デュアルスペース

数学では、任意のベクトル空間 には、上のすべての線形形式と、定数による 点ごとの加算とスカラー乗算のベクトル空間構造で構成される対応する双対ベクトル空間（または単に双対空間）があります。${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V,}$

上記で定義された双対空間は、あらゆるベクトル空間に対して定義され、曖昧さを避けるために代数的双対空間とも呼ばれる。位相ベクトル空間に対して定義された場合、連続線型汎関数に対応する双対空間の部分空間が存在し、これを連続双対空間と呼ぶ。

双対ベクトル空間は、有限次元ベクトル空間を用いたテンソル解析など、ベクトル空間を用いる数学の多くの分野に応用されています。関数のベクトル空間（通常は無限次元）に適用された場合、双対空間は測度、超関数、ヒルベルト空間を記述するために用いられます。したがって、双対空間は関数解析において重要な概念です。

双対を表す初期の用語には、極性空間（polarer Raum） [Hahn 1927]、共役空間（espace conjugué）、随伴空間（adjoint space） [Alaoglu 1940]、転移空間（transponierter Raum） [Schauder 1930]および[Banach 1932]などがある。双対という用語自体はBourbaki 1938に由来する^{[ 1 ]。}

代数的双対空間

体上の任意のベクトル空間 が与えられると、（代数的）双対空間^{[ 2 ]}（または^{[ 3 ]}または^{[ 4 ] [ 5 ]}と表記される）^{[注 1 ]}は、すべての線型写像（線型汎関数）の成す集合として定義されます。線型写像はベクトル空間準同型であるため、双対空間は と表記されることがあります。^{[ 3 ]} 双対空間自体は 、すべての、、 に対して次を満たす加算とスカラー乗算を備えたとき、 上のベクトル空間になります。たとえば、ベクトル空間をベクトルの集合（およびは実数）として表すと、関数 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V^{\lor}}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle \varphi :V\to F}$ ${\displaystyle \hom(V,F)}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(\varphi +\psi )(x)&=\varphi (x)+\psi (x)\\(a\varphi )(x)&=a\left(\varphi (x)\right)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \varphi ,\psi \in V^{*}}$ ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle a\in F}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle r\mathbf {i} +s\mathbf {j} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$

$${\displaystyle f(r\mathbf {i} +s\mathbf {j} )=r+s}$$

は の要素です。これは-線型であり、 のベクトルをの要素に写像するからです。 ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2})^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

代数双対空間の要素は、共ベクトル、1 形式、または線形形式と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle V^{*}}$

双対空間における関数と の要素とのペアリングは、括弧[ 6 ] または で表されることがあります^{。 [ 7} ]この^{ペアリングは}、自然なペアリングと呼ばれる非退化双線型写像^{[ nb 2 ]}を定義します。 ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \varphi (x)=[x,\varphi ]}$ ${\displaystyle \varphi (x)=\langle x,\varphi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V^{*}\to F}$

デュアルセット

ベクトル空間とその空間上の基底が与えられたとき、双対集合と呼ばれる線型独立な集合を定義できる。 の各ベクトルは、双対集合内の一意のベクトルに対応する。この対応から、単射 が得られる。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle V\to V^{*}}$

が有限次元の場合、双対集合は双対基底と呼ばれる基底であり、その射影は同型です。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V\to V^{*}}$

有限次元の場合

が有限次元で、における基底を持つ場合、双対基底は上の線型汎関数の集合であり、 任意の係数 に対して の関係で定義されます 。特に、これらの係数のそれぞれを 1 に、他の係数を 0 とすると、 の連立方程式が得られます。 ここではクロネッカーのデルタ記号です。この性質は双直交性と呼ばれます。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} ^{1},\dots ,\mathbf {e} ^{n}\}}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}(c^{1}\mathbf {e} _{1}+\cdots +c^{n}\mathbf {e} _{n})=c^{i},\quad i=1,\ldots ,n}$$ ${\displaystyle c^{i}\in F}$ $${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{j}^{i}}$$ ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$

