非巡回モデル

数学の一分野である代数的位相幾何学において、非巡回モデル定理は、2つのホモロジー理論が同型であることを示すために用いられる。この定理は、位相学者のサミュエル・アイレンバーグとサンダース・マクレーンによって発展された。^[1] 彼らは、位相学者が様々なホモロジー理論の同値性を証明するための証明を書く際に、その過程に多くの類似点があることを発見した。アイレンバーグとマクレーンは、この過程を一般化するためにこの定理を発見した。

これはアイレンベルグ・ツィルバー定理を証明するために使用でき、モデルカテゴリのアイデアにつながります。

定理の記述

を任意のカテゴリとし、をある環上の-加群の連鎖複体のカテゴリとする。を共変関手とし、以下の条件を満たすものとする。 ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle F,V:{\mathcal {K}}\to {\mathcal {C}}(R)}$

• ${\displaystyle F_{i}=V_{i}=0}$ のために。${\displaystyle i<0}$
• の基底を持つようなに対してが存在し、したがっては自由関数です。${\displaystyle {\mathcal {M}}_{k}\subseteq {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle k\geq 0}$ ${\displaystyle F_{k}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{k}}$ ${\displaystyle F}$
• ${\displaystyle V}$ はこれらのモデルでは- かつ -非巡回的であり、すべてのおよびすべてのに対してが成り立つことを意味します。${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (k+1)}$ ${\displaystyle H_{k}(V(M))=0}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle M\in {\mathcal {M}}_{k}\cup {\mathcal {M}}_{k+1}}$

すると、次の主張が成り立つ：^{[2] [3]}

• すべての自然変換は 自然な連鎖写像を誘導します。${\displaystyle \varphi :H_{0}(F)\to H_{0}(V)}$ ${\displaystyle f:F\to V}$
• が自然変換である場合、は前述と同様に自然な連鎖写像であり、すべてのモデル に対してである場合、との間には自然な連鎖ホモトピーが存在します。${\displaystyle \varphi ,\psi :H_{0}(F)\to H_{0}(V)}$ ${\displaystyle f,g:F\to V}$ ${\displaystyle \varphi ^{M}=\psi ^{M}}$ ${\displaystyle M\in {\mathcal {M}}_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$
• 特に、連鎖写像は、自然な連鎖ホモトピーまで一意です。${\displaystyle f}$

一般化

射影複体と非環式複体

上記は定理の最も初期のバージョンの一つです。もう一つのバージョンは、がアーベル圏の射影複体であり、 がその圏の非巡回複体である場合、任意の写像はホモトピーを除いて一意な鎖写像 に拡張されるというものです。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K_{0}\to L_{0}}$ ${\displaystyle K\to L}$

これは、関数圏をアーベル圏として用いると、ほぼ上記の定理に特化されます。自由関数は、その圏における射影対象です。関数圏における射影は自然変換であるため、構築される連鎖写像とホモトピーはすべて自然です。違いは、上記のバージョンでは、特定の対象においてのみ非巡回的であることよりも、非巡回的であることの方が強い仮定であるということです。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}(R)^{\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle V}$

一方、上記のバージョンは、対象を1つだけ持つカテゴリを仮定することで、このバージョンをほぼ含意しています。この場合、自由関手は基本的に自由（したがって射影的）な加群に過ぎません。モデル（1つだけ）において非巡回的であることは、複体が非巡回的であることを意味するに過ぎません。 ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

非巡回クラス

上記両者を統一する大定理が存在する。^{[4] [5]}をアーベル圏（例えば、または）と する。上の鎖複体のクラスは、以下の条件を満たす限り、非巡回クラスと呼ばれる。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(R)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(R)^{\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \Gamma}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• 0 複合体は にあります。${\displaystyle \Gamma}$
• 複合体は、懸濁液がそうである場合にのみ、に属します。${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \Gamma}$ ${\displaystyle C}$
• 複体およびがホモトピックかつである場合、 となります。${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K\in \Gamma }$ ${\displaystyle L\in \Gamma }$
• のすべての複合体は非環式です。${\displaystyle \Gamma}$
• が二重複素数で、そのすべての行が に含まれる場合、 の複素数全体は に属します。${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \Gamma}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \Gamma}$

