デュオプリズム

$均一なpq$ デュオプリズムのセット
タイプ	柱状一様4次元多面体
シュレーフリ記号	${p}\times{q}$
コクセター・ディンキン
細胞	$pq$ 角柱、 $qp$ 角柱
面	$pq$ 正方形、 $pq$ 角形、 $qp$ 角形
辺	$2 pq$
頂点	$pq$
頂点図形	二蝶形
対称性	$[p,2, q]$ , 次数 $4 pq$
双対	$pq$ 双ピラミッド
性質	凸状、頂点一様

均一なppデュオプリズムのセット
タイプ	柱状一様4次元多面体
シュレーフリ記号	${p}\times{p}$
コクセター・ディンキン
細胞	$2つの p p$ -ゴナルプリズム
面	$p 2$ 正方形、 $2 p p$ 角形
辺	$2 ページ 2ページ$
頂点	$p 2$
対称性	$[p,2, p] = [2 p,2 +,2 p]、$ 位数 $8 p 2$
双対	$PP$ デュオピラミッド
性質	凸状、頂点均一、面推移的

4次元以上の幾何学において、二重プリズム^{[ 1 ]}またはデュオプリズムは、それぞれ2次元以上の2つの多面体の直積から得られる多面体である。n $多面体$ と $m多面体の直積は$ $($ $n$ $+$ $m$ $)$ 多面体であり、ここで $n$ と $mは$ 2(多角形)以上の次元である。

最低次元のデュオプリズムは、4次元空間において、 2次元ユークリッド空間における2つの多角形の直積である4次元多面体として存在します。より正確には、以下の点の集合です。

P_{1}\times P_{2}=\{(x,y,z,w)|(x,y)\in P_{1},(z,w)\in P_{2}\}

ここで、 $P 1$ と $P 2$ は、それぞれの多角形に含まれる点の集合です。このようなデュオプリズムは、両方の底辺が凸であり、プリズムセルによって囲まれている場合、凸です。

命名法

4次元デュオプリズムは、4次元多面体であると考えられています。同じ辺の長さを持つ2つの正多角形から構成されるデュオプリズムは、一様デュオプリズムです。

n多角形とm多角形から構成されるデュオプリズムは、基本多角形の名前の前に「デュオプリズム」を付けて命名されます。たとえば、三角形と五角形のデュオプリズムは、三角形と五角形の直積です。

特定のデュオプリズムを指定するための別の、より簡潔な方法は、基本ポリゴンを示す数字を前に付けることです。たとえば、三角形-五角形デュオプリズムの場合は 3,5-duoprism となります。

その他の別名：

q -角柱- p -角柱プリズム
q -角形- p -角形二重プリズム
q -角形- p -角形ハイパープリズム

デュオプリズムという用語は、ジョージ・オルシェフスキーによって造語され、double prismを短縮したものです。ジョン・ホートン・コンウェイは、2次元以上の2つ以上の多面体の直積である積プリズムに、同様の名称proprism を提案しました。デュオプリズムは、ちょうど2つの多面体から構成される proprism です。

例：16-16デュオプリズム

シュレーゲル図： 1つの16角柱の中心からの投影図。反対側の16角柱のうち1つを除くすべての16角柱が示されています	16角柱の2組が示されています。垂直の円筒の上面と下面は、4次元で折り畳むと接続されます。

4次元デュオプリズムの幾何学

4次元の一様デュオプリズムは、同じ辺の長さを持つ正n角形と正m角形との積によって生成されます。これは、n個のm角柱とm個のn角柱で囲まれています。例えば、三角形と六角形の直積は、 6個の三角柱と3個の六角柱で囲まれたデュオプリズムです。

mとnが等しい場合、結果として得られるデュオプリズムは、2 n 個の同一のn角柱プリズムで囲まれます。例えば、2つの三角形の直積は、6個の三角柱で囲まれたデュオプリズムです。
mとn が4 と等しい場合、結果として得られるデュオプリズムは 8 つの正方形プリズム (立方体)で囲まれ、四次元立方体と同一になります。

m角柱はm角面で互いに接続され、閉ループを形成します。同様に、n角柱はn角面で互いに接続され、最初のループに垂直な2番目のループを形成します。これらの2つのループは正方形面で互いに接続され、互いに直交しています。

