アグニューの定理

アメリカの数学者ラルフ・パーマー・アグニューによって提唱されたアグニューの定理は、すべての級数に対して収束性を保つ無限級数の項の並べ替えを特徴づけるものです。^[1]

記述

1から始まる任意の区間がpによって最大K個の区間の和集合に写像されるような順列が存在するとき、その順列を アグニュー順列^[a]と呼ぶ。ここで、は区間の数である ${\displaystyle p:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle K\in \mathbb {N} }$ ${\textstyle \exists K\in \mathbb {N} \,:\;\forall n\in \mathbb {N} \;\;\#_{[\,]}(p([1,\,n]))\leq K\,}$ ${\displaystyle \#_{[\,]}}$

アグニューの定理は、  すべての収束する実数または複素数項の級数に対するアグニュー順列であり、級数は同じ和に収束する。^[2]${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \iff }$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\,}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{p(i)}}$

系1.  （ の逆）は、すべての発散する実数または複素数項の級数 に対するアグニュー順列であるが、級数は発散する。^[b]${\displaystyle p^{-1}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \implies }$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\,}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{p(i)}}$

系2.  とはすべての実数または複素数項の級数に対するアグニュー順列であり、級数の収束型は同じである。^{[c] [b]}${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p^{-1}}$ ${\displaystyle \implies }$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\,}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{p(i)}}$

使用法

アグニューの定理は、収束がすでに確立されている場合に便利です。任意のアグニュー順列を使用して、同じ和への収束を維持しながら項を並べ替えることができます ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}$

系 2 は、 の収束タイプが不明な場合に役立ちます。 の収束タイプは、元の級数の収束タイプと同じです。 ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{p(i)}}$

例

重要な順列のクラスは、順列の無限合成であり、各構成順列は対応する区間（）にのみ作用します。の場合、 が増加する につれての挙動のみを考えればよいのです${\displaystyle p=\cdots \circ p_{k}\circ \cdots \circ p_{1}}$ ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle [g_{k}+1,\,g_{k+1}]}$ ${\displaystyle g_{1}=0}$ ${\displaystyle p([1,\,n])=[1,\,g_{k}]\cup p_{k}([g_{k}+1,\,n])}$ ${\displaystyle g_{k}+1\leq n<g_{k+1}}$ ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle n}$

連続する項の有界群

連続する項のすべてのグループのサイズが定数で制限される場合、つまり、その逆はアグニュー順列（）であり、つまり、収束型を維持したままグループ内で任意の並べ替えを適用できます。 ${\displaystyle g_{k+1}-g_{k}\leq L\,}$ ${\displaystyle p}$ ${\textstyle K=\left\lfloor {\frac {L}{2}}\right\rfloor }$

連続する項の無限群

連続する項のグループのサイズが無制限に大きくなる場合、 の挙動を調べる必要があります。 ${\displaystyle p_{k}}$

ミラーリング置換と円シフト置換、およびそれらの逆置換は、主区間 に最大 1 区間を追加します。したがって、とその逆置換はアグニュー置換です ( の場合)。つまり、ミラーリングと円シフトは、収束型を保存したままグループ内に適用できます。 ${\displaystyle [1,\,g_{k}]}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle K=2}$

B  > 1 ブロックのブロック並べ替え順列^[d]とその逆順列は、最大で区間 （が大きい場合）を主区間 に追加します。したがって、とその逆順列はアグニュー順列です。つまり、収束型が保存された状態で、グループ内でブロック並べ替えを適用できます。 ${\textstyle \left\lceil {\frac {B}{2}}\right\rceil }$ ${\textstyle g_{k+1}-g_{k}}$ ${\displaystyle [1,\,g_{k}]}$ ${\displaystyle p}$

• 
  その区間の要素を鏡映する順列${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle [g_{k}+1,\,g_{k+1}]}$
• 
  2だけ右に循環的にシフトする順列は、その区間の要素の位置を変える。${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle [g_{k}+1,\,g_{k+1}]}$
• 
  区間内の要素を3つのブロックとして並べ替える順列${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle [g_{k}+1,\,g_{k+1}]}$

注記

1. この用語は、説明を簡略化するためにこの記事でのみ使用されています
2. アグニューの定理とは異なり、この記事の系は同等性を指定せず、含意のみを指定することに注意してください。
3. 絶対収束級数は絶対収束級数に、条件収束級数は条件収束級数（同じ和）に、発散級数は発散級数に変わります。
4. B = 2の場合は 循環シフトです。

参考文献

1. を保存する並べ替え」(PDF) .アメリカ数学月刊. 88 (1): 33–40
2. アグニュー、ラルフ・パーマー (1955). 「級数の収束性を保つ順列」(PDF) . Proc. Amer. Math. Soc . 6 (4): 563– 564.