証拠

V の基底を考えます。を次のように定義します。 ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} ^{1},\dots ,\mathbf {e} ^{n}\}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}(c^{1}\mathbf {e} _{1}+\cdots +c^{n}\mathbf {e} _{n})=c^{i},\quad i=1,\ldots ,n}$ 。 これらは、次の理由の根拠となります。 ${\displaystyle V^{*}}$ は線形関数で、やなどをスカラーおよびに写像します。また、および も写像します。したがって、の場合、 が成り立ちます。${\displaystyle \mathbf {e} ^{i},i=1,2,\dots ,n,}$ ${\displaystyle x,y\in V}$ ${\displaystyle x=\alpha _{1}\mathbf {e} _{1}+\dots +\alpha _{n}\mathbf {e} _{n}}$ ${\displaystyle y=\beta _{1}\mathbf {e} _{1}+\dots +\beta _{n}\mathbf {e} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}(x)=\alpha _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}(y)=\beta _{i}}$ ${\displaystyle x+\lambda y=(\alpha _{1}+\lambda \beta _{1})\mathbf {e} _{1}+\dots +(\alpha _{n}+\lambda \beta _{n})\mathbf {e} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}(x+\lambda y)=\alpha _{i}+\lambda \beta _{i}=\mathbf {e} ^{i}(x)+\lambda \mathbf {e} ^{i}(y)}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\in V^{*}}$ ${\displaystyle i=1,2,\dots ,n}$ と仮定する。この関数を の基底ベクトルに順次適用すると、 となる（に適用された関数は となる）。したがって、は に対して線形独立である。${\displaystyle \lambda _{1}\mathbf {e} ^{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {e} ^{n}=0\in V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\dots =\lambda _{n}=0}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} ^{1},\dots ,\mathbf {e} ^{n}\}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ 最後に、 を考えます。すると になります。したがって が生成されます。${\displaystyle g\in V^{*}}$ $${\displaystyle g(x)=g(\alpha _{1}\mathbf {e} _{1}+\dots +\alpha _{n}\mathbf {e} _{n})=\alpha _{1}g(\mathbf {e} _{1})+\dots +\alpha _{n}g(\mathbf {e} _{n})=\mathbf {e} ^{1}(x)g(\mathbf {e} _{1})+\dots +\mathbf {e} ^{n}(x)g(\mathbf {e} _{n})}$$ ${\displaystyle g=g(\mathbf {e} _{1})\mathbf {e} ^{1}+\dots +g(\mathbf {e} _{n})\mathbf {e} ^{n}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} ^{1},\dots ,\mathbf {e} ^{n}\}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ したがって、それは の基礎となります。 ${\displaystyle V^{*}}$

例えば、が の場合、その基底を とします。基底ベクトルは互いに直交しません。すると、および は、、、 となるような1 形式（ベクトルをスカラーに写像する関数）となります。（注：ここでの上付き文字は指数ではなくインデックスです。）この連立方程式は、行列表記法を使用して と表すことができます。 最初の行列の未知の値を解くと、双対基底は であることが示されます。 および は関数であるため、および と書き直すことができます。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1}=(1/2,1/2),\mathbf {e} _{2}=(0,1)\}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}(\mathbf {e} _{1})=1}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}(\mathbf {e} _{2})=0}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{2}(\mathbf {e} _{1})=0}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{2}(\mathbf {e} _{2})=1}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}e^{11}&e^{12}\\e^{21}&e^{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e_{11}&e_{21}\\e_{12}&e_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}.}$$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} ^{1}=(2,0),\mathbf {e} ^{2}=(-1,1)\}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}(x,y)=2x}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{2}(x,y)=-x+y}$

一般に、が のとき、が列を基底ベクトルとする行列であり、が列を双対基底ベクトルとする行列であるとき、 は 位数の単位行列である 。これら2つの基底関数の双直交性により、任意の点は次のように表される 。${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle E=[\mathbf {e} _{1}|\cdots |\mathbf {e} _{n}]}$ ${\displaystyle {\hat {E}}=[\mathbf {e} ^{1}|\cdots |\mathbf {e} ^{n}]}$ $${\displaystyle {\hat {E}}^{\textrm {T}}\cdot E=I_{n},}$$ ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \in V}$

${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {e} ^{i}\rangle \mathbf {e} _{i}=\sum _{i}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {e} _{i}\rangle \mathbf {e} ^{i},}$

基底ベクトルが互いに直交しない場合でも、厳密に言えば、上記の記述は、後述の§ 双線型積と双対空間で説明するように、内積とそれに対応する双対性ペアリングが導入された場合にのみ意味を持ちます。 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

特に、は実数列の空間として解釈でき、その双対空間は通常、実数行の空間として表されます。このような行は、通常の行列乗算によって に対して線型関数として作用します。これは、関数がすべての -ベクトルを実数 に写像するためです。次に、この関数を行列、 を行列、 を行列（当然のことながら実数）と見なすと、次元上の理由から、は行列である必要があります。つまり、は行ベクトルである必要があります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n\times 1}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle 1\times 1}$ ${\displaystyle Mx=y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 1\times n}$ ${\displaystyle M}$

が平面上の幾何学的ベクトル空間からなる場合、の元の準位曲線はにおける平行線の族を形成する。これは、 の値域が1次元であり、その値域内のすべての点が任意の非零元の倍数となるためである。したがって、 の元は、平面を覆う特定の平行線の族として直感的に考えることができる。与えられたベクトル上の関数の値を計算するには、ベクトルがどの直線上にあるかを判断するだけで十分である。非公式には、これはベクトルが何本 の直線と交差するかを「数える」ことである。より一般的には、 が任意の次元のベクトル空間である場合、における線型関数の準位集合は における平行超平面であり、線型関数のベクトルへの作用はこれらの超平面によって視覚化することができる。^{[ 8 ]}${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$

