馬はすべて同じ色です
「すべての馬は同じ色である」は、数学的帰納法を用いて「すべての馬は同じ色である」という命題を証明する際に誤った方法を用いることから生じる、偽りのパラドックスである。[ 1 ]実際には矛盾は存在しない。なぜなら、これらの議論には重大な欠陥があり、それが誤りであるからだ。この例は、ジョージ・ポリアが1954年に著した著書の中で、数学的帰納法の演習として、 「任意のn個の数は等しいか？」あるいは「任意のn人の少女の目は同じ色である」という別の表現で最初に取り上げられた。 [ 2 ]また、「すべての牛は同じ色である」と言い換えられたこともある。[ 3 ]
このパラドックスの「馬」バージョンは、1961年にジョエル・E・コーエンの風刺的な論文で提示されました。これは補題として提示され、特に著者はアレキサンダー大王は実在せず、無限の数の肢を持っていたことを「証明」することができました。[ 4 ]
議論
この議論は帰納法による証明である。まず、1頭の馬（ ）について基本事例を確立する。次に、もし馬が同じ色であれば、他の馬も同じ色でなければならない ことを証明する。
基本ケース: 1頭の馬
「グループ」に馬が 1 頭しかいない場合は、明らかにそのグループ内のすべての馬の色は同じです。グループ内の馬の色が均一でなくなるためには、異なる色の馬が少なくとも 2 頭存在する必要がありますが、この場合のグループにはそもそも 2 頭の馬は存在しないため、この要件は必然的に存在しません。
帰納的ステップ
馬は常に同じ色であると仮定します。馬の群れを考えてみましょう。
まず、1頭の馬を除外し、他の馬だけを見てみましょう。馬は常に同じ色なので、これらはすべて同じ色です。同様に、（最初に除外した馬とは同一ではない）別の馬を除外し、他の馬だけを見てみましょう。同じ論理で、これらも同じ色でなければなりません。したがって、最初に除外された馬は、除外されていない馬と同じ色であり、除外されていない馬は、除外されたもう1頭の馬と同じ色です。したがって、最初に除外された馬、除外されていない馬、そして最後に除外された馬はすべて同じ色であり、以下のことが証明されました。
- 馬が同じ色であれば、馬も同じ色になります。
基本ケースでは、ルール（「すべての馬は同じ色である」）が に対して有効であることはすでに確認しました。ここで証明された帰納的ステップは、ルールが に対して有効であるため、 に対しても有効であるはずであり、さらに、ルールが に対して有効であることを意味します。
したがって、どの馬のグループでも、すべての馬は同じ色でなければなりません。[ 2 ] [ 5 ]
説明
上記の議論は、 馬の集合の大きさが少なくとも3である[ 3 ]という暗黙の仮定に基づいているため、帰納法の仮定が適用される2つの馬の真部分集合は必然的に共通要素を共有することになる。しかし、これは帰納法の最初のステップ、すなわち の場合には当てはまらない。
2頭の馬を馬Aと馬Bとします。馬Aを取り除くと、集合に残った馬の色は同じです（馬Bだけが残ります）。馬Bを取り除きた場合も同様です。また、馬Bを取り除くと、Aは除外されていない馬と同じ色になり（この場合、Aは除外されていない唯一の馬です）、Aを取り除くとBは除外されていない馬と同じ色になります。しかし、除外されていない馬の2つの集合には共通する要素がないため、それらが互いに同じ色であるとは結論付けできません。したがって、上記の証明は論理的なつながりが壊れています。この証明は偽のパラドックスを形成します。つまり、正当な推論によって明らかに間違っていることを示しているように見えますが、実際には推論に欠陥があります。
参照
参考文献
- ^ウコフスキ、ピョートル (2011).パラドックス。スプリンガー。15ページ 。
- ^ a bポリア、ジョージ（1954年）『数学における帰納法と類推』プリンストン大学出版局、120頁。
- ^ a b Thomas VanDrunen, Discrete Mathematics and Functional Programming、Franklin, Beedle and Associates、2012年、「帰納法の失敗」のセクション
- ^コーエン、ジョエル・E.（1961）「数学的証明の性質について」、ワームランナーズダイジェスト、III（3）. RLウェーバー編『科学におけるランダムウォーク』クレーン・ラサック社、1973年、34-36頁に再録
- ^ 「すべての馬は同じ色」ハーベイ・マッド・カレッジ数学科。2019年4月12日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2023年11月10日閲覧。
