833セントスケール

黄金比の線分（(A + B) / A = A / B = 1.618）。

黄金比 (φ) 間隔のスタック。Hz で測定されます ((11.09 + 6.854) ÷ 11.09 = 11.09 ÷ 6.854 = 1.618)。

833セント音階を36テット記譜法で表し、スラーは黄金比を示す

833セント音階は、ハインツ・ボーレン^[要説明]が提唱した音楽の調律と音階で、複合音、 833.09セントの音程、そして偶然にもフィボナッチ数列に基づいています。^[1]黄金比は で、音楽の音程としては833.09セントです（再生^ⓘ）。833セント音階では、この音程はオクターブの代わりとして繰り返し音程として用いられますが、^[2]黄金比は等価な音程とはみなされません（833セント音階では、833.09セント離れた音符は、従来の調律で1200セント離れた音符が「同じ」であるのとは異なり、「同じ」ではありません）。ウォルター・オコンネル（1993年著『黄金比の調性』^[3]）やローン・テムズ（1970年著） ^[4]などの他の音楽理論家も、ボーレンの発見以前にこの音階を作成したようだ。 ${\textstyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.6180339887\ldots }$

導出

ユニゾン（中央）、完全4度（左）、完全5度（右）の黄金比の格子

任意の音程から始めて、最も高い原音と最も近い合成音によって生じる音程を取ります。次に、その音程について同じことを行います。これらの音程は「 833セントに近い値に収束します。これは、例えば144.89（833.11セント）の音程では、和音と差音の両方が現れることを意味します…そして、この音程から833セント離れています」。^[1]

基本間隔	最も近い組み合わせ トーン（比率）	最も近い組み合わせ 音（セント）
2:1	3:2	701.955 ⓘ
3:2	5:3	884.359 ⓘ
5:3	8時5分	813.686 ⓘ
8時5分	13:8	840.528 ⓘ
13:8	21:13	830.253
21:13	34:21	834.175
34:21	55:34	832.676
55:34	89:55	833.248
89:55	144:89	833.030
144:89	233:144	833.113
233:144	377:233	833.081
377:233	610:377	833.094
...

例えば、220 Hzと220 Hz（ユニゾン）は、0 Hzと440 Hzにコンビネーショントーンを生成します。440 Hzは220 Hzの1オクターブ上です。220 Hzと440 Hzは、220 Hzと660 Hzにコンビネーショントーンを生成します。660 Hzは440 Hzの完全5度（3:2）上であり、220 Hzと1,100 Hzにコンビネーショントーンを生成します。1,100 Hzは660 Hzの長6度（5:3）上であり、440 Hzと1,760 Hzにコンビネーショントーンを生成します。1,100 Hzと1,760 Hzは短6度（8:5）上です。以下同様です。「ところで、上記の練習の開始点としてどの音程を選択するかは重要ではありません。結果は常に833セントになります。」^[1]

833.09 セントの間隔が決定されると、それらのスタックが生成されます。

トーン	−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5
セント	634.55	267.64	1100.73	733.82	366.91	0	833.09	466.18	99.27	932.36	565.45
比率	1.443	1.167	1.889	1.528	1.236	1.000	1.618	1.309	1.059	1.713	1.386
スケールステップ				6	3	0	7	4	1	8	15

3:2とその逆の4:3にも2つのスタックが生成され、ステップ2と5が提供され、2次元格子が形成されます。黄金比は無理数であるため、黄金比の可能性のあるスタックは3つあり、それらは決してユニゾンまたはオクターブに完全には戻りません。スケールステップ5は597.32セント、スケールステップ-5は602.68セント（5.37セント差）です。

規模

ボーレンは、黄金比の音程の積み重ねから導き出された0、1、3、4、6の音程を持つ対称的な 7音階を説明しています。再生^ⓘ

スケールステップ	0		1		2		3		4		5		6		7		...
セント	00.00		99.27		235.77		366.91		466.18		597.32		733.82		833.09		...
ステップ幅		99.27		136.5		131.14		99.27		131.14		136.5		99.27		...
積み重ねられたトーン ${\displaystyle \varphi }$	0		3				−1		2				−2		1		...