無限次元の場合

が有限次元ではなく、無限集合 でインデックス付けされた基底^{[ nb 3 ]}を持つ場合、有限次元の場合と同じ構成により、双対空間の線形独立な元( ) が生成されますが、基底は形成されません。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{\alpha }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha \in A}$

例えば、有限個の非ゼロ要素のみを含む実数列を要素とする空間 を考えます。この空間は、自然数 でインデックス付けされた基底を持ちます。 の場合、は、 - 番目の位置（1）を除いてすべてゼロからなる列です。の双対空間は（と同型）であり、すべての実数列の空間です。各実数列は、の要素が数 に送られる 関数を定義します。${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$

$${\displaystyle \sum _{n}a_{n}x_{n},}$$

これは有限和です。なぜなら、非零の数は有限個しかないからです。の次元は可算無限ですが、は可算な基底を持ちません。 ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$

この観察は、任意の体上の任意の^{[ nb 3 ]}無限次元ベクトル空間に一般化される。基底の選択は、有限個のに対してのみ0でない関数の空間と同一であり、そのような関数はベクトルと同一である。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{\alpha }:\alpha \in A\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (F^{A})_{0}}$ ${\displaystyle f:A\to F}$ ${\displaystyle f_{\alpha }=f(\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha \in A}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \sum _{\alpha \in A}f_{\alpha }\mathbf {e} _{\alpha }}$$

（の仮定により和は有限であり、基底の定義により任意の がこのように一意に表される）。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle v\in V}$

の双対空間は、 からまでのすべての関数の空間と同一視できる。上の線型関数はを基準として取る値によって一意に決定され、を持つ任意の関数は上の線型 関数を によって定義する。${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F^{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \theta _{\alpha }=T(\mathbf {e} _{\alpha })}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \theta :A\to F}$ ${\displaystyle \theta (\alpha )=\theta _{\alpha }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle T\left(\sum _{\alpha \in A}f_{\alpha }\mathbf {e} _{\alpha }\right)=\sum _{\alpha \in A}f_{\alpha }T(e_{\alpha })=\sum _{\alpha \in A}f_{\alpha }\theta _{\alpha }.}$$

この場合も、がゼロでないのは有限個の に対してのみなので、合計は有限です。 ${\displaystyle f_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$

集合は（本質的に定義により）（それ自身の1次元ベクトル空間として見たときの）の無限個のコピーの直和で、 で添え字付けされたものと同一視される。つまり、線形同型が存在する。 ${\displaystyle (F^{A})_{0}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle V\cong (F^{A})_{0}\cong \bigoplus _{\alpha \in A}F.}$$

一方、は (これも定義により)によって添え字付けされたの無限個のコピーの直積であり、したがってこの同一視は (加群の) 直和と直積を関連付ける一般的な結果 の特殊なケースです。 ${\displaystyle F^{A}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle V^{*}\cong \left(\bigoplus _{\alpha \in A}F\right)^{*}\cong \prod _{\alpha \in A}F^{*}\cong \prod _{\alpha \in A}F\cong F^{A}}$$

ベクトル空間が有限次元でない場合、その（代数的）双対空間は常に元のベクトル空間よりも大きな次元（基数として）を持つ。これは、後述する連続双対空間の場合とは対照的である。連続双対空間は、元のベクトル空間が無限次元であっても、元のベクトル空間と同型となる場合がある。

この次元間の不等式の証明は、次のようになります。

が無限次元 -ベクトル空間である場合、基数の算術的性質から、基数が絶対値 で表される場合、 が成り立つことが示される 。それを証明するには、カントールの対角線論証に類似した議論によって を証明すれば十分である。^{[ 9 ]}双対空間の正確な次元は、エルデシュ・カプランスキーの定理によって与えられる。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle \mathrm {dim} (V)=|A|<|F|^{|A|}=|V^{\ast }|=\mathrm {max} (|\mathrm {dim} (V^{\ast })|,|F|),}$$ ${\displaystyle \mathrm {dim} (V)<\mathrm {dim} (V^{*}),}$ ${\displaystyle |F|\leq |\mathrm {dim} (V^{\ast })|,}$

双線型積と双対空間

が有限次元であるとき、 は と同型である。しかし、一般にこれら2つの空間の間には自然な同型性はない。 ^{[ 10 ]}上の任意の 双線型形式は、 をその双対空間に 写像する。${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle v\mapsto \langle v,\cdot \rangle }$$

