数学において、3ステップ群はフィッティング長が最大3である特殊な群であり、 CN群の分類やフェイト・トムソンの定理において用いられる。これら2つの場合における3ステップ群の定義は若干異なる。
CNグループ
CN 群の理論では、3 ステップ群 (ある素数 pに対して) は次の群です。
- G = O p、p '、p ( G )
- O p , p ′ ( G )は、核O p ( G )を持つフロベニウス群である。
- G /O p ( G )は、核O p、p ′ ( G )/O p ( G )を持つフロベニウス群である。
任意の 3 ステップ群は解けるCN 群であり、逆に、解ける CN 群は冪零群、フロベニウス群、または 3 ステップ群のいずれかです。
例:対称群 S 4は素数p = 2の 3 段階群です。
奇数次群
Feit & Thompson (1963, p.780)は、3段階グループを次の条件を満たす グループGと定義しました。
- Gの導来群は巡回補群Qを持つホール部分群である。
- H がGの最大正規冪零ホール部分群である場合、G ′ ′ ⊆ H C G ( H )⊆ G ′かつH C Gは冪零であり、Hは非巡回である。
- q ∈ Qが非自明である場合、 C G ( q ) は巡回的かつ非自明であり、qとは独立です。
参考文献
- フェイト、ウォルター；トンプソン、ジョン・G.（1963）「奇数位数の群の可解性」、パシフィック・ジャーナル・オブ・マスマティクス、13：775–1029、doi：10.2140/pjm.1963.13.775、ISSN 0030-8730、MR 0166261
- フェイト, ウォルター;トンプソン, ジョン・G. ;ホール, マーシャル・ジュニア(1960)「任意の非恒等元の中心化元が冪零である有限群」, Mathematische Zeitschrift , 74 : 1– 17, doi :10.1007/BF01180468, ISSN 0025-5874, MR 0114856
- ゴレンスタイン、D.（1980）、有限群、ニューヨーク：チェルシー、ISBN 978-0-8284-0301-6、MR 0569209