mとnが無限大に近づくにつれて、対応するデュオプリズムはデュオシリンダーに近づきます。そのため、デュオプリズムはデュオシリンダーの非二次近似として有用です。

ネット

3-3
3-4	4-4
3-5	4-5	5-5
3-6	4-6	5-6	6-6
3-7	4～7	5～7	6～7	7～7
3～8	4～8	5～8	6～8	7～8	8～8
3～9	4～9	5～9	6～9	7～9	8～9	9～9
3～10	4～10	5～10	6～10	7～10	8～10	9-10	10-10

透視投影

セル中心の透視投影では、p角形プリズムとq角形プリズムの2組の直交セルを持つデュオプリズムがトーラスのように見えます

シュレーゲル図
6角柱	6-6デュオプリズム

透視図法によって平面に投影された六角柱は、六角形の面を中心としており、（歪んだ）正方形でつながれた二重六角形のように見えます。同様に、3次元に投影された6-6デュオプリズムは、平面と断面の両方で六角形のトーラスに近似します

pq デュオプリズムは qp デュオプリズムと同一ですが、異なるセルの中心に投影されるため、これらの投影では異なって見えます。

シュレーゲル図
3-3	3-4	3-5	3-6	3-7	3～8
4-3	4-4	4-5	4-6	4-7	4～8
5-3	5-4	5-5	5-6	5-7	5-8
6-3	6-4	6-5	6-6	6-7	6～8
7-3	7-4	7-5	7-6	7-7	7-8
8-3	8-4	8-5	8-6	8-7	8～8

直交投影

ppデュオプリズムの頂点中心直交投影は、奇数次では[2n]対称に、偶数次では[n]対称に投影されます。中心に投影される頂点はn個あります。4,4の場合、それは四次元立方体の_A3コクセター平面を表します。5,5 投影は、3次元の菱形三十面体と同一です

ppデュオプリズムの直交投影ワイヤーフレーム
奇数
3-3		5-5		7-7		9-9

[3]	[6]	[5]	[10]	[7]	[14]	[9]	[18]
偶数
4-4（テッセラクト）		6-6		8～8		10-10

[4]	[8]	[6]	[12]	[8]	[16]	[10]	[20]

関連する多面体

回転する二重円筒の立体投影。{4,4|n}の歪んだ多面体から正方形の市松模様の面に分割されている

正多面体{4,4|n}は、4次元空間において、nnデュオプリズムのn ^{2 個}の正方形面として存在し、2n ^{2 個}の辺とn ²個の頂点をすべて用います。2 n n角形面は除去されていると見ることができます。（正多面体もnmデュオプリズムと同様に見ることができますが、正多面体ではありません。）

デュオアンチプリズム

交互プリズムとしてのアンチプリズムと同様に、4次元デュオアンチプリズムの集合が存在します。これは、デュオプリズムに交互演算を適用することで作成できる4次元多面体です。交互頂点は非正四面体セルを形成しますが、 4-4デュオプリズム（テッセラクト）という特殊なケースでは、均一（かつ正則）な16セルを形成します。16セルは、凸で均一な唯一のデュオアンチプリズムです。

デュオプリズム, t _0,1,2,3 {p,2,q}, は交互に, ht _{0,1,2,3 {p,2,q} は「デュオアンチプリズム」であり、一般には均一にできない。唯一の凸均一解は、p=q=2 の自明な場合であり、これは}テッセラクトの下対称性構成である。, t _0,1,2,3 {2,2,2}、その交代は16セル、, s{2}s{2}

唯一の非凸一様解はp=5, q=5/3, ht _0,1,2,3 {5,2,5/3}です10個の五角形反プリズム、10個の五角形の交差反プリズム、および50個の四面体で構成され、大二重反プリズム（グダップ）として知られています。^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