ここで、右辺は各をに写像する関数として定義される。言い換えれば、双線型形式は線形写像を決定する。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle w\in V}$ ${\displaystyle \langle v,w\rangle }$

$${\displaystyle \Phi _{\langle \cdot ,\cdot \rangle }:V\to V^{*}}$$

定義

$${\displaystyle \left[\Phi _{\langle \cdot ,\cdot \rangle }(v),w\right]=\langle v,w\rangle .}$$

双線型形式が非退化 である場合、これは の部分空間への同型である。が有限次元である場合、これは の全体への同型である。逆に、から の部分空間への任意の同型（またはが有限次元である場合の 全体）は、によって 上の唯一の非退化双線型形式を定義する。${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\Phi }}$ ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle \langle v,w\rangle _{\Phi }=(\Phi (v))(w)=[\Phi (v),w].\,}$$

したがって、 の (それぞれ のすべての) 部分空間への同型と 上の非退化双線型形式の間には 1 対 1 の対応があります。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$

ベクトル空間が複素体上にある場合、双線型形式ではなく二分線型形式を考える方が自然な場合がある。その場合、与えられた二分線型形式は双対空間の 複素共役と同型性を決定する。${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle \Phi _{\langle \cdot ,\cdot \rangle }:V\to {\overline {V^{*}}}.}$$ 双対空間の共役は、すべての加法複素数値関数の集合と同一視することができ、 ${\displaystyle {\overline {V^{*}}}}$ ${\displaystyle f:V\to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle f(\alpha v)={\overline {\alpha }}f(v).}$$

ダブルデュアルへの注入

から二重双対 への自然な準同型 が存在し、これはすべての に対してによって定義されます。言い換えると、が によって定義される評価写像である場合、 は写像 として定義されます。この写像は常に単射であり^{[注 3 ]} 、が有限次元である場合は常に同型です^{[ 11 ]} 。 実際、有限次元ベクトル空間とその二重双対との同型は、自然同型の典型的な例です。無限次元ヒルベルト空間は、その代数的二重双対とは同型ではありませんが、その連続二重双対とは同型です。 ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{**}=\hom(V^{*},F)}$ ${\displaystyle (\Psi (v))(\varphi )=\varphi (v)}$ ${\displaystyle v\in V,\varphi \in V^{*}}$ ${\displaystyle \mathrm {ev} _{v}:V^{*}\to F}$ ${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi (v)}$ ${\displaystyle \Psi :V\to V^{**}}$ ${\displaystyle v\mapsto \mathrm {ev} _{v}}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle V}$

線形写像の転置

が線型写像である場合、 任意のに対して転置写像（または双対写像）が によって定義されます 。結果として得られる における汎関数はに沿ったの引き戻しと呼ばれます。 ${\displaystyle f:V\to W}$ ${\displaystyle f^{*}:W^{*}\to V^{*}}$ $${\displaystyle f^{*}(\varphi )=\varphi \circ f\,}$$ ${\displaystyle \varphi \in W^{*}}$ ${\displaystyle f^{*}(\varphi )}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle f}$

すべてのおよびに対して次の恒等式が成立する。 ここで、左側の 括弧はとその双対空間との自然な対であり、右側の括弧は とその双対空間との自然な対である。この恒等式は転置 を特徴づけるものであり、^{[ 12 ]}随伴の定義と形式的には類似している。 ${\displaystyle \varphi \in W^{*}}$ ${\displaystyle v\in V}$ $${\displaystyle [f^{*}(\varphi ),\,v]=[\varphi ,\,f(v)],}$$ ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

の割り当てにより、 からへの線型作用素の空間と から への線型作用素の空間との間の単射線型写像が生成される。この準同型写像は、が有限次元である場合に限り同型となる。の場合、線型写像の空間は実際には写像 の合成に関する代数であり、割り当ては代数の反準同型、つまり となる。圏論の言語では、ベクトル空間の双対と線型写像の転置を取ることは、ベクトル空間の圏からそれ自身への反変関手となる。二重双対への自然な注入を使用することと同一視することができる 。 ${\displaystyle f\mapsto f^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W^{*}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V=W}$ ${\displaystyle {(fg)}^{*}=g^{*}f^{*}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f^{**}}$ ${\displaystyle f}$

線型写像がとの2つの基底に関する行列で表される場合、 はとの双対基底に関する転置行列で表されるため、この名前が付けられます。あるいは、が列ベクトルの左側に を作用させることで表されるように、は行ベクトルの右側に を作用させることで表される。これらの観点は の標準内積によって関連しており、これは列ベクトルの空間と行ベクトルの双対空間を同一視する。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle A^{T}}$ ${\displaystyle W^{*}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

