65537-gon

レギュラー65537ゴン
レギュラー65537ゴン
	通常の65537角形
タイプ	正多角形
エッジと頂点	65537
シュレーフリ記号	{65537}
コクセター・ディンキン図
対称群	二面角（D 65537）、位数2×65537
内角（度）	≈179.994 507°
プロパティ	凸状、環状、正三角形、等角、等軸
デュアルポリゴン	自己

幾何学において、65537角形は65,537（2の^16乗+1）辺を持つ多角形です。自己交差しない65537角形の内角の和は11796300°です。

レギュラー65537ゴン

正65537角形の面積は（t = 辺の長さ）

A={\frac {65537}{4}}t^{2}\cot {\frac {\pi }{65537}}

正65537角形の周囲の長さは、外接円の周囲の長さと約15億分の1ほど異なります。

工事

正65537角形（すべての辺とすべての角度が等しい多角形）は、作図可能な多角形、つまりコンパスと目盛りのない定規を使って作図できる多角形であるという点で興味深い。これは、65537がフェルマー素数であり、2 ^{2 ⁿ} + 1（この場合n = 4）の形をとるためである。したがって、との値は32768次の代数的数であり、他の作図可能な数と同様に、平方根で表すことができ、高階根は使えない。 $\cos {\frac {\pi }{65537}}$ $\cos {\frac {2\pi }{65537}}$

カール・フリードリヒ・ガウスは1801年までに正65537角形が作図可能であることを知っていたが、正65537角形の最初の明示的な作図はヨハン・グスタフ・ヘルメス（1894年）によって行われた。作図は非常に複雑で、ヘルメスは200ページに及ぶ原稿を完成させるのに10年を費やした。^{[ 1 ]}別の方法では、最大1332個のカーライル円を使用する。この方法の最初の段階を下に示す。この方法は、これらのカーライル円の1つが二次方程式x ² + x − 16384 = 0 （16384は2の¹⁴乗）を解くため、実用上の問題に直面する。^{[ 2 ]}

対称

正65537 角形にはD ₆₅₅₃₇対称性、位数 131074 があります。65537 は素数であるため、二面体対称性を持つサブグループが 1 つ ( D _{1 )}、巡回群対称性が 2 つ ( Z ₆₅₅₃₇、 Z ₁ ) あります。

65537グラム

65537グラムは、65,537辺の星型多角形です。65,537は素数なので、 2 ≤ n ≤ 32768のすべての整数に対して、シュレーフリ記号によって生成される正規形は32,767通りあります。 $\{{65537}/{n}\}$ $\left\lfloor {\frac {65537}{2}}\right\rfloor =32768$

参照

参考文献

^ヨハン・グスタフ・ヘルメス (1894)。「65537 gleiche Teile の Über die Tailung des Kreises」。Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen、Mathematisch-Physikalische Klasse (ドイツ語)。３．ゲッティンゲン: 170–186。
^ DeTemple, Duane W. (1991年2月). 「Carlyle circles and Lemoine simply of polygon constructions」(PDF) . The American Mathematical Monthly . 98 (2): 97– 208. doi : 10.2307/2323939 . JSTOR 2323939. 2015年12月21日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2011年11月6日閲覧。

参考文献

ワイスタイン、エリック W. 「 65537-gon」。MathWorld 。
ロバート・ディクソン『マソグラフィックス』ニューヨーク：ドーバー、p.53、1991年。
ベンジャミン・ボールド『幾何学の有名な問題とその解決法』ニューヨーク：ドーバー、p.70、1982年。ISBN 978-0486242972
HSM Coxeter著『幾何学入門』第2版、ニューヨーク：Wiley、1969年。第2章正多角形
レナード・ユージン・ディクソン著『定規とコンパスによる作図；正多角形』現代数学の話題に関するモノグラフ第8章
初等教育分野に関連するもの（JWAヤング編）ニューヨーク：ドーバー、pp.352-386、1955年。

外部リンク

65537-gon 2023年1月5日 Wayback Machineにアーカイブmathematik-olympiaden.de (ドイツ語)、HERMES文書の画像付き。2018年7月9日取得
ウィキブックス 65537-Eck (ドイツ語) 2つの主なステップによる最初の辺の近似構築
65537角形、ヒッピアスの四分円とジオゲブラを補助として用いた第1辺の正確な作図と簡単な説明（ドイツ語）

[1] ヨハン・グスタフ・ヘルメス (1894)。「65537 gleiche Teile の Über die Tailung des Kreises」。Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen、Mathematisch-Physikalische Klasse (ドイツ語)。３．ゲッティンゲン: 170–186。

[DeTemple-2] DeTemple, Duane W. (1991年2月). 「Carlyle circles and Lemoine simply of polygon constructions」(PDF) . The American Mathematical Monthly . 98 (2): 97– 208. doi : 10.2307/2323939 . JSTOR 2323939. 2015年12月21日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2011年11月6日閲覧。

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