ジテトラゴルトリアート

また、関連するものとして、八角形（ジテトラゴルトリアートまたは切頂正方形とみなされる）をp角形にすることで形成されるジテトラゴルトリアートまたはオクタゴルトリアートがあります。p角形の八角形は、八角形が2つの垂直な長方形の凸包であると仮定すれば明確に定義できます。すると、p角形ジテトラゴルトリアートは、2つのppデュオプリズム（p角形は相似ですが合同ではなく、サイズが異なる）が垂直に向いた凸包です。結果として得られるポリコロンは等角形で、2pのp角形プリズムとp ^2の直方体台形プリズム（D _2d対称性を持つ立方体）を持ちますが、均一にすることはできません。頂点図形は三角両錐体です

二重逆角錐

交互に配置されたデュオプリズムとしてのデュオアンチプリズムと同様に、2p角形ジテトラゴルトリアートを交互に配置することで、p角形二重アンチプリズムと四面体を作成し、非コアミック三角形両錐空間を二つの四面体として再解釈することで、p角形二重アンチプリズムの集合が作成される。結果として得られる図形は、大アンチプリズムとその共役である五角形二重アンチプリズム（それぞれp = 5と5/3）を除いて、一般に一様ではない。五角形二重アンチプリズムは、十角形または十角形ジテトラゴルトリアートの交互に配置として表される。頂点図形は、蝶冠の変形である。

k ₂₂多面体

3-3デュオプリズム（-1 _{22 ）は、}コクセターによってk ₂₂級数として表される次元一様多面体級数の最初のものである。3-3デュオプリズムは、2番目の双平行化5次元単体の頂点図形である。4番目の図形はユークリッドハニカム2 ₂₂であり、最後の図形はコクセター群 [3 ^2,2,3 ]を持つパラコンパクト双曲型ハニカム 3 ₂₂である。各漸進的一様多面体は、前の多面体を頂点図形として構築される。 ${\bar {T}}_{7}$

n次元のk _22の図形
空間	有限			ユークリッド	双曲的
n	4	5	6	7	8
コクセターグループ	A ₂ A ₂	E ₆	${\tilde {E}}_{6}$ =E ₆⁺	${\bar {T}}_{7}$ =E ₆⁺⁺
コクセター図
対称性	[[3 ^2,2,-1 ]]	[[3 ^2,2,0 ]]	[[3 ^2,2,1 ]]	[[3 ^2,2,2 ]]	[[3 ^2,2,3 ]]
注文	72	1440	103680	∞
グラフ				∞	∞
名前	−1 ₂₂	0 ₂₂	1 ₂₂	2 ₂₂	3 ₂₂

参照

注釈

^『第四次元の簡潔な説明』ヘンリー・P・マニング著、マン・アンド・カンパニー、1910年、ニューヨーク。バージニア大学図書館で入手可能。オンラインでも入手可能：『第四次元の簡潔な説明』—デュオプリズム（二重プリズム）とデュオシリンダー（二重シリンダー）の説明が含まれています。Googleブック
^ジョナサン・バウワーズ - 雑集ユニフォームポリコーラ965. グダップ
^ http://www.polychora.com/12GudapsMovie.gif Archived 2014-02-22 at the Wayback Machine断面アニメーション

参考文献

正多面体、HSMコクセター著、ドーバー出版、1973年、ニューヨーク、124ページ
コクセター『幾何学の美：12のエッセイ』ドーバー出版、1999年、ISBN 0-486-40919-8 （第5章：3次元および4次元の正歪多面体とその位相的類似体）
- コクセター、HSM「3次元および4次元における正歪多面体」ロンドン数学会誌43, 33-62, 1937年。
ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝ストラウス著『The Symmetries of Things』 2008年、ISBN 978-1-56881-220-5（第26章）
NWジョンソン：均一多面体とハニカムの理論、博士論文、トロント大学、1966年

[1] 『第四次元の簡潔な説明』ヘンリー・P・マニング著、マン・アンド・カンパニー、1910年、ニューヨーク。バージニア大学図書館で入手可能。オンラインでも入手可能：『第四次元の簡潔な説明』—デュオプリズム（二重プリズム）とデュオシリンダー（二重シリンダー）の説明が含まれています。Googleブック

[2] ジョナサン・バウワーズ - 雑集ユニフォームポリコーラ965. グダップ

[3] ttp://www.polychora.com/12GudapsMovie.gif Archived 2014-02-22 at the Wayback Machine断面アニメーション

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