商空間と消滅空間

を のサブセットとします。におけるの消滅関数（ここでは と表記）は、すべての に対してとなる線型関数の集合です。つまり、への制約が消えるすべての線型関数から構成されます。有限次元ベクトル空間内では、消滅関数は直交補集合と双対（同型）です。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle S^{0}}$ ${\displaystyle f\in V^{*}}$ ${\displaystyle [f,s]=0}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle S^{0}}$ ${\displaystyle f:V\to F}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f|_{S}=0}$

部分集合の消滅子はそれ自体がベクトル空間である。零ベクトルの消滅子は双対空間全体である：、そして空間全体の消滅子は零共ベクトルである：。さらに、消滅子を の部分集合に割り当てると包含関係が逆転するため、 ならば、 ${\displaystyle \{0\}^{0}=V^{*}}$ ${\displaystyle V^{0}=\{0\}\subseteq V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \{0\}\subseteq S\subseteq T\subseteq V}$ $${\displaystyle \{0\}\subseteq T^{0}\subseteq S^{0}\subseteq V^{*}.}$$

と がの 2つの部分集合である場合、が によってインデックス付けされたの部分集合族のいずれか で、何らかのインデックス集合に属する場合、 となる。 特にとが の部分空間である場合、となり 、^{[ nb 3 ]}${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle A^{0}+B^{0}\subseteq (A\cap B)^{0}.}$$ ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$ $${\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)^{0}=\bigcap _{i\in I}A_{i}^{0}.}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle (A+B)^{0}=A^{0}\cap B^{0}}$$ $${\displaystyle (A\cap B)^{0}=A^{0}+B^{0}.}$$

が有限次元でベクトル部分空間である場合、 二重双対性同型 のもとで第二双対空間におけるその像と 同一視した後、となる。特に、消滅子を形成することは、有限次元ベクトル空間の部分集合格子上の ガロア接続である。${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ $${\displaystyle W^{00}=W}$$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V\approx V^{**}}$

が の部分空間であるならば、商空間はそれ自体ベクトル空間であり、したがって双対となる。第一同型定理によれば、函数が を因数分解できるのは、が の核に含まれる場合のみである。したがって、同型が存在する 。${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V/W}$ ${\displaystyle f:V\to F}$ ${\displaystyle V/W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle (V/W)^{*}\cong W^{0}.}$

特別な結果として、 が2 つの部分空間と の直和である場合、 はとの直和になります。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle A^{0}}$ ${\displaystyle B^{0}}$

次元解析

双対空間は「負」次元空間に類似しています。最も単純な例として、ベクトルはコベクトルと自然なペアリングによって スカラーを得ることができるため、コベクトルはベクトルの次元を「キャンセル」することができます。これは分数 を約分するのと同様です。したがって、直和は（が -次元の場合）-次元空間ですが、 は -次元空間として振る舞います。つまり、 の次元は の次元に対してキャンセルできるということです。これはテンソル縮約によって形式化されます。 ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle \varphi \in V^{*}}$ ${\displaystyle \langle x,\varphi \rangle :=\varphi (x)\in F}$ ${\displaystyle V\oplus V^{*}}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle -n}$ ${\displaystyle V}$

これは物理学において次元解析によって生じ、そこでは双対空間は逆単位を持つ。^{[ 13 ]}自然なペアリングではこれらの単位は打ち消され、結果として得られるスカラー値は予想どおり無次元 になる。たとえば、（連続）フーリエ解析、またはより広義には時間周波数解析では：^{[注 4 ]}単位時間が である 1 次元ベクトル空間が与えられると、双対空間は周波数の単位、つまり単位時間あたりの発生回数（ の単位）を持つ。たとえば、時間が秒で測定される場合、対応する双対単位は秒の逆数である。つまり、3 秒間に、1 秒あたり 2 回発生するイベントは合計 6 回発生し、 に対応する。同様に、主空間が長さを測定する場合、双対空間は長さの逆数 を測定する。 ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 1/t}$ ${\displaystyle 3s\cdot 2s^{-1}=6}$

連続二重空間

位相ベクトル空間を扱う場合、空間 から基底体(または) への連続線型汎関数が特に重要です。これにより、「連続双対空間」または「位相双対」という概念が生じます。これは代数双対空間 の線型部分空間であり、 と表記されます。ユークリッドn空間などの有限次元ノルムベクトル空間または位相ベクトル空間では、連続双対と代数双対は一致します。しかし、不連続線型写像の例で示されるように、無限次元ノルム空間ではこれは当てはまりません。それでも、位相ベクトル空間の理論では、「連続双対空間」および「位相双対空間」という用語はしばしば「双対空間」に置き換えられます。 ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V'}$

位相ベクトル空間 の場合、その連続双対空間^{[ 14 ]}または位相双対空間^{[ 15 ]}または単に双対空間^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}（位相ベクトル空間の理論の意味で）は、すべての連続線型関数の成す空間として定義されます。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle \varphi :V\to {\mathbb {F} }}$

