周期関数

周期関数とは、一定の間隔で値を繰り返す関数です。例えば、波やその他の繰り返し現象を記述するために使用される三角関数は周期的です。月の満ち欠け、振り子の揺れ、心臓の鼓動など、自然界の多くの側面には周期的な振る舞いが見られます。

周期関数が繰り返される区間の長さを周期と呼びます。周期的でない関数は非周期関数と呼ばれます。

意味

{\displaystyle 2\pi } — 正弦関数のグラフ。基本周期はで周期的です。 $2\pi$

関数の値が一定の間隔で繰り返される場合、その関数は周期的であると定義されます。例えば、時計の針の位置は12時間ごとに同じ位置を循環し、周期的な動作を示します。この繰り返し間隔は周期と呼ばれます。

より正式には、関数が周期的であるとは、次のような定数が存在する場合である。 $f$ $P$

f(x+P)=f(x)

定義域におけるのすべての値に対して成り立つ。この条件が成り立つ非ゼロの定数は関数の周期と呼ばれる。 ^[1] $x$ $P$

周期が存在する場合、任意の整数倍（正の整数の場合）も周期となる。最小の正の周期が存在する場合、それは $P$ $nP$ $n$ 基本周期（原始周期または基本周期）。^[2]関数の「周期」は、その基本周期を指すために使用されることが多い。

幾何学的に、周期関数のグラフは並進対称性を示す。そのグラフは、 -方向への距離だけ並進しても不変である。これは、グラフ全体が、ある特定の部分のコピーを一定の間隔で繰り返すことで形成できることを意味する。 $x$ $P$

例

周期的な動作は、一般的な日常的な例と、より正式な数学関数の両方を通じて説明できます。

実数値関数

実数を実数にマッピングする関数は周期性を表示することができ、多くの場合グラフ上で視覚化されます。

のこぎり波

一例として、引数の「小数部」を表す関数があります。その周期は1です。例えば、 $f$

f(0.5)=f(1.5)=f(2.5)=\cdots =0.5

関数のグラフはのこぎり波です。 $f$

三角関数

{\displaystyle f(x)=\sin(x)} — およびのプロット。どちらの関数も周期で周期的です。 $f(x)=\sin(x)$ $g(x)=\cos(x)$ $2\pi$

三角関数は周期関数の一般的な例です。正弦関数と余弦関数は、右図に示すように、基本周期がである周期関数です。正弦関数の場合、これは次のように表されます。 $2\pi$

\sin(x+2\pi )=\sin x

のすべての値に対して。 $x$

フーリエ級数の分野では、任意の周期関数が一致する周期を持つ三角関数の和として表現できるという概念を研究します。

特殊な関数

周期関数であっても、直感的に分かりにくい性質を持つものがあります。例えば、ディリクレ関数は周期関数であり、任意の非零有理数を周期として扱います。しかし、基本周期は持ちません。

複素数値関数

複素数の定義域を持つ関数は、より複雑な周期的特性を示すことがあります。

複素指数

複素指数関数は、純虚周期を持つ周期関数です。

e^{ikx}=\cos kx+i\,\sin kx

余弦関数と正弦関数はどちらも周期で周期的であることを考えると、オイラーの公式は複素指数関数が次のような周期を持つことを示している。 $2\pi$ $L$

L={\frac {2\pi }{k}}

。

二重周期関数

複素平面上の関数は、定数関数ではないものの、2つの異なる不整合周期を持つことがあります。楕円関数はそのような関数の代表的な例です。（ここでの「不整合」とは、周期が互いに実数倍ではないことを指します。）

プロパティ

周期関数は、複数の値を取ることができます。より具体的には、関数が周期の周期関数である場合、の領域内のすべてのおよびすべての正の整数に対して、^[3] $f$ $P$ $x$ $f$ $n$

f(x+nP)=f(x)

積分に関する重要な性質として、が周期の積分可能な周期関数である場合、任意の長さの区間にわたるその定積分は同じであるという点があります。^[3]つまり、任意の実数に対して: $f(x)$ $P$ $P$ $a$

\int _{a}^{a+P}f(x)\,dx=\int _{0}^{P}f(x)\,dx

この特性は、係数が 1 周期にわたる積分によって決定されるフーリエ級数などの分野では重要です。

が周期の関数である場合、（はの定義域内にある非零の実数）は周期の周期関数である。例えば、は周期を持つので、は周期を持つ。 $f(x)$ $P$ $f(ax)$ $a$ $ax$ $f$ ${\frac {P}{|a|}}$ $f(x)=\sin(x)$ $2\pi$ $\sin(5x)$ ${\frac {2\pi }{5}}$

多くの周期関数の重要な特性は、フーリエ級数で記述できることです。この級数は、周期関数をより単純な周期関数、つまり正弦と余弦の和として表します。たとえば、楽器の音波は、基本音とさまざまな倍音に分解できます。この分解は、物理学や信号処理などの分野で強力なツールです。ほとんどの「行儀の良い」周期関数はこのように表すことができますが、^[4]フーリエ級数は周期関数または有限の長さで定義された関数にのみ使用できます。がフーリエ級数で記述できる周期を持つ周期関数である場合、級数の係数は長さの区間にわたる積分で記述できます。 $f$ $P$ $P$

