幾何学において、半超立方体（デミハイパーキューブ、 n-デミキューブ、 n-ヘミキューブ、ハーフメジャーポリトープとも呼ばれる）は、n-超立方体の交代から構成されるn-多面体の一種であり、超立方体族γnの半分であるhγnと表記される。頂点の半分が削除され、新しい面が形成される。2n面は2n ( n − 1)-半超立方体となり、削除された頂点の代わりに2n ( n −1)-単体面が形成される。 [1]
それぞれの超立方体には、 demi- という接頭辞が付けられ、 demi cube、 demi tesseractなどと命名されています。demicube は正四面体と同一であり、 demitesseract は正16セルと同一です。demipenteractは、正面のみを持つため、半正面とみなされます。より高次の形態は、すべての面が正面であるわけではなく、すべて一様多面体です。
半超立方体の頂点-辺グラフは、立方体を半分に切ったグラフです。
発見
ソロルド・ゴセットは、 1900年の出版物の中で、3次元を超えるn次元のすべての正則図形と半正則図形を列挙し、デミペンテラクトについて記述しました。彼はそれを5次元半正則図形と呼びました。また、半正則k 21多面体族 にも存在します
半超立方体は、{4,3,...,3}の頂点の半分として、h{4,3,...,3}という形式の拡張シュレーフリ記号で表すことができます。半超立方体の頂点図形は、n次元の単体で、平行化されて います。
構成
これらは、3つの構成形式の コクセター・ディンキン図によって表されます
HSM Coxeter はまた、3 つの分岐図を、3 つの枝の長さを表し、環状枝が先頭にある 1 k 1と名付けました。
n次元半立方体（n は2 より大きい）は、各頂点でn ( n −1)/2 本の辺が交わります。以下のグラフは、対称投影において辺が重なり合うため、各頂点の辺の数が少なくなっていることを示しています。
| n | 1 k 1 | コクセター平面 投影 |
シュレーフリ記号 | コクセター図 A 1 n B n D n |
要素 | ファセット： 半超立方体と 単体 |
頂点図 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 頂点 | 辺 | 面 | セル | 4面 | 5面 | 6面 | 7面 | 8面 | 9面体 | |||||||
| 2 | 1 −1,1 | 半正方形 （二角形） 
|
s{2} h{4} {3 1,−1,1 } |
    
|
2 | 2 | 2つのエッジ |
-- | ||||||||
| 3 | 1 01 | 半立方体 （四面体）  
|
s{2 1,1 } h{4,3} {3 1,0,1 } |
  
|
4 | 6 | 4 | （6つの二角形） 4つの三角形 |
三角形 （直角三角形） | |||||||
| 4 | 1 11 | 半円体 （16細胞）  
|
s{2 1,1,1 } h{4,3,3} {3 1,1,1 } |
|
8 | 24 | 32 | 16 | 8つの半立方体 （四面体） 8つの四面体 |
八面体 （正四面体） | ||||||
| 5 | 1 21 | デミペンタラクト 
|
s{2 1,1,1,1 } h{4,3 3 }{3 1,2,1 } |
|
16 | 80 | 160 | 120 | 26 | 16セル10個、 5セル 16個 |
整流5セル | |||||
| 6 | 1 31 | デミヘキサラクト 
|
s{2 1,1,1,1,1 } h{4,3 4 }{3 1,3,1 } |
|
32 | 240 | 640 | 640 | 252 | 44 | 12個のデミペンテラクト、 32個の5単体 |
整流ヘキサテロン | ||||
| 7 | 1 41 | デミヘプテラクト 
|
s{2 1,1,1,1,1,1 } h{4,3 5 }{3 1,4,1 } |
|
64 | 672 | 2240 | 2800 | 1624 | 532 | 78 | 14個のデミヘキサクト、 64個の6単体 |
整流6単分子 | |||
| 8 | 1 51 | 半単細胞 
|
s{2 1,1,1,1,1,1,1 } h{4,3 6 }{3 1,5,1 } |
|
128 | 1792 | 7168 | 10752 | 8288 | 4032 | 1136 | 144 | 16個の半七翅目、 128個の7-単体 |
7単信整流 | ||
| 9 | 1 61 | 半複素数 
|
s{2 1,1,1,1,1,1,1,1,1 } h{4,3 7 }{3 1,6,1 } |
|
256 | 4608 | 21504 | 37632 | 36288 | 23520 | 9888 | 2448 | 274 | 18個の半八面体 、256個の8-単体 |
整流8単信 | |
| 10 | 1 71 | 2単信 
|
s{2 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1 } h{4,3 8 }{3 1,7,1 } |
|
512 | 11520 | 61440 | 122880 | 142464 | 115584 | 64800 | 24000 | 5300 | 532 | 20デミネラクト 512 9単体 |
修正9単体 |
| … | ||||||||||||||||
| n | 1 n −3,1 | n次元半立方体 | s{2 1,1,...,1 } h{4,3 n −2 }{3 1, n −3,1 } |
.........
