=\eta \theta =\theta /{\text{rad}}$ $\operatorname {Sin}$ $\sin$

$現在のSI単位系は、この枠組みに相対的に、 η$ $= 1 、あるいは同様に$ 1 rad = 1が成り立つと仮定した自然単位系とみなすことができます。このラジアンの慣習により、数式において $η$ を省略することが可能になります。 ^[27]

ラジアンを基本単位として定義することは、方程式が長くなるデメリットが最小限であるソフトウェアにとっては有用である。^[28]例えば、Boost単位ライブラリは角度の単位をplane_angle次元で定義しており、^[29]Mathematicaの単位系も同様に角度を角度次元として扱っている。^[30]^[31]

コンバージョン

度の間

前述の通り、1ラジアンは⁠ ⁠ ${180^{\circ }}/{\pi }$ に等しいです。したがって、ラジアンを度に変換するには、⁠ ⁠ ${180^{\circ }}/{\pi }$ を掛けます。

{\text{angle in degrees}}={\text{angle in radians}}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}

例えば：

1{\text{ rad}}=1\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57.2958^{\circ }

2.5{\text{ rad}}=2.5\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 143.2394^{\circ }

{\frac {\pi }{3}}{\text{ rad}}={\frac {\pi }{3}}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}=60^{\circ }

逆に、度からラジアンに変換するには、を掛けます。 ${\pi }/{180}{\text{ rad}}$

{\text{angle in radians}}={\text{angle in degrees}}\cdot {\frac {\pi }{180}}{\text{ rad}}

例えば：

1^{\circ }=1\cdot {\frac {\pi }{180}}{\text{ rad}}\approx 0.0175{\text{ rad}}

23^{\circ }=23\cdot {\frac {\pi }{180}}{\text{ rad}}\approx 0.4014{\text{ rad}}

ラジアンを回転数に変換するには、ラジアン数を 2 $π$ で割ります (1 回転は 1 回転に相当する角度です) 。

グラジアン間

1回転はラジアンの角度に相当し、これは1回転に相当し、400グラジアン（400 ゴンまたは400g ^{）に相当します。ラジアンからグラジアンに変換するには}⁠ ⁠を掛け、グラジアンからラジアンに変換するにはを掛けます。例えば、 $2\pi$ $200^{\text{g}}/\pi$ $\pi /200{\text{ rad}}$

1.2{\text{ rad}}=1.2\cdot {\frac {200^{\text{g}}}{\pi }}\approx 76.3944^{\text{g}}

50^{\text{g}}=50\cdot {\frac {\pi }{200}}{\text{ rad}}\approx 0.7854{\text{ rad}}

使用法

数学

微積分学や実用幾何学以外のほとんどの数学分野では、角度はラジアンで測定されます。これは、ラジアンが数学的に自然であり、いくつかの重要な結果をより簡潔に定式化できるためです。

三角関数の解析結果は、関数の引数をラジアンで表すことで簡潔に表すことができます。例えば、ラジアンを使用すると、次のような簡単な極限式が得られます。

\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin h}{h}}=1,

これは数学における他の多くの恒等式の基礎であり、

{\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sin x=-\sin x.

これらの性質やその他の性質のため、三角関数は、その幾何学的な意味とは明らかに関連しない数学的問題の解（例えば、微分方程式 ⁠ ⁠の解、積分 ${\tfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-y$ ⁠ ⁠ $\textstyle \int {\frac {dx}{1+x^{2}}}$ の評価など）に現れることがあります。このような場合、関数の引数は角度を考慮せずに（無次元の）数として扱うのが適切です。

角度の三角関数も、ラジアンを用いると、単純かつ簡潔な級数展開が可能です。例えば、角度をラジアンで表した値をxとすると、 sin xのテイラー級数は次のようになります。

\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots .

y が角度xであるが度で表現された場合、つまりy = $π$ x / 180の場合、その級数には $π$ /180 の累乗を含む厄介な因数が含まれます。

\sin y={\frac {\pi }{180}}x-\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{3}\ {\frac {x^{3}}{3!}}+\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{5}\ {\frac {x^{5}}{5!}}-\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{7}\ {\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots .

