17匹の動物の遺伝パズル
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17頭の分割できないラクダ

17頭相続パズルは、分割不可能な財産の不平等ながらも公平な分配を伴う数学パズルです。通常、複数の大型動物（ラクダ17頭、馬17頭、ゾウ17頭など）の相続財産を、複数の受益者間で定められた割合で分配するという形で表現されます。これは、分配問題の一般的な例です。

パズルとして組み立てられることが多いにもかかわらず、これは明確な数学的解を持つ問題というよりも、むしろ奇妙な計算に関する逸話である。 [ 1 ]娯楽数学や数学教育を超えて、この物語は様々な比喩的な意味を持つ寓話として繰り返し語られてきた。

このパズルの起源は古くから主張されてきたものの、その根拠は文書化されていません。しかし、このパズルの派生形は、18世紀のイラン哲学者、ムッラー・ムハンマド・マフディー・ナラキーの著作にまで遡ることができます。このパズルは19世紀後半に西洋の娯楽数学の文献に登場しました。複数の数学者が、このパズルを17以外の数に一般化した様々な解法を考案しています。

声明

パズルの記述によると、ある男性が3人の息子に17頭のラクダ（または他の動物）を残して亡くなりました。これらの動物は、長男が男性の財産の1 ⁄ 2、次男が1 ⁄ 3、末息子が1 ⁄ 9の割合で相続することになっています。生きているラクダ1頭にのみ価値があることを踏まえると、ラクダはどのように分割すべきでしょうか？[ 2 ]

解決

17匹の動物の遺伝パズルの解答

よく言われるように、このパズルを解くために、3人の息子は他の男、たいていは司祭、裁判官、あるいはその他の地方役人に助けを求めます。この男は次のようにしてパズルを解きます。彼は自分のラクダを3人の息子に貸し出すので、分割すべきラクダは18頭になります。すると、相続財産として要求された割合で、長男には9頭、次男には6頭、末息子には2頭のラクダが残ります。この17頭のラクダのうち1頭が余り、裁判官はそれを自分のものとして持ち帰ります。[ 2 ]これは、分数の合計が1未満であるため可能です。⁠1/2⁠ + ⁠1/3⁠ + ⁠1/9⁠ = ⁠17/18⁠。

いくつかの資料は、この解決策のさらなる特徴を指摘している。それは、息子たちはそれぞれ、当初約束された相続分よりも多くのラクダを受け取るため、満足するという点である。長男は当初、わずか8頭しか約束されていなかった。+1 ⁄ 2頭のラクダを受け取ったが、9頭を受け取る。真ん中の息子には5頭が約束された。+2 ⁄ 3ですが、6つ受け取ります。そして末っ子は1+8 ⁄ 9ですが、2つ受け取ります。 [ 3 ]

歴史

同様の不等分割問題は古代にまで遡りますが、余分なラクダの貸し借りというひねりはありません。例えば、リンド数学パピルスには、多数のパンを4つの異なる指定された割合で分割する問題が掲載されています。[ 2 ] [ 4 ] 17匹の動物のパズルは、このパピルスの他の例にも見られる「1への完成」問題の一例と見ることができます。これは、1未満になる分数の集合を、さらに分数を足して合計がちょうど1になるように完成させる問題です。[ 5 ]ローマ帝国における分数相続に関する同様の事例が、プブリウス・ユウェンティウス・ケルススの著作に登場し、サルウィウス・ユリアヌスが裁定した事件に帰せられています。[ 6 ] [ 7 ]これらの相続問題に見られるように、分割不可能な要素を特定の割合に公平に分割するという問題は、比例代表制に基づく選挙制度で議席を割り当てる場合にも発生する。[ 8 ]