非巡回類の自然な例は3つありますが、他にも間違いなく存在します。1つ目はホモトピー縮退可能な複体です。2つ目は非巡回複体です。関手圏（例えば、位相空間からアーベル群までの全関手の圏）には、各対象上で縮退可能な複体のクラスがありますが、その縮退は自然変換では与えられない場合があります。もう1つの例は、やはり関手圏ですが、この場合は複体が特定の対象上でのみ非巡回となります。

写像錐がに属する複体間の鎖写像の類をと表記する。 は必ずしも右分数または左分数の計算を持つわけではないが、の矢印を反転することで得られる類を形成できる、左分数と右分数のホモトピー類を持つという弱い性質を持つ。^[4]${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Gamma}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma ^{-1}C}$ ${\displaystyle \Sigma }$

を の拡大自己関数とすると、自然変換 （ の恒等関数）が与えられていることを意味する。各 に対して、連鎖複体が - 提示可能であるとき、連鎖複体 は-提示可能であるという。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \epsilon :G\to Id}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \cdots K_{n}G^{m+1}\to K_{n}G^{m}\to \cdots \to K_{n}}$

に属する。境界演算子は次のように与えられる。 ${\displaystyle \Gamma}$

${\displaystyle \sum (-1)^{i}K_{n}G^{i}\epsilon G^{mi}:K_{n}G^{m+1}\to K_{n}G^{m}}$ 。

拡張連鎖複素数 が に属する場合、連鎖複素関数は-非巡回的であるといいます。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L\to H_{0}(L)\to 0}$ ${\displaystyle \Gamma}$

定理。非巡回クラスを とし、対応する連鎖複体の圏における射のクラスを とする。 が-提示可能であり、が -非巡回であるとする。すると、任意の自然変換は、 の圏において連鎖関手の自然変換に拡張され、これは連鎖ホモトピーまで一意である。さらに、 が -提示可能であり、 が -非巡回であり、 が同型であるとすると、 はホモトピー同値である。 ${\displaystyle \Gamma}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f_{0}:H_{0}(K)\to H_{0}(L)}$ ${\displaystyle \Sigma ^{-1}(C)}$ ${\displaystyle f:K\to L}$ ${\displaystyle \Sigma ^{-1}(C)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle f}$

例

この最後の定理の適用例を示します。 を三角形化可能空間の圏、を上のアーベル群値関数の圏とします。 を特異鎖複素関数、 を単体鎖複素関数とします。を各空間に空間 を割り当てる関数とします。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle E:X\to X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}\sum _{{\textrm {Hom}}(\Delta _{n},X)}\Delta _{n}}$ 。

ここで、は -単体であり、この関数はの各-単体のコピーの和を の写像と同じ数だけ割り当てます。次に、が で定義されるとします。明らかな増加があり、これによって 上に が誘導されます。 とはどちらも-表現可能かつ -非巡回であることが示されます( が表現可能かつ非巡回であることの証明は完全に単純ではなく、単体分割を経由する迂回手段を使用しますが、これも上記の定理を使用して処理できます)。 クラスはホモロジー同値のクラスです。 であり であることはむしろ明らかであるため、 上で特異ホモロジーと単体ホモロジーは同型であると結論付けることができます。 ${\displaystyle \Delta _{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Delta _{n}\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G(C)=CE}$ ${\displaystyle EX\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Gamma}$ ${\displaystyle H_{0}(K)\simeq H_{0}(L)}$ ${\displaystyle X}$

代数学と位相幾何学の両方において、他にも多くの例があり、そのいくつかは^{[4] [5]で説明されている。}

参考文献

1. S. アイレンバーグとS. マックレーン (1953)、「非巡回モデル」アメリカ数学誌 75、pp.189–199
2. ジョセフ・J・ロットマン『代数的位相幾何学入門』（1988年）シュプリンガー・フェアラークISBN 0-387-96678-1（第9章9.12参照）
3. Dold, Albrecht (1980), Lectures on Algebraic Topology , A Series of Comprehensive Studies in Mathematics, vol. 200 (第2版), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN  3-540-10369-4
4. M. Barr、「非巡回モデル」（1999年）。
5. M. Barr, Acyclic Models (2002) CRMモノグラフ17、アメリカ数学会ISBN 978-0821828779。

• Schon, R.「非巡回モデルと切除」アメリカ数学会誌 59 (1)(1976)pp.167--168.