同様に、角度が関係する場合、正弦関数と余弦関数と指数関数（例えばオイラーの公式を参照）の間の数学的に重要な関係は、関数の引数がラジアンで表された角度であれば簡潔に記述できます（そうでない場合は複雑になります）。より一般的には、複素数論では、これらの関数の引数は（無次元、場合によっては複素数の）数であり、物理的な角度とは一切関係ありません。

物理

物理学では、角度の測定が必要な場合にラジアンが広く用いられます。例えば、角速度は通常、ラジアン毎秒（rad/s）という単位で表されます。1秒間に1回転は、 $2π$ ラジアン毎秒に相当します。

同様に、角加速度に使用される単位は、多くの場合、ラジアン/秒/秒 (rad/s ² ) です。

次元解析の目的で、角速度と角加速度の単位はそれぞれ s ⁻¹と s ⁻²です。

同様に、2つの波の位相角差もラジアンを単位として表すことができます。例えば、2つの波の位相角差が( n ×2π $)$ ラジアン（nは整数）の場合、それらは同位相であるとみなされます。一方、2つの波の位相角差が( n ×2π $+$ π $)$ ラジアン（nは整数）の場合、それらは逆位相であるとみなされます。

^{逆ラジアンまたは逆ラジアン (rad −1} )の単位は、メートル/ラジアン (角波長の場合) やニュートンメートル/ラジアン (ねじり剛性の場合) などの派生単位で使用されます。

接頭辞と異形

メートル法の分数接頭辞はラジアンと共に使用されます。ミリラジアン（mrad）は1ラジアン（0.001 rad）の1000分の1、つまり1 rad = 10 ³ mradです。円周には2 $π$ × 1000 ミリラジアン（≈ 6283.185 mrad）あります。つまり、ミリラジアンは⁠1/6283⁠円周の角度。円周の角度測定の単位として、望遠鏡の照準器メーカーがレチクルで測距（スタディアメトリック）を行う際に一般的に用いられています。レーザー光線の発散角も、通常ミリラジアンで測定されます。

角度ミルは、 NATOやその他の軍事組織が砲撃や照準に用いるミリラジアンの近似値である。1角度ミルは⁠1/6400⁠円であり、⁠15/8⁠ % またはミリラジアンより1.875%小さい。照準作業でよく見られる小さな角度の場合、計算に6400という数字を使う利便性は、それがもたらす小さな数学的誤差を上回ります。過去には、他の砲術システムでは異なる近似値が使用されていました。1/2000π $$ ⁠ ; 例えばスウェーデンでは、⁠1/6300⁠ ストレックとソ連は使用した⁠1/6000⁠。NATO ミルはミリラジアンを基準としており、1000 メートルの距離でおよそ 1 メートルの範囲をカバーします (このような小さな角度では、曲率はごくわずかです)。

ミリより小さい接頭辞は、非常に小さな角度を測定するときに便利です。マイクロラジアン（μrad、10 ⁻⁶ rad）およびナノラジアン（nrad、10 ⁻⁹ rad）は天文学で用いられ、超低発散角のレーザービーム品質の測定にも用いられる。より一般的なのは弧秒で、これは⁠ $π$ /648,000⁠ rad（約4.8481マイクロラジアン）。

歴史

20世紀以前

弧の長さで角度を測るという考え方は、数学者によってかなり早くから用いられていました。例えば、アル＝カシ（1400年頃）は、いわゆる直径部分を単位として用いていました。直径部分は⁠1/60⁠ラジアン。彼らは直径の部分に60進法の小単位も使用しました。^[32]ニュートンは1672年に「物体の円運動の角度量」について語りましたが、それは天文学的なアルゴリズムを開発するための相対的な尺度としてのみ使用されました。^[33]

ラジアンの概念は、1716年に亡くなったロジャー・コーツに帰せられることが多い。 1722年までに、彼の従兄弟であるロバート・スミスは、コーツの数学的著作を『 Harmonia mensurarum（計量法）』という書籍にまとめ、出版した。^[34]スミスは編集者コメントの章で、コーツの未公開のメモを引用し、おそらく1ラジアンを度で表した最初の計算法を示した。スミスはラジアンを「この数値は180度に等しい。円の半径を半円周で割った値で、1/3.141592653589である」と、名称以外のあらゆる側面から説明し、角度の測定単位としてのラジアンの自然さを認識した。^[35]^[36]

1765年、レオンハルト・オイラーは暗黙のうちに角度の単位としてラジアンを採用した。^[33]具体的には、オイラーは角速度を「回転運動における角速度とは、回転軸からの距離が1で表される点の速度である」と定義した。^[37]オイラーはおそらくこのラジアン規約と呼ばれる規約を最初に採用した人物であり、角速度 $ω = v / r$ の簡単な式を与える。§次元解析で述べたように、ラジアン規約は広く採用されているが、次元的に一貫性のある定式化では、例えば $ω = v /(ηr)$ のように次元定数を挿入する必要がある。^[27]