連続双対空間の重要な例としては、コンパクトにサポートされているテスト関数 の空間とその双対である任意分布の空間（一般化関数）、任意テスト関数の空間とその双対であるコンパクトにサポートされている分布の空間、一般化関数の理論における急速に減少するテスト関数の空間であるシュワルツ空間とその双対である緩和分布（緩やかに増加する分布）の空間が挙げられます。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}',}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}',}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}',}$

プロパティ

がハウスドルフ位相ベクトル空間（TVS）である場合、の連続双対空間はの完備化の連続双対空間と同一である。^{[ 1 ]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

デュアル上のトポロジー

位相ベクトル空間 の連続双対 上に位相を導入するための標準的な構成法がある。の有界部分集合の集合を固定する。これはから への集合上の一様収束の位相、あるいは同じことであるの形式の 半ノルムによって生成される位相を与える。${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}},}$

$${\displaystyle \|\varphi \|_{A}=\sup _{x\in A}|\varphi (x)|,}$$

ここでは 上の連続線型関数であり、クラス${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$

これは、関数のネットが関数に近づくのは、 ${\displaystyle \varphi _{i}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle V'}$

$${\displaystyle {\text{ for all }}A\in {\mathcal {A}}\qquad \|\varphi _{i}-\varphi \|_{A}=\sup _{x\in A}|\varphi _{i}(x)-\varphi (x)|{\underset {i\to \infty }{\longrightarrow }}0.}$$

通常 (必ずしもそうとは限りませんが)、クラスは次の条件を満たす必要があります。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• の各点は何らかの集合に属します。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$
• 2 つのセットと はそれぞれ何らかのセット に含まれます。${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {A}}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ スカラーによる乗算の演算に対して閉じています。

これらの要件が満たされる場合、対応する位相はハウスドルフであり、集合 ${\displaystyle V'}$

$${\displaystyle U_{A}~=~\left\{\varphi \in V'~:~\quad \|\varphi \|_{A}<1\right\},\qquad {\text{ for }}A\in {\mathcal {A}}}$$

地域拠点を形成する。

ここでは最も重要な 3 つの特殊なケースを示します。

• 上の強位相は、の有界部分集合上の一様収束の位相です(したがって、ここでは のすべての有界部分集合のクラスとして を選択できます)。${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle V}$

がノルムベクトル空間（例えば、バナッハ空間やヒルベルト空間）である場合、上の強位相はノルム（スカラー体が完備であればバナッハ空間）であり、ノルムは ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V'}$ $${\displaystyle \|\varphi \|=\sup _{\|x\|\leq 1}|\varphi (x)|.}$$

• 上のステレオタイプ位相は、内の完全に有界な集合上の一様収束の位相です(したがって、ここで は 内のすべての完全に有界な部分集合のクラスとして選択できます)。${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle V}$
• 上の弱位相は、 の有限部分集合上の一様収束の位相である（したがって、ここで は のすべての有限部分集合のクラスとして を選択できる）。${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle V}$

上の位相のこれら 3 つの選択はそれぞれ、位相ベクトル空間の 反射性特性の変形につながります。${\displaystyle V'}$

• が強位相を持つ場合、対応する反射性の概念は標準的なものとなる。この意味で反射的な空間は単に反射的と呼ばれる。^{[ 18 ]}${\displaystyle V'}$
• にステレオタイプ双対位相が備わっている場合、対応する反射性がステレオタイプ空間の理論で提示されます。この意味で反射的な空間はステレオタイプと呼ばれます。${\displaystyle V'}$
• が弱位相を持つ場合、対応する反射性は双対理論で提示される。^{[ 19 ]}この意味で反射的な空間は、弱位相を持つ任意の（ハウスドルフ）局所凸空間である。^{[ 20 ]}${\displaystyle V'}$

例

1 < < ∞ を実数とし、すべての数列のバナッハ空間ℓ ^{p を}考える。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {a} =a_{n}}$

$${\displaystyle \|\mathbf {a} \|_{p}=\left(\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}<\infty .}$$

を で定義する。すると、 の連続双対はと自然に同一視される。元 が与えられたとき、 の対応する元は数列である。ここで は、 - 番目の項が 1 で、その他はすべて 0 である数列を表す。逆に、元 が与えられたとき、 の対応する連続線形関数はで定義される。 ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle 1/p+1/q=1}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{q}}$ ${\displaystyle \varphi \in (\ell ^{p})'}$ ${\displaystyle \ell ^{q}}$ ${\displaystyle (\varphi (\mathbf {e} _{n}))}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {a} =(a_{n})\in \ell ^{q}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$

$${\displaystyle \varphi (\mathbf {b} )=\sum _{n}a_{n}b_{n}}$$

すべてに対して（ヘルダーの不等式を参照）。 ${\displaystyle \mathbb {b} =(b_{n})\in \ell ^{p}}$

同様に、 の連続双対は（有界列の空間）と自然に同一視される。さらに、バナッハ空間（すべての収束列から成り、最大ノルムは）と（ゼロに収束する列）の連続双対はどちらも と自然に同一視される。 ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$

