アクアル

AQUALは^、修正ニュートン力学（MOND）に基づく重力理論ですが、ラグランジアンを使用しています。これは、ヤコブ・ベケンシュタインとモルデハイ・ミルグロムが1984年の論文「質量消失問題はニュートン重力の崩壊を示唆しているのか？」 [ ^{1 ]}、およびミルグロムによる1986年の論文^{[ 2 ]}で提唱されました。「AQUAL」は「AQUAdratic Lagrangian（AQUAdratic Lagrangian）」の略で、ニュートン重力とは対照的に、提案されたラグランジアンがポテンシャル勾配に関して非二次関数であるという事実に由来しています。 ${\displaystyle |\nabla \Phi |}$

MONDから得られた重力の法則は、

${\displaystyle m\mu \left({\frac {a}{a_{0}}}\right)a={\frac {GMm}{r^{2}}},}$

には重大な欠陥があります。ニュートンの第3運動法則に違反しており、運動量とエネルギーを保存できません。 ^{[ 3 ]}このことを理解するために、 を持つ2つの物体を考えてみましょう。すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle m\neq M}$

${\displaystyle \mu \left({\frac {a_{m}}{a_{0}}}\right)ma_{m}={\frac {GMm}{r^{2}}}={\frac {GMm}{r^{2}}}=\mu \left({\frac {a_{M}}{a_{0}}}\right)Ma_{M}}$

しかし、第三法則によれば、 ${\displaystyle ma_{m}=Ma_{M},}$

${\displaystyle \mu \left({\frac {a_{m}}{a_{0}}}\right)=\mu \left({\frac {a_{M}}{a_{0}}}\right)}$

たとえ、と が定数であっても、それは小さな引数に対しては非線形であるという MOND 仮定に反します。 ${\displaystyle a_{m}\neq a_{M},}$ ${\displaystyle \mu}$

この問題は、ラグランジアンから力の法則を導出することで解決できますが、その際には力の法則の一般形を修正する必要がある可能性があります。その後、通常の方法でラグランジアンから保存則を導出できます。

AQUAL ラグランジアンは次のとおりです。

${\displaystyle \rho \Phi +{\frac {1}{8\pi G}}a_{0}^{2}F\left({\frac {|\nabla \Phi |^{2}}{a_{0}^{2}}}\right);}$

これにより、修正されたポアソン方程式が得られます。

${\displaystyle \nabla \cdot \left(\mu \left({\frac {|\nabla \Phi |}{a_{0}}}\right)\nabla \Phi \right)=4\pi G\rho ,\qquad {\text{with }}\quad \mu (x)={\frac {dF(x^{2})}{dx}}.}$

ここで、予測される加速度はこれらの方程式は球対称の場合ではMOND方程式に帰着しますが、渦巻銀河やレンズ状銀河のモデル化に必要な円盤銀河の場合は多少異なります。しかし、その差はわずか10～15%であるため、結果に深刻な影響を与えることはありません。 ${\displaystyle -\nabla \Phi =a.}$

サンダースとマクゴーによれば、AQUAL（またはスカラー場がアインシュタインの計量に掛ける共形因子として入るスカラー-テンソル理論）の問題点の1つは、AQUALが豊富な銀河団で実際に観測される重力レンズ効果の量を予測できないことである。^{[ 4 ]} AQUALは広い連星軌道の観測結果と一致すると主張されている。^{[ 5 ]}

参考文献

1. Jacob Bekenstein & M. Milgrom (1984). 「質量消失問題はニュートン重力の崩壊を示唆するのか？」Astrophys. J. 286 : 7–14 . Bibcode : 1984ApJ ...286....7B . doi : 10.1086/162570 .
2. Milgrom, M (1986). 「修正ニュートン力学場方程式の解」 . Astrophys. J. 302 : 617–625 . Bibcode : 1986ApJ ...302..617M . doi : 10.1086/164021 .
3. Felten, JE (1984). 「ミルグロムによるニュートンの法則の改訂 ― 力学的および宇宙論的帰結」 .アストロフィジカル・ジャーナル. 286 : 3. doi : 10.1086/162569 . ISSN 0004-637X . 
4. サンダース, ロバート・H.; マクゴー, ステイシー・S. (2002). 「暗黒物質の代替としての修正ニュートン力学」. Annual Review of Astronomy and Astrophysics . 40 (1): 263– 317. arXiv : astro-ph/0204521 . Bibcode : 2002ARA&A..40..263S . doi : 10.1146/annurev.astro.40.060401.093923 .
5. Chae, Kyu-Hyun (2023-08-01). 「広帯域連星系の内部ダイナミクスにおける低加速度でのニュートン・アインシュタイン標準重力の崩壊」 .アストロフィジカル・ジャーナル. 952 (2): 128. arXiv : 2305.04613 . doi : 10.3847/1538-4357/ace101 . ISSN 0004-637X .