アビヤンカールの推測

抽象代数学において、アフィン曲線に関するアビヤンカール予想は、1957年にシュリーラム・アビヤンカールが特性pの代数関数体のガロア群について提起した予想である。^{[ 1 ]}解けるケースは1990年にセールによって解決され^{[ 2 ]}、完全な予想は1994年にミシェル・レイノーとデイヴィッド・ハーバターの研究によって証明された。^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

声明

この問題には、有限群G、素数p、および特性pの代数閉体K上に定義された非特異積分代数曲線Cの関数体K(C)が含まれます。

この問題は、 K ( C )のガロア拡大Lの存在について問うものである。Lはガロア群Gを持ち、指定された分岐を持つ。幾何学的観点から、L は別の曲線C ′に対応し、射

π : C ′ → C。

幾何学的には、π がC上の有限点集合Sで分岐するという主張は、 π をCにおけるS の補集合に制限するとエタール射となることを意味します。これはリーマン面の場合と類似しています。アビヤンカール予想では、Sは固定されており、問題はGが何であるかです。したがって、これは逆ガロア問題の特殊な型です。

結果

部分群p ( G ) は、素数pに対してGのすべてのシロー部分群によって生成される部分群として定義される。これは正規部分群で あり、パラメータnは、

G / p ( G )。

レイノーは、 CがK上の射影直線である場合を証明した。この予想は、GがLのガロア群として実現され、Sの外側で非分岐でs + 1点を含む場合、そしてその場合のみである、というものである。

n ≤ s。

一般の場合はハーバターによって証明された。gをCの種数とすると、Gが実現できるのは次の場合のみである。

n ≤ s + 2 g。

参考文献

1. Abhyankar、Shreeram (1957)、「Coverings of Algebraic Curves」、American Journal of Mathematics、79 (4): 825–856、doi : 10.2307/2372438、JSTOR  2372438。
2. Serre、Jean-Pierre (1990)、「Construction de revêtements étales de la droite affine en caractéristique p」、Comptes Rendus de l'Académie des Sciences、Série I (フランス語)、311 (6): 341–346、Zbl 0726.14021 
3. Raynaud, Michel (1994)、「Revêtements de la droite affine en caractéristique p > 0」、Inventiones Mathematicae、116 (1): 425–462、Bibcode : 1994InMat.116..425R、doi : 10.1007/BF01231568、Zbl 0798.14013 。
4. Harbater、David (1994)、「曲線上のガロア群に関する Abhyankar の予想」、Inventiones Mathematicae、117 (1): 1–25、Bibcode : 1994InMat.117....1H、doi : 10.1007/BF01232232、Zbl 0805.14014 。
5. フリード、マイケル D. Jarden、Moshe (2008)、フィールド算術、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete。 3. フォルゲ、vol. 11 (第 3 版)、Springer-Verlag、p. 70、ISBN 978-3-540-77269-9、Zbl  1145.12001

外部リンク

• ワイスタイン、エリック W. 「アビヤンカールの予想」。MathWorld 。
• パーデュー大学におけるアビヤンカールの推測に関する一般人の視点