リースの表現定理によれば、ヒルベルト空間の連続双対は、元の空間と反同型なヒルベルト空間となる。これは、物理学者が量子力学の数学的定式化において用いるブラケット記法の由来である。

リース・マルコフ・角谷表現定理により、連続関数の特定の空間の連続双対は測度を用いて記述できる。

連続線形写像の転置

が2つの位相ベクトル空間間の連続線型写像である 場合、（連続）転置は前と同じ式で定義されます。 ${\displaystyle T:V\to W}$ ${\displaystyle T':W'\to V'}$

$${\displaystyle T'(\varphi )=\varphi \circ T,\quad \varphi \in W'.}$$

結果として得られる関数は である。この割り当てにより、からへの連続線型写像の空間と から への線型写像の空間との間の線型写像が生成される。と が合成可能な連続線型写像である場合、 ${\displaystyle T'(\varphi )}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle T\to T'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W'}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U}$

$${\displaystyle (U\circ T)'=T'\circ U'.}$$

と がノルム空間であるとき、 における転置のノルムはにおけるのノルムに等しい。転置のいくつかの性質はハーン・バナッハの定理に依存する。例えば、有界線型写像が稠密な範囲を持つのは、転置が単射である場合に限る。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle L(W',V')}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L(V,W)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T'}$

が2つのバナッハ空間との間のコンパクト線型写像であるとき、転置写像はコンパクトである。これはアルツェラ・アスコリの定理を用いて証明できる。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle T'}$

がヒルベルト空間であるとき、からその連続双対 への反線型同型が存在する。上の任意の有界線型写像に対して、転置演算子と随伴演算子は次のように結び付けられる。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle i_{V}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle i_{V}\circ T^{*}=T'\circ i_{V}.}$$

が2つの位相ベクトル空間 との間の連続線型写像である場合、転置はと が「両立する」位相を備えているとき連続です。例えば、とに対して のとき、両方の双対がの有界集合上で一様収束の強位相を持つか、または両方とも上で点単位収束の弱∗ 位相を持ちます。転置はからへ、または からへ連続です。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle T'}$ ${\displaystyle W'}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle X=V}$ ${\displaystyle X=W}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \beta (X',X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X',X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T'}$ ${\displaystyle \beta (W',W)}$ ${\displaystyle \beta (V',V)}$ ${\displaystyle \sigma (W',W)}$ ${\displaystyle \sigma (V',V)}$

殲滅者

がノルム空間の閉線形部分空間であると仮定し、におけるの消滅子を考える。 ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V'}$

$${\displaystyle W^{\perp }=\{\varphi \in V':W\subseteq \ker \varphi \}.}$$

すると、商の双対はと同一視でき、 の双対は商 と同一視できる。^{[ 21 ]} 実際、で商 から への標準射影を表す。すると、転置 はからへの等長同型となり、その範囲は に等しい。が から への注入写像を表す場合、転置の核はの消滅子であり、 これは等長同型 を誘導する ハーン・バナッハの定理 から従う。 ${\displaystyle V/W}$ ${\displaystyle W^{\perp }}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V'/{W^{\perp }}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V/W}$ ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle (V/W)'}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle W^{\perp }}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle j'}$ ${\displaystyle W}$ $${\displaystyle \ker(j')=W^{\perp }}$$ ${\displaystyle j'}$ ${\displaystyle V/W^{\perp }}$

その他の特性

ノルム空間の双対が分離可能であれば、その空間自体も分離可能です。逆は成り立ちません。例えば、空間は分離可能ですが、その双対は分離できません。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle l^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

ダブルデュアル

これは、ベクトル空間からその二重双対へのベクトル加法の自然な変換です。は2つのベクトルの順序付き対を表します。加法 + は、およびを に送ります。この変換によって生じる加法は、双対空間内の任意の に対して と定義できます。${\displaystyle \langle x_{1},x_{2}\rangle }$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}+x_{2}}$ ${\displaystyle +'}$ ${\displaystyle [\Psi (x_{1})+'\Psi (x_{2})](\varphi )=\varphi (x_{1}+x_{2})=\varphi (x)}$ ${\displaystyle \varphi }$

代数的二重双対の場合と同様に、ノルム空間からその連続二重双対への自然に定義された連続線型作用素が常に存在し、それは次のように定義される。 ${\displaystyle \Psi :V\to V''}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V'}$

$${\displaystyle \Psi (x)(\varphi )=\varphi (x),\quad x\in V,\ \varphi \in V'.}$$

