ステアリング法

ヒューマンコンピュータインタラクションおよびエルゴノミクスにおけるステアリング法則は、2 次元のトンネルを移動、つまり操縦するのに必要な時間を記述する、人間の動作の予測モデルです。トンネルは、関連付けられた厚さまたは幅を持つ平面上のパスまたは軌道と考えることができます。幅はトンネルに沿って変化することがあります。ステアリングタスクの目標は、トンネルの境界に触れることなく、トンネルの一方の端からもう一方の端までできるだけ早く移動することです。このタスクに近い現実世界の例は、曲がりくねった道路を車で走行する場合で、車は道路の両側に触れることなく、できるだけ早く道路を移動する必要があります。ステアリング法則は、トンネルを移動できる瞬間速度と、トンネル全体を移動するために必要な合計時間の両方を予測します。

ステアリング法則はこれまで3回独立して発見・研究されてきました（Rashevsky, 1959; Drury, 1971; Accot and Zhai, 1997）。最も最近の発見はヒューマンコンピュータインタラクションの分野において行われ、この法則の最も一般的な数学的定式化につながりました。

人間とコンピュータの相互作用における操縦法則

人間とコンピュータの相互作用において、この法則はジョニー・アコットとシュミン・ザイによって再発見されました。彼らは積分法を用いてフィッツの法則から斬新な方法で数学的にこの法則を導き出し、ある種のタスクについて実験的に検証し、最も一般的な数学的記述を展開しました。このコミュニティ内の研究者の中には、この法則をアコット・ザイの操縦法則、あるいはアコットの法則と呼ぶ人もいます (アコットは英語ではアコット、フランス語ではアコと発音します)。この文脈では、操縦法則は人間の動きの予測モデルであり、ユーザーがポインティングデバイス(マウスやスタイラスなど) を画面上 (トンネルの鳥瞰図など) に表示された 2D トンネル内で操作する際の速度と合計時間に関するものです。ユーザーは、パスの境界内にとどまりながら、パスの一方の端からもう一方の端までできるだけ早く移動する必要があります。この法則の潜在的な実用的応用例の 1 つは、階層的なカスケードメニューをナビゲートする際のユーザーのパフォーマンスをモデル化することです。

アコット自身を含む多くのヒューマンコンピュータインタラクション研究者は、ステアリング法則モデルがほぼ純粋に数学的な方法で導き出されたにもかかわらず、パフォーマンスをこれほど正確に予測できることに驚き、あるいは驚嘆さえしている。これをフィッツの法則の堅牢性の証だと考える人もいる。

一般的な形では、ステアリング法則は次のように表現される。

T＝1つの+b∫CdsW（s）{\displaystyle T=a+b\int _{C}{\frac {ds}{W(s)}}}

ここで、 Tは経路を通過する平均時間、Cはsによってパラメータ化された経路、W(s)はsにおける経路の幅、aとb は実験的に近似された定数です。一般に、経路は複雑な曲線形状（螺旋など）を持ち、その厚さW(s)は変化することがあります。

より単純な経路では、法則の一般形を数学的に簡略化することができる。例えば、経路が一定幅Wの直線トンネルである場合、方程式は次のように簡略化される。

T＝1つの+bあW{\displaystyle T=a+b{\frac {A}{W}}}

ここで、 Aは経路の長さです。特にこの簡略化された形式では、フィッツの法則に似た速度と精度のトレードオフが見られます。

積分方程式の両辺をsに関して微分して、法則の局所的、つまり瞬間的な形を得ることもできます。

dsdT＝W（s）b{\displaystyle {\frac {ds}{dT}}={\frac {W(s)}{b}}}

これは、ユーザーの瞬間的な速度がトンネルの幅に比例することを示しています。これは、車で道路を運転するという類似のタスクを考えてみると直感的に理解できます。道路が広ければ広いほど、カーブがあっても道路から外れることなく、より速く運転できます。

フィッツの法則からのモデルの導出

この導出はあくまでも概略的なものであり、Accot and Zhai (1997) の導出には図示が欠けており、詳細も異なる可能性があります。

ゴール通過（つまり、距離A、幅Wで、運動軸に垂直な方向を向いたゴールにポインターを通過すること）に必要な時間は、次の形式のフィッツの法則でモデル化できると仮定します。