同じ周期を持つ周期関数の組み合わせは、いずれも周期関数です（ただし、その基本周期はより小さい場合があります）。これには以下のものが含まれます。

周期関数の加算、減算、乗算、除算、^[1]および
周期関数のべき乗または根を取る（すべてのに対して定義されている場合） $x$

一般化

周期性の概念は、実数直線上の関数を超えて一般化することができます。例えば、繰り返しパターンの概念は、平面の周期的なモザイク模様のような多次元形状にも適用できます。また、数列は自然数上で定義された関数と見なすことができ、周期数列の概念はそれに応じて定義されます。

反周期関数

周期関数のサブセットの一つに反周期関数があります。これは、任意のに対してとなる関数です。例えば、正弦関数と余弦関数はそれぞれ-反周期関数と-周期関数です。-反周期関数は -周期関数ですが、その逆は必ずしも成り立ちません。^[5] $f$ $f(x+P)=-f(x)$ $x$ $\pi$ $2\pi$ $P$ $2P$

ブロッホ周期関数

さらなる一般化は、様々な周期微分方程式の解を支配するブロッホの定理とフロケ理論の文脈で現れる。この文脈では、解（1次元）は典型的には次のような関数となる。

f(x+P)=e^{ikP}f(x)~,

ここでは実数または複素数（ブロッホ波動ベクトルまたはフロケ指数）です。この形式の関数は、この文脈ではブロッホ周期関数と呼ばれることがあります。周期関数はの特殊なケースであり、反周期関数はの特殊なケースです。が有理数である場合、関数も周期的になります。 $k$ $k=0$ $k=\pi /P$ $kP/\pi$

商空間を定義域として

信号処理では、フーリエ級数が周期関数を表し、かつフーリエ級数が畳み込み定理を満たす（つまり、フーリエ級数の畳み込みは表現された周期関数の乗算に対応し、逆もまた同様）という問題に遭遇します。しかし、周期関数は通常の定義では畳み込みできません。なぜなら、関係する積分が発散してしまうからです。この問題の解決策として、周期関数を有界かつ周期的な領域上で定義することが挙げられます。そのためには、商空間の概念を使用することができます。

{\mathbb {R} /\mathbb {Z} }=\{x+\mathbb {Z} :x\in \mathbb {R} \}=\{\{y:y\in \mathbb {R} \land y-x\in \mathbb {Z} \}:x\in \mathbb {R} \}

。

つまり、の各要素は、同じ小数部を共有する実数の同値類です。したがって、のような関数は1周期関数の表現です。 ${\mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ $f:{\mathbb {R} /\mathbb {Z} }\to \mathbb {R}$

計算期間

重ね合わせた周波数からなる実波形を考えます。重ね合わせた周波数は、基本周波数fに対する比として集合で表現されます。 F = 1 ⁄ f  [f ₁ f ₂ f ₃ ... f _N ]。ここで、すべての非ゼロ要素は ≥ 1 であり、集合の要素の少なくとも1つは 1 です。周期 T を求めるには、まず集合内のすべての要素の最小公分母を求めます。周期は T = LCD ⁄ fで求められます。単純な正弦波の場合、 T = 1 ⁄ fとなります。したがって、LCD は周期乗数と見なすことができます。

西洋長音階のすべての音を表すセットの場合: [1 9 ⁄ 8 5 ⁄ 4 4 ⁄ 3 3 ⁄ 2 5 ⁄ 3 15 ⁄ 8 ]、LCDは24なので、T = 24 ⁄ fになります。
長三和音のすべての音を表すセット[1 5 ⁄ 4 3 ⁄ 2 ]の場合、LCDは4なので、T = 4 ⁄ fとなります。
短三和音のすべての音を表すセット[1 6 ⁄ 5 3 ⁄ 2 ]の場合、LCDは10なので、T = 10 ⁄ fになります。

最小公分母が存在しない場合、例えば上記の要素の1つが無理数である場合、波は周期的ではない。^[6]

参照

参考文献

^ ab トルストフ、ゲオルギー・パブロヴィッチ;トルストフ、ゲオルギー・パブロヴィッチ (2009)。フーリエ級数。ドーバーの数学に関する本 (Nachdr 編)。ニューヨーク: ドーバー出版。 p. 1.ISBN 978-0-486-63317-6。
^ 定数関数やディリクレ関数（有理数の指示関数）などの一部の関数では、最小の正の周期が存在しない場合があります（すべての正の周期の最小値はゼロです）。 $P$
^ ab トルストフ、ゲオルギー・パブロヴィッチ (2009)。フーリエ級数。ドーバーの数学に関する本 (Nachdr 編)。ニューヨーク: ドーバー出版。 p. 2.ISBN 978-0-486-63317-6。
^ たとえば、L ²関数の場合、カールソンの定理によれば、L 2 関数にはほぼどこでも収束する点単位(ルベーグ)のフーリエ級数があります。
^ Weisstein, Eric W. 「反周期関数」. mathworld.wolfram.com . 2024年6月6日閲覧。
^ Summerson, Samantha R. (2009年10月5日). 「周期性、実フーリエ級数、そしてフーリエ変換」(PDF) . 2019年8月25日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2018年3月24日閲覧。

イーヴァル、エケランド(1990)。 "1つ"。ハミルトン力学における凸法。 Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [数学および関連分野の結果 (3)]。 Vol. 19. ベルリン: Springer-Verlag。 pp.x+247。ISBN 3-540-50613-6. MR 1051888。

外部リンク

「周期関数」.数学百科事典. EMS Press . 2001 [1994].
ワイスタイン、エリック・W.「周期関数」。MathWorld。