アルクイン配列

数学において、アルクイン数列はヨークのアルクインにちなんで名付けられ、次のべき級数展開の係数の数列である: ^[1]

${\displaystyle {\frac {x^{3}}{(1-x^{2})(1-x^{3})(1-x^{4})}}=x^{3}+x^{5}+x^{6}+2x^{7}+x^{8}+3x^{9}+\cdots .}$

シーケンスは次の整数で始まります。

0、0、0、1、0、1、1、2、1、3、2、4、3、5、4、7、5、8、7、10、8、12、10、14、12、16、14、19、16、21（OEISのシーケンスA005044）

ゼロから数えてn番目の項、つまりべき級数の係数は、辺が整数で周囲が nである三角形の数です。^[1] これはまた、異なる整数の辺と周囲がn + 6 である三角形の数、つまり 1 ≤  a  <  b  <  c  <  a  +  b、a  +  b  +  c  =  n + 6 となる 3 つの組 ( a、  b、  c ) の数でもあります 。 ${\displaystyle x^{n}}$

先頭の3つのゼロを消すと、n個の空の樽、n個のワインが半分入った樽、 n個の満杯の樽を、それぞれ同じ数の樽と同量のワインを受け取るように3人に分配する方法の数になります。これは、通常アルクインに帰せられる「若者を研ぎ澄ます問題」（ Propositiones ad Acuendos Juvenes）に登場する問題12の一般化です。この問題は次のように与えられます。

問題12：ある父親が亡くなり、3人の息子に30個のガラス瓶を相続させました。そのうち10個には油が満ちており、他の10個には半分しか入っておらず、残りの10個は空でした。油とガラス瓶を、3人の息子に均等に分け、油とガラスの両方を均等に分け与えなさい。^[2]

ラテン語: " XII. quodam paterfamilias et tribus filius eius の命題: Quidam paterfamilias moriens dimisit haereditatem tribus filiis suis, XXX ampullas uitreas, quarum decem fuerunt plenae oleo. Aliae decem dimidiae. Tertiae decem uacuae. Diuidat, qui最も重要な、オレウムとアンプラは、ユニークなエオラム・デ・トリバス・フィリス・オブエニアット・タム・デ・オレオ、「クアム・デ・オレオ」^です。

「アルクインの数列」という用語は、D.オリヴァストロが1993年に出版した数学ゲームに関する著書『古代パズル：過去10世紀の古典的な脳トレとその他の時代を超えた数学ゲーム』（バンタム社、ニューヨーク）に由来すると考えられる。^[4]

^{先頭の3つのゼロを削除した数列は、 [5] [6]}のべき級数展開の係数の数列と等価である。

${\displaystyle {\frac {1}{(1-x^{2})(1-x^{3})(1-x^{4})}}=1+x^{2}+x^{3}+2x^{4}+x^{5}+3x^{6}+\cdots .}$

この配列は、一部の著者によってアルクイン配列とも呼ばれています。^[6]

参考文献

1. Sloane, N. J. A. (編). 「配列A005044（アルクインの配列）」.オンライン整数列百科事典. OEIS財団.
2. 若者を研ぎ澄ます問題、ジョン・ハドリーとデイヴィッド・シングマスター、数学ガゼット、76、#475（1992年3月）、p.109
3. アルクイン、命題への提案 – ウィキソース経由
4. バインダー、ドナルド・J.; エリクソン、マーティン (2012)、「アルクインの数列」、アメリカ数学月刊誌、119 (2): 115– 121、doi :10.4169/amer.math.monthly.119.02.115、S2CID  207521021
5. Sloane, N. J. A. (編). 「シーケンスA266755」.整数シーケンスのオンライン百科事典. OEIS財団.
6. ワイスタイン、エリック W.「アルクインのシーケンス」。マスワールド。