Tゴール＝bログ2⁡（あW+1）{\displaystyle T_{\text{goal}}=b\log _{2}\left({\frac {A}{W}}+1\right)}

すると、長さA、幅Wの一定直線トンネルは、 N個の等間隔に配置されたゴールの列として近似できる。各ゴールは隣接するゴールからA/Nの距離だけ離れている。Nを任意の大きさにすることで、連続するゴール間の距離を無限小にすることができる。すべてのゴールを通過し、トンネルを通過するのにかかる総時間は、

T字型トンネル＝リム北→∞∑私＝1北bログ2⁡（あ/北W+1）{\displaystyle =\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}b\log _{2}\left({\frac {A/N}{W}}+1\right)}
＝リム北→∞北bログ2⁡（あ北W+1）{\displaystyle =\lim _{N\to \infty }Nb\log _{2}\left({\frac {A}{NW}}+1\right)}
＝bリム北→∞ログ2⁡（あ北W+1）1/北{\displaystyle =b\lim _{N\to \infty}{\frac {\log _{2}\left({\frac {A}{NW}}+1\right)}{1/N}}}
＝bリム北→∞ln⁡（あ北W+1）ln⁡（2）⋅1/北{\displaystyle =b\lim _{N\to \infty}{\frac {\ln \left({\frac {A}{NW}}+1\right)}{\ln \left(2\right)\cdot 1/N}}}
＝bln⁡（2）リム北→∞ln⁡（あ北W+1）1/北{\displaystyle ={\frac {b}{\ln \left(2\right)}}\lim _{N\to \infty}{\frac {\ln \left({\frac {A}{NW}}+1\right)}{1/N}}}(ロピタルのルールを適用して…)
＝bln⁡（2）リム北→∞1（あ北W+1）あW（−1/北2）−1/北2{\displaystyle ={\frac {b}{\ln \left(2\right)}}\lim _{N\to \infty}{\frac {{\frac {1}{\left({\frac {A}{NW}}+1\right)}}{\frac {A}{W}}(-1/N^{2})}{-1/N^{2}}}}
＝bln⁡（2）⋅あWリム北→∞1（あ北W+1）{\displaystyle ={\frac {b}{\ln \left(2\right)}}\cdot {\frac {A}{W}}\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{\left({\frac {A}{NW}}+1\right)}}}
＝bln⁡（2）⋅あW{\displaystyle ={\frac {b}{\ln \left(2\right)}}\cdot {\frac {A}{W}}}

bは実験的に近似された定数であり、 とすることに留意する。したがって、T straight tunnel = となる。 b〜:=bln⁡（2）{\displaystyle {\tilde {b}}:={\frac {b}{\ln(2)}}}b〜⋅あW{\displaystyle {\チルダ {b}}\cdot {\frac {A}{W}}}

次に、全長Aの曲線トンネルを考えます。曲線トンネルは、0 からAまで変化するsによってパラメータ化されます。トンネルの幅はW(s)とします。トンネルは、1 からNまで番号が付けられたN 本の直線トンネルの列として近似できます。各トンネルはs i ( i = 1からN )に位置し、長さs i +1  −  s i、幅W ( s i ) です。Nを任意の大きさに増やすと、連続する直線トンネルの長さは無限小になります。曲線トンネルを通過するのに必要な総時間は、

T字型トンネル＝リム北→∞∑私＝1北b〜s私+1−s私W（s私）{\displaystyle =\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}{\tilde {b}}{\frac {s_{i+1}-s_{i}}{W(s_{i})}}}
＝b〜∫0あdsW（s）{\displaystyle ={\tilde {b}}\int _{0}^{A}{\frac {ds}{W(s)}}}（...定積分の定義により）

ステアリング法則の一般的な形が得られます。

ステアリングをレイヤーでモデリングする

ステアリング法則は、厚さtの層におけるステアリングの移動時間を予測するために拡張されている（Kattinakere et al., 2007）。この関係は次のように与えられる。

T＝1つの+b（あ/W）2+（あ/t）2。{\displaystyle T=a+b{\sqrt {(A/W)^{2}+(A/t)^{2}}}.}}

参照

参考文献

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