ユニゾン、完全4度、完全5度の13の黄金比の3つのスタック

これは、完全五度音程の積み重ねから長音階を導出すること（FCGDAEB = CDEFGAB）に相当します。参照：生成されたコレクション。

この音階は「833セントの倍音間隔サイクルに一致する特性を持つ、倍音関係のネットワークを含んでいる」^[5] 。ステップ2と5は、ステップ1と3、そしてステップ4と6（267.64セント）の間のギャップを埋めるために選ばれたと考えられる。ステップ2の値（235.77）は、ステップ16（235.77+833.09+833.09）とステップ0の間に完全12度（複合完全5度）を作るために選ばれ、それが選ばれると、音階の対称性からステップ5の値が決定された。ステップ10とステップ0は1オクターブを形成する。7ステップ離れたすべての音符は互いに黄金比を形成する。例えば、ステップ16と9、ステップ10と3は黄金比である。

周波数の繰り返しと、完全五度やオクターブなどの協和音による高次の音程の一致が見られます（黄金比の積み重ねと一致する音程の音程のステップ数は太字で示され、繰り返される音程の比率は太字で示されています）。

ステップ	比率	比率 （小数点以下）	比率 （セント）	幅 （セント）	オーディオ
0	${\displaystyle \varphi }$ ⁄${\displaystyle \varphi }$	1.0000	0		プレイⓘ
				99.27
1	${\displaystyle \varphi }$ ^4 ⁄ 4${\displaystyle \varphi }$	1.0590	99.27		プレイⓘ
				136.50
2	3${\displaystyle \varphi }$ ⁄ ^3${\displaystyle \varphi }$	1.1459	235.77		プレイⓘ
				131.14
3	2${\displaystyle \varphi }$ ⁄ ^2${\displaystyle \varphi }$	1.2361	366.91		プレイⓘ
				99.27
4	${\displaystyle \varphi }$ ^3 ⁄ 2${\displaystyle \varphi }$	1.3090	466.18		プレイⓘ
				131.14
5	${\displaystyle \varphi }$ ⁄ ⁠3${\displaystyle \varphi }$ /${\displaystyle \varphi }$ ^3⁠	1.4120	597.32		プレイⓘ
				136.50
6	4${\displaystyle \varphi }$ ⁄ ^3${\displaystyle \varphi }$	1.5279	733.82		プレイⓘ
				99.27
7 (0)	${\displaystyle \varphi }$ ^2 ⁄${\displaystyle \varphi }$	1.6180	833.09		プレイⓘ
				99.27
8 (1)	${\displaystyle \varphi }$ ^5 ⁄ 4${\displaystyle \varphi }$	1.7135	932.36		プレイⓘ
				136.50
9 (2)	3${\displaystyle \varphi }$ ⁄^2${\displaystyle \varphi }$	1.8541	1,068.86		プレイⓘ
				131.14
10 (3)	${\displaystyle \varphi }$ ⁄${\displaystyle \varphi }$	1.0000	0		プレイⓘ
				99.27
11 (4)	${\displaystyle \varphi }$ ^4 ⁄ 4${\displaystyle \varphi }$	1.0590	99.27		プレイⓘ
				131.14
12 (5)	${\displaystyle \varphi }$ ⁄ ⁠6${\displaystyle \varphi }$ /${\displaystyle \varphi }$ ^4⁠	1.1424	230.41		プレイⓘ
				136.50
13 (6)	2${\displaystyle \varphi }$ ⁄ ^2${\displaystyle \varphi }$	1.2361	366.91		プレイⓘ
				99.27
14 (0)	${\displaystyle \varphi }$ ^3 ⁄ 2${\displaystyle \varphi }$	1.3090	466.18		プレイⓘ
				99.27
15 (1)	${\displaystyle \varphi }$ ^6 ⁄ 8${\displaystyle \varphi }$	1.3863	565.45		プレイⓘ
				136.50
16 (2)	3${\displaystyle \varphi }$ ⁄ 2${\displaystyle \varphi }$	1.5	701.96		プレイⓘ
...

この音階は1オクターブあたり0.83333 × 12の音階（≈10）を含む。^[5]理想的には平均律ではないが、この音階は36平均律で近似することができ、36平均律には伝統的な12平均律が含まれているという利点がある。^[2]

参照

• ケプラーの三角形
• ジップ分布

参考文献

1. Bohlen, Heinz (最終更新2012年). 「833セント音階：調和の実験」, Huygens-Fokker.org .
2. 「833 Cent Golden Scale (Bohlen)」、Xenharmonic Wiki。
3. オコンネル、ウォルター (1993). 「黄金比の調性」、Anaphoria.com。
4. ローン、テメス、「Golden Tones」、トロント大学、1970年。Anaphoria.com
5. パレヨン、ガブリエル (2011).音楽の自己相似性について, p.398. ISBN 9789525431322。

外部リンク

• 「Emulator X を楽しむ: Bohlen 833 セント スケールと倍音」、CatSynth。
• 「黄金比」、Xenharmonic Wiki。