曲線のアフィン幾何学

微分幾何学の数学分野において、曲線のアフィン幾何学は、アフィン空間内の曲線、特に特殊アフィン群の下で不変であるような曲線の性質を研究する分野である。${\displaystyle {\mbox{SL}}(n,\mathbb {R} )\ltimes \mathbb {R} ^{n}.}$

曲線の古典ユークリッド幾何学において、基本的なツールはフレネ・セレ座標系である。アフィン幾何学では、フレネ・セレ座標系はもはや明確に定義されていないが、曲線に沿って同様の決定的な役割を果たす別の標準的な移動座標系を定義することは可能である。この理論は20世紀初頭に、主にヴィルヘルム・ブラシュケとジャン・ファヴァールの努力によって発展した。

アフィンフレーム

x ( t ) を 内の曲線とする。ユークリッドの場合と同様に、x ( t )の最初のn導関数は線形独立であり、特にx ( t ) は の低次元アフィン部分空間には存在しないと仮定する。この場合、曲線パラメータt は行列式を次のように設定することで正規化できる。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }},&{\ddot {\mathbf {x} }},&\dots ,&{\mathbf {x} }^{(n)}\end{bmatrix}}=\pm 1.}$

このような曲線は、そのアフィン弧長によってパラメータ化されていると言われる。このようなパラメータ化では、

${\displaystyle t\mapsto [\mathbf {x} (t),{\dot {\mathbf {x} }}(t),\dots ,\mathbf {x} ^{(n)}(t)]}$

は、曲線の特殊アフィンフレームとして知られる特殊アフィン群への写像を決定する。つまり、量の各点において、アフィン空間の特殊アフィンフレームが定義される。これは、空間の点xと、その点xに付随する特殊線型基底から構成される。この写像に沿ったマウラー・カルタン形式の引き戻しは、曲線のアフィン構造不変量の完全な集合を与える。平面上では、これは単一のスカラー不変量、すなわち曲線の アフィン曲率を与える。${\displaystyle \mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }},\dots ,\mathbf {x} ^{(n)}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }},\dots ,\mathbf {x} ^{(n)}}$

離散不変量

曲線パラメータsの正規化は、上記のように選択されたため、

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }},&{\ddot {\mathbf {x} }},&\dots ,&{\mathbf {x} }^{(n)}\end{bmatrix}}=\pm 1.}$

n ≡0 (mod 4) またはn ≡3 (mod 4)の場合、この行列式の符号は曲線の離散不変量となる。曲線は、+1 のときはdextrorse（右巻き、ドイツ語ではしばしばweinwendig ）と呼ばれ、 -1 のときは sinistrorse（左巻き、ドイツ語ではしばしばhopfenwendig ）と呼ばれる。

3 次元では、右巻きのらせんは右巻き、左巻きのらせんは左巻きです。

曲率

曲線xがアフィン弧長によってパラメータ化されていると仮定する。すると、xのアフィン曲率k ₁ , …, k _{n −1}は次のように定義される。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \mathbf {x} ^{(n+1)}=k_{1}{\dot {\mathbf {x} }}+\cdots +k_{n-1}\mathbf {x} ^{(n-1)}.}$

このような表現が可能であることの根拠は、行列式の導関数を計算することによって明らかになる。

${\displaystyle 0=\det {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }},&{\ddot {\mathbf {x} }},&\dots ,&{\mathbf {x} }^{(n)}\end{bmatrix}}{\dot {}}\,=\det {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }},&{\ddot {\mathbf {x} }},&\dots ,&{\mathbf {x} }^{(n+1)}\end{bmatrix}}}$

つまり、x ^{( n +1)は}x ′、…、x ^{( n −1)}の線形結合になります。

マトリックスを考えてみましょう

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }},&{\ddot {\mathbf {x} }},&\dots ,&{\mathbf {x} }^{(n)}\end{bmatrix}}}$

その列はxの最初のn階微分である（ただし、特別なアフィン弧長によってパラメータ化されている）。そして、

${\displaystyle {\dot {A}}={\begin{bmatrix}0&1&0&0&\cdots &0&0\\0&0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\cdots &\vdots &\cdots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &1&0\\0&0&0&0&\cdots &0&1\\k_{1}&k_{2}&k_{3}&k_{4}&\cdots &k_{n-1}&0\end{bmatrix}}A=CA.}$

具体的には、行列Cは、 xの最初のn導関数によって与えられたフレームに沿った特殊線型群のマウラー・カルタン形式の引き戻しです。

参照

• 移動フレーム
• アフィン球面

参考文献

• グッゲンハイマー、ハインリッヒ (1977).微分幾何学. ドーバー. ISBN 0-486-63433-7。
• スピヴァック、マイケル(1999). 『微分幾何学入門（第2巻）』 . 『Publish or Perish』. ISBN 0-914098-71-3。