代数的文字

数学において、代数的指標は、半単純リー代数の表現論におけるモジュールに付随する形式表現であり、有限次元表現の指標を一般化するもので、半単純リー群の表現のハリシュ・チャンドラ指標に類似している。

意味

を固定されたカルタン部分代数を持つ半単純リー代数とし、アーベル群をの（おそらく無限の）形式的整線形結合から構成するとする。ここで は重みの（複素）ベクトル空間である。 が局所有限重み加群であるとする。このとき、 の代数的指標は、以下の式で定義されるの元である 。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}},}$ ${\displaystyle A=\mathbb {Z} [[{\mathfrak {h}}^{*}]]}$ ${\displaystyle e^{\mu }}$ ${\displaystyle \mu \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle ch(V)=\sum _{\mu }\dim V_{\mu }e^{\mu },}$

ここで、和はモジュールのすべての重み空間にわたって取られる。${\displaystyle V.}$

例

最も重みの高いヴェルマ加群 の代数特性は次式で与えられる。 ${\displaystyle M_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle ch(M_{\lambda })={\frac {e^{\lambda }}{\prod _{\alpha >0}(1-e^{-\alpha })}},}$

積は正の根集合にわたって取られます。

プロパティ

代数的指標は局所有限重み加群に対して定義され、加法的、すなわち加群の直和の指標はその指標の和である。一方、形式指数の乗法を公式で定義し、線形性によってその有限線型結合に拡張することはできるが、形式無限和の可能性があるため、これは環にはならない。したがって、代数的指標の積は、たとえば最高重み加群、または有限次元加群の場合など、限られた状況でのみ適切に定義される。適切な状況では、代数的指標は乗法的、すなわち 2 つの重み加群のテンソル積の指標はそれらの指標の積である。 ${\displaystyle e^{\mu }\cdot e^{\nu }=e^{\mu +\nu }}$ ${\displaystyle A}$

一般化

カッツ・ムーディ代数または一般化カッツ・ムーディ・リー代数 上の重みモジュールに対しても、ほぼそのままキャラクターを定義することができます。

参照

• 代数的表現
• ワイル・カック指標式

参考文献

• ワイル、ヘルマン（1953年）『古典群：その不変量と表現』（第2版）プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-05756-7。
• Kac, Victor G (1990). 無限次元リー代数. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-46693-8. 2007年3月26日閲覧。
• ウォラック、ノーラン・R; グッドマン、ロー (1998). 『古典群の表現と不変量』ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-66348-2. 2007年3月26日閲覧。