高度なZ変換

数学および信号処理において、高度Z変換はZ変換の拡張であり、サンプリング時間の倍数ではない理想的な遅延を組み込むために使用されます。高度Z変換は、例えばデジタル制御における処理遅延を正確にモデル化するために広く適用されています。これは修正Z変換とも呼ばれます。

それは次のような形をとる

${\displaystyle F(z,m)=\sum _{k=0}^{\infty }f(kT+m)z^{-k}}$

どこ

• Tはサンプリング周期
• m（「遅延パラメータ」）はサンプリング周期の割合である${\displaystyle [0,T].}$

プロパティ

遅延パラメータmが固定であると見なされる場合、 Z 変換のすべてのプロパティが高度な Z 変換に保持されます。

直線性

${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{\sum _{k=1}^{n}c_{k}f_{k}(t)\right\}=\sum _{k=1}^{n}c_{k}F_{k}(z,m).}$

タイムシフト

${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{u(t-nT)f(t-nT)\right\}=z^{-n}F(z,m).}$

減衰

${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{f(t)e^{-a\,t}\right\}=e^{-a\,m}F(e^{a\,T}z,m).}$

時間の乗算

${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{t^{y}f(t)\right\}=\left(-Tz{\frac {d}{dz}}+m\right)^{y}F(z,m).}$

最終値定理

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }f(kT+m)=\lim _{z\to 1}(1-z^{-1})F(z,m)。}$

例

次の例を考えてみましょう: ${\displaystyle f(t)=\cos(\omega t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(z,m)&={\mathcal {Z}}\left\{\cos \left(\omega \left(kT+m\right)\right)\right\}\\&={\mathcal {Z}}\left\{\cos(\omega kT)\cos(\omega m)-\sin(\omega kT)\sin(\omega m)\right\}\\&=\cos(\omega m){\mathcal {Z}}\left\{\cos(\omega kT)\right\}-\sin(\omega m){\mathcal {Z}}\left\{\sin(\omega kT)\right\}\\&=\cos(\omega m){\frac {z\left(z-\cos(\omega T)\right)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}-\sin(\omega m){\frac {z\sin(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}\\&={\frac {z^{2}\cos(\omega m)-z\cos(\omega (Tm))}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}.\end{aligned}}}$

すると、変換 ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle F(z,m)}$

${\displaystyle F(z,0)={\frac {z^{2}-z\cos(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}},}$

これは明らかに のz変換です。 ${\displaystyle f(t)}$

参考文献

• ジュリー、エリアフ・イブラハム（1973）『Z変換法の理論と応用』クリーガー社、ISBN 0-88275-122-0. OCLC  836240 .