中世イスラム世界の数学には、同様の分数割りの問題が数多く知られているが[ 1 ] [ 4 ] [ 9 ]、「17頭のラクダの話は、古典的なアラブ・イスラム数学の一部であるとは考えられない」。[ 9 ]また、この問題の起源とされるアル・フワーリズミー、フィボナッチ、タルタリアの著作も確認できていない。[ 10 ]ある「伝説」では、16世紀のムガル帝国の大臣ビルバルがこの問題を出したとされている。[ 11 ]ピエール・アゲロンが発見した、17頭のラクダを使ったパズルの最も古い記録は、18世紀のシーア派イランの哲学者、ムッラー・ムハンマド・マフディー・ナラキの著作に見られる。[ 9 ] 1850年までに、ジェームズ・フィリップス・フレッチャーが出版したメソポタミア旅行記を通じて、アメリカではすでに流通していました。[ 12 ] [ 13 ] 1859年に数学月刊誌に掲載され、 [ 10 ] [ 14 ] 17頭の象が登場し中国起源であると主張するバージョンがウィリアム・ヘンリー・クレマー編集のハンキー・パンキー：手品の本（ロンドン、1872年）に収録されましたが、ウィルジャルバ・フリケルまたはヘンリー・ルウェリン・ウィリアムズの作であると言われることが多かったです。[ 2 ] [ 10 ]その後、同じパズルが19世紀後半から20世紀初頭にかけて、ヘンリー・デュドニー、サム・ロイド、[ 2 ]エドゥアール・ルーカス、[ 9 ]ホフマン教授、[ 15 ]エミール・フォーリー、[ 16 ]他の著作にも登場しました。[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] 17頭の馬が登場するバージョンは、20世紀半ばのアメリカで民間伝承として広まりました。 [ 21 ]

この物語のバリエーションでは、ラクダが 11 頭いて、それを1 ⁄ 2、1 ⁄ 4、1 ⁄ 6に分けるとされています。[ 22 ] [ 23 ]このパズルの別のバリエーションは、1938 年にポルトガル語でJúlio César de Mello e Souzaによって出版された数学パズルの本、「The Man Who Counted」という本に登場します。このバージョンでは 35 頭のラクダから始まり、17 頭のラクダのバージョンと同じ割合で分割されます。物語の主人公がラクダを 1 頭貸し、36 頭のラクダが 3 人の兄弟で分けられた後、2 頭が余ります。1 頭は主人公に返し、もう 1 頭は賢さに対するご褒美として主人公に与えます。この本の英語版の末尾の注では、17 頭のラクダのバージョンの問題として Fourrey と Gaston Boucheny (1939) の著作が引用されています。[ 10 ]

この物語は、娯楽数学を超えて、学校の数学の授業の基礎として使われてきた。[ 3 ] [ 24 ]宗教、法律、経済、政治における様々な道徳を語る寓話として[ 19 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]さらには化学における触媒作用の一般向けの説明としても使われてきた。[ 29 ]

一般化

コンピュータ科学者のポール・ストックマイヤーは、任意の数の動物について、が の異なる約数の和として表せるという性質を持つ類似のパズルのクラスを定義している。この場合、動物を分割する分数が となるパズルが得られる。を割り切るように 数が選ばれているため、これらの分数はすべて単位分数に簡約される。動物の審判の取り分 と組み合わせると、数 1 のエジプト分数表現が得られる。 [ 2 ]n{\displaystyle n}n{\displaystyle n}d1、d2、…{\displaystyle d_{1},d_{2},\dots }n+1{\displaystyle n+1}n{\displaystyle n}d1n+1、d2n+1、…。{\displaystyle {\frac {d_{1}}{n+1}},{\frac {d_{2}}{n+1}},\dots .}d私{\displaystyle d_{i}}n+1{\displaystyle n+1}1/(n+1){\displaystyle 1/(n+1)}

このようなパズルの基礎として使用できるラクダの数（つまり、の異なる約数の和として表すことができる数）は、整数列を形成する。n{\displaystyle n}n+1{\displaystyle n+1}

1、3、5、7、11、15、17、19、23、27、29、31、35、39、41、… [ 30 ]

インドの物理学者S.ナラナンは、3つの項のみを持ち、 3つの単位分数の分母の最小公倍数に等しい、より限定されたクラスの一般化されたパズルを模索し、これらの条件を満たす分数の3つ組を7つだけ見つけました。[ 11 ]n+1{\displaystyle n+1}

ブラジルの研究者マルシオ・ルイス・フェレイラ・ナシメントとルイス・バルコは、35頭のラクダのバリエーションのように、複数のラクダが貸し出され、返却される数が貸し出した数よりも多い場合など、問題をさらに一般化しています。[ 10 ]

参照

参考文献

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