|
2 n −1 | 2 n ( n −1) 個の半立方体 2 n −1 ( n −1)個の単体 |
修正された( n −1)単体 | |||||||||
一般に、デミキューブの要素は元のnキューブから決定できます。(C nの場合、m = nキューブのm番目の面数= 2 n − m n !/( m !( n − m )!))
- 頂点: D n ,0 = 1/2 C n ,0 = 2 n −1 ( n立方体の頂点の半分が残る)
- エッジ: D n ,1 = C n ,2 = 1/2 n ( n −1) 2 n −2 (元のエッジはすべて失われ、各正方形の面が新しいエッジを作成します)
- 面: D n ,2 = 4 * C n ,3 = 2/3 n ( n −1)( n −2) 2 n −3 (元の面はすべて失われ、各立方体は4つの新しい三角形の面を作成します)
- セル: D n ,3 = C n ,3 + 2 3 C n ,4 (元のセルの四面体と新しいセル)
- ハイパーセル: D n ,4 = C n ,4 + 2 4 C n ,5 (それぞれ16セルと5セル)
- ...
- [ m = 3,..., n −1 の場合]：D n , m = C n , m + 2 m C n , m + 1（それぞれm -デミキューブとm -単体）
- ...
- ファセット: D n , n −1 = 2 n + 2 n −1 (それぞれ( n −1)-デミキューブと( n −1)-単体)
対称群
超八面体群（コクセター群 [4,3 n −1 ]）における半超立方体の安定化群は指数2です。これは位数のコクセター群[3 n −3,1,1 ] であり、座標軸の順列と座標軸の対に沿った鏡映によって生成されます。[2]
同所性構造
交互直交面としての構築は同じトポロジを持ちますが、n軸対称で異なる長さに伸ばすことができます。
菱形二蝶形は、交互直方体の三次元的な例です。3組の辺の長さと不等辺三角形の面を持ちます。
参照
参考文献
- ^ 正多面体と半正多面体III、315-316ページ
- ^ "week187". math.ucr.edu . 2018年4月20日閲覧。
- T. ゴセット：n次元空間における正則図形と半正則図形について、メッセンジャー・オブ・マスマティクス、マクミラン、1900年
- ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝ストラウス著『The Symmetries of Things』 2008年、ISBN 978-1-56881-220-5（第26章 409ページ：ヘミキューブ：1 n1）
- 万華鏡：HSMコクセター選集、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6[1]
- （論文24）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
外部リンク
- オルシェフスキー、ジョージ. 「半測度多面体」.ハイパースペース用語集. 2007年2月4日時点のオリジナルよりアーカイブ
| 家族 | A n | B n | I 2 ( p ) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 正多角形 | 三角形 | 正方形 | p角形 | 六角形 | 五角形 | |||||||
| 一様多面体 | 四面体 | 八面体•立方体 | 正十二面体 | 正二十面体 | ||||||||
| 均一多面体 | ペンタコロン | 16細胞・四次元体 | 二次元体 | 24細胞 | 120細胞・600細胞 | |||||||
| 均一な5次元多面体 | 5-単体 | 5-正方体・5-立方体 | 5-半立体 | |||||||||
| 一様6次元多面体 | 6次元単体 | 6次元正多面体・6次元立方体 | 6次元半立方体 | 1 22 • 2 21 | ||||||||
| 一様7次元多面体 | 7-単体 | 7-正複合体・7-立方体 | 7-半立体 | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
| 一様8次元多面体 | 8次元単体 | 8次元正多面体・8次元立方体 | 8デミキューブ | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
| 一様9次元多面体 | 9次元単体 | 9次元正多面体・9次元立方体 | 9次元半立方体 | |||||||||
| 一様10次元多面体 | 10次元単体 | 10次元正多面体・10次元立方体 | 10デミキューブ | |||||||||
| 一様n多面体 | n単体 | n -オルソプレックス• n -キューブ | n -デミキューブ | 1 k2 • 2 k1 • k 21 | n -五角形多面体 | |||||||
| トピック:多面体族•正多面体•正多面体と複合多面体の一覧•多面体の演算 | ||||||||||||