ラジアンという用語が普及する前は、この単位は一般に角度の円周方向の測定単位と呼ばれていました。 ^[38]ラジアンという用語が初めて印刷物に登場したのは1873年6月5日、ベルファストのクイーンズ・カレッジのジェームズ・トムソン（ケルビン卿の弟）が出した試験問題でした。彼は早くも1871年にこの用語を使用していましたが、1869年には、当時セント・アンドリュース大学のトーマス・ミュアが、ラド、ラジアル、ラジアンという用語を使い分けていました。1874年、ジェームズ・トムソンと相談した後、ミュアはラジアンを採用しました。^[39]^[40]^[41]その後しばらくの間、ラジアンという名称は広く採用されませんでした。ロングマンズ・スクールの三角法では、1890年に出版されたときも、円周方向の測定単位としてラジアンがまだ使われていました。 ^[42]

1893年、アレクサンダー・マクファーレンは「円周率に関する真の解析的議論は、円弧と半径の比ではなく、扇形の面積の2倍と半径上の正方形の比である」と記した。^{[43]しかし、この論文はシカゴ}万国博覧会に関連して開催された数学会議の議事録（167ページに謝辞あり）から削除され、 1894年に出版された『空間分析に関する論文集』に私的に収録された。マクファーレンは、この概念、あるいは面積比に至ったのは、同様に定義される双曲角の基礎を考察していたからである。^[44]

SI単位として

ポール・クインシーらは、「国際単位系（SI）における角度の地位は、長らく論争と混乱の源となってきた」と述べている。^[45] 1960年、国際度量衡総会（CGPM）はSIを制定し、ラジアンはステラジアンとともに「補助単位」に分類された。この特別な単位は、CGPMがラジアンを基本単位とするか組立単位とするかについて決定に至らなかったため、公式には「基本単位または組立単位のいずれか」とみなされた。^[46]リチャード・ネルソンは、「（補助単位の分類における）この曖昧さが、それらの適切な解釈をめぐる活発な議論を促した」と述べている。^[47] 1980年5月、単位諮問委員会（CCU）は、定数 $α0 = 1ラジアンを使用してラジアン$ をSI基本単位にする提案を検討したが、^[48]^[27]現在の慣行への混乱を避けるために却下された。^[27]

1980年10月、CGPMは補助単位を無次元組立単位と定め、SI組立単位の表現において補助単位を使用するか否かをCGPMが自由に決定した。^[47]その根拠は、「平面角と立体角の量を基本量とみなせるような、一貫性と利便性を兼ね備えた形式論は存在しない」ことと、「ラジアンとステラジアンをSI基本単位として扱う可能性は、わずか7つの基本単位に基づくSIの内部的な一貫性を損なう」ことであった。^[49] 1995年、CGPMは補助単位のクラスを廃止し、ラジアンとステラジアンを「無次元組立単位であり、その名称と記号は、他のSI組立単位の表現において、便宜上使用してもよいが、必ずしも使用しなくてもよい」と定義した。^[50]ミハイル・カリニンは2019年の著書で、1980年のCGPMの決定は「根拠がない」と批判し、1995年のCGPMの決定は矛盾した議論を用いており、「SIの文言に多数の矛盾、不一致、および矛盾」をもたらしたと述べている。^[51]

2013年のCCU会議において、ピーター・モーアは、ラジアンを基本単位ではなく無次元単位として定義することから生じるとされる矛盾について発表しました。CCU会長のイアン・M・ミルズはこれを「困難な問題」と宣言し、SIにおける角度と無次元量に関するCCUワーキンググループが設立されました。^[52] CCUは2021年に会合を開きましたが、合意には至りませんでした。少数の会員はラジアンを基本単位にすべきだと強く主張しましたが、大多数の会員は現状のままでよい、あるいは変更によって解決するよりも多くの問題が生じると考えていました。そこで、「SI補助単位の歴史的使用を見直し、再導入が有益かどうかを検討する」などの活動を行うタスクグループが設立されました。^[53]^[54]

参照

角周波数
分と秒
ステラジアンは、立体角を測定するラジアンの高次元アナログである。
三角法

注記

^ その他の提案としては、略語「rad」（Brinsmade 1936）、表記法（Romain 1962）、定数ם（Brownstein 1997）、◁（Lévy-Leblond 1998）、k（Foster 2010）、θ _C（Quincey 2021）、（Mohr et al. 2022）などがある。 $\langle \theta \rangle$ ${\cal {C}}={\frac {2\pi }{\Theta }}$

参考文献

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