ハーン・バナッハの定理の結果として、この写像は実際には等長写像であり、すべての に対してとなる。写像が全単射となるノルム空間は反射的写像と呼ばれる。 ${\displaystyle \|\Psi (x)\|=\|x\|}$ ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle \Psi }$

が位相ベクトル空間であるとき、任意の に対して( ) は同じ式で定義できますが、いくつかの困難が生じます。まず、が局所凸でない場合、連続双対は {0} に等しくなり、写像は自明になる可能性があります。しかし、がハウスドルフであり、局所凸である場合、写像はから連続双対の代数的双対への単射であり、これもハーン・バナッハの定理の帰結です。^{[注 5 ]}${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$

第二に、局所凸設定においても、連続双対 上には複数の自然なベクトル空間位相が定義できるため、連続双対双対 は集合として一意に定義されない。からへの写像、言い換えれば が任意のに対して連続であることは、 の位相に関する合理的な最小要件であり、すなわち評価写像が ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V''}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V''}$ ${\displaystyle \Psi (x)}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle V'}$

$${\displaystyle \varphi \in V'\mapsto \varphi (x),\quad x\in V,}$$

は 上の選択された位相に対して連続である。さらに、 上の位相の選択は依然として存在し、 の連続性はこの選択に依存する。結果として、この枠組みにおける反射性の定義は、正規化された場合よりも複雑になる。 ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V''}$ ${\displaystyle \Psi }$

参照

• ベクトルの共変性と反変性
• デュアルモジュール
• 二重規範
• 双対性（数学）
• 双対性（射影幾何学）
• ポンチャギンの二重性
• 逆格子- 結晶学における双対空間基底

注記

1. このように用いる方法については、 『多様体入門』（ Tu 2011、p. 19）を参照のこと。この表記法は、が他の意味のために予約されている場合にも用いられる。例えば、上記の本文では、は の共微分を表すために頻繁に用いられており、 は形式 の引き戻しを表す。Halmos (1974、p. 20) はの代数的双対を表すために。しかし、他の著者はを連続的双対に用い、を代数的双対に用いている（ Trèves 2006、p. 35）。${\displaystyle V^{\lor }}$ ${\displaystyle (\cdot )^{*}}$ ${\displaystyle F^{*}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F^{*}\omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V^{*}}$
2. 量子力学などの多くの分野では、上で定義されたセスティリニア形式に対して予約されています。${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle V\times V}$
3. この記事におけるいくつかの主張は、その正当性を証明するために選択公理を必要とする。選択公理は、任意のベクトル空間が基底を持つことを示すために必要であり、特に、が基底を持つことを示すために必要である。また、無限次元ベクトル空間の双対が非零であること、したがって、からその二重双対への自然写像が単射であることを示すためにも必要である。${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$
4. 正確には、連続フーリエ解析は、ベクトル空間を定義域とする関数の空間と、双対ベクトル空間上の関数の空間を研究します。
5. が局所的に凸だがハウスドルフでない場合の核は{0} を含む最小の閉部分空間です。${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Psi }$

参考文献

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2. カッツネルソン＆カッツネルソン (2008) p. 37、§2.1.3
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6. ハルモス（1974） 21頁、§14
7. ミスナー、ソーン＆ウィーラー 1973
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9. ニコラ・ブルバキ (1974). ヘルマン編. 『数学の原点：代数I、第1章～第3章』. アディソン・ウェズリー出版社. p. 400. ISBN 0201006391。
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12. ハルモス（1974） §44
13. Tao, Terence (2012-12-29). 「次元解析の数学的形式化」 .同様に、双対空間を…として定義することもできる。${\displaystyle V^{T^{-1}}}$ ${\displaystyle V^{T}}$
14. ロバートソン＆ロバートソン 1964、 II.2
15. シェーファー 1966 , II.4
16. ルディン 1973 , 3.1
17. ブルバキ 2003 , II.42
18. シェーファー 1966、IV.5.5
19. シェーファー 1966、IV.1
20. シェーファー 1966、IV.1.2
21. ルディン 1991、第4章

参考文献

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• ハルモス、ポール・リチャード(1974) [1958].有限次元ベクトル空間（第1版）.シュプリンガー. ISBN 0-387-90093-4。
• Katznelson, イツハク;カッツネルソン、ヨナタン R. (2008)。線形代数の (簡潔な) 入門。アメリカ数学協会。ISBN 978-0-8218-4419-9。
• ラング、セルジュ（2002）、代数学、大学院数学テキスト、第211巻（改訂第3版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-95385-4、MR  1878556、Zbl  0984.00001
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外部リンク

• ワイスタイン、エリック W. 「双対ベクトル空間」。MathWorld 。