オールパスフィルタ

オールパスフィルターは、すべての周波数帯域を均等に通過させる信号処理フィルターですが、各周波数帯域間の位相関係を変化させます。ほとんどのフィルターは、特定の周波数帯域において、入力信号の振幅（つまり大きさ）を減少させますが、オールパスフィルターは、すべての周波数帯域においてレベル変化なく通過させます。

一般的な用途

電子音楽制作における一般的な応用は、「フェイザー」と呼ばれるエフェクト ユニットの設計です。フェイザーでは、複数のオールパス フィルターが順番に接続され、出力が生の信号とミックスされます。

これは、周波数の関数として位相シフトを変化させることによって実現されます。一般的に、フィルタは位相シフトが90°を超える周波数（つまり、入力信号と出力信号が直交する周波数 、つまり両者の間に1/4波長の遅延が生じる周波数）で表されます。

これらは通常、システム内で発生するその他の望ましくない位相シフトを補正したり、シフトされていない元のバージョンと混合してノッチコム フィルタを実装するために使用されます。

また、混合位相フィルタを同等の振幅応答を持つ最小位相フィルタに変換したり、不安定なフィルタを同等の振幅応答を持つ安定なフィルタに 変換したりするためにも使用できます。

アクティブアナログ実装

[ 1 ]

ローパスフィルタを使用した実装

ローパス フィルタを組み込んだオペアンプ ベースのオールパス フィルタ。

隣の図に示すオペアンプ回路は、オペアンプの非反転入力にローパスフィルタを備えた単極アクティブオールパスフィルタを実装しています。このフィルタの伝達関数は次のように表されます。

H（s）＝−s−1RCs+1RC＝1−sRC1+sRC、{\displaystyle H(s)=-{\frac {s-{\frac {1}{RC}}}{s+{\frac {1}{RC}}}}={\frac {1-sRC}{1+sRC}},\,}

これは-1/RCに極を持ち、1/RCに零点を持つ（つまり、複素平面の虚軸を挟んで互いに鏡映しとなっている）。ある角周波数ω に対するH(iω)の振幅と位相は、

|H（私ω）|＝1そして∠H（私ω）＝−2アークタンジェント⁡（ωRC）。{\displaystyle |H(i\omega )|=1\quad {\text{and}}\quad \angle H(i\omega )=-2\arctan(\omega RC).\,}

このフィルタは、すべてのωに対してユニティゲイン振幅を持ちます。このフィルタは各周波数で異なる遅延を導入し、ω=1/RC（つまり位相シフトが90°）で入力から出力への直交位相に達します。[ 2 ]

この実装では、非反転入力でローパス フィルタを使用して位相シフトと負帰還を生成します。

  • 高周波では、コンデンサは短絡し、単位ゲインの反転増幅器（つまり、180°位相シフト）を作成します。
  • 低周波数およびDCでは、コンデンサは開回路となり、ユニティゲイン電圧バッファ（つまり、位相シフトなし）を形成します。
  • ローパス フィルタのコーナー周波数ω = 1/RC (つまり、入力周波数が 1/(2πRC) のとき)では、回路は 90° シフトを導入します (つまり、出力は入力と直交し、出力は入力から 1/4周期だけ遅延しているように見えます)。

実際、オールパス フィルタの位相シフトは、非反転入力におけるローパス フィルタの位相シフトの 2 倍になります。

純粋な遅延に対するパデ近似としての解釈

純粋遅延のラプラス変換は次のように与えられる。

e−sT、{\displaystyle e^{-sT},}

ここで、 は遅延（秒単位）、は複素周波数です。これはパデ近似を用いて次のように近似できます。 T{\displaystyle T}s∈C{\displaystyle s\in \mathbb {C} }

e−sT＝e−sT/2esT/2≈1−sT/21+sT/2、{\displaystyle e^{-sT}={\frac {e^{-sT/2}}{e^{sT/2}}}\approx {\frac {1-sT/2}{1+sT/2}},}

最後のステップは、分子と分母の一次テイラー展開によって達成されました。設定することで、上記の式を復元できます。 RC＝T/2{\displaystyle RC=T/2}H（s）{\displaystyle H(s)}

ハイパスフィルタを使用した実装

ハイパス フィルタを組み込んだオペアンプ ベースのオールパス フィルタ。

隣の図に示すオペアンプ回路は、オペアンプの非反転入力にハイパスフィルタを備えた単極アクティブオールパスフィルタを実装しています。このフィルタの伝達関数は次のように表されます。

H（s）＝s−1RCs+1RC、{\displaystyle H(s)={\frac {s-{\frac {1}{RC}}}{s+{\frac {1}{RC}}}},\,}[ 3 ]

これは-1/RCに極を持ち、1/RCに零点を持つ（つまり、複素平面の虚軸を挟んで互いに鏡映しとなっている）。ある角周波数ω に対するH(iω)の振幅と位相は、

|H（私ω）|＝1そして∠H（私ω）＝π−2アークタンジェント⁡（ωRC）。{\displaystyle |H(i\omega )|=1\quad {\text{and}}\quad \angle H(i\omega )=\pi -2\arctan(\omega RC).\,}

このフィルタは、すべてのωに対してユニティゲイン振幅を持ちます。フィルタは各周波数で異なる遅延を導入し、ω=1/RC（つまり位相進みが90°）で入力から出力への直交位相に達します。

この実装では、非反転入力でハイパス フィルタを使用して位相シフトと負帰還を生成します。

実際、オールパス フィルタの位相シフトは、非反転入力におけるハイパス フィルタの位相シフトの 2 倍になります。

電圧制御実装

抵抗器を抵抗モードのFETに置き換えることで、電圧制御型位相シフターを実装できます。ゲート電圧によって位相シフトを調整します。電子音楽におけるフェイザーは通常、2つ、4つ、または6つの位相シフトセクションを直列に接続し、元のフェイザーと加算して構成されます。低周波発振器（LFO）は制御電圧を段階的に変化させることで、特徴的なシューという音を生成します。

パッシブアナログ実装

オペアンプなどの能動部品を用いてオールパスフィルタを実装する利点は、集積回路設計においてサイズが大きくコストのかかるインダクタを必要としないことです。インダクタが容易に入手できる他のアプリケーションでは、能動部品を全く使用せずにオールパスフィルタを実装できます。この用途には様々な回路トポロジが存在します。以下は最も一般的に使用される回路です。

ラティスフィルター

ラティストポロジーを用いたオールパスフィルタ

ラティス位相イコライザー（フィルタ）は、ラティス（X字型）セクションで構成されるフィルタです。単一素子分岐では最大180°、共振分岐では最大360°の位相シフトが可能です。このフィルタは定抵抗ネットワーク（つまり、イメージインピーダンスが全周波数範囲で一定）の一例です。

Tセクションフィルター

Tトポロジーに基づく位相イコライザーは、ラティスフィルタの不平衡型等価回路であり、同じ位相応答を持ちます。回路図はローパスフィルタのように見えますが、2つのインダクタの分岐が相互に結合されている点で異なります。これにより、2つのインダクタ間に変圧器のような作用が生じ、高周波においてもオールパス応答が得られます。

ブリッジTセクションフィルター

ブリッジTトポロジーは遅延イコライゼーション、特にステレオ音声放送に使用される2本の固定回線間の遅延差の調整に使用されます。この用途では、フィルタが広い帯域幅にわたって周波数に対して線形位相応答（つまり、一定の群遅延）を持つことが求められ、これがこのトポロジーが選択された理由です。

デジタル実装

複素極を持つオールパスフィルタのZ変換実装は、 z0{\displaystyle z_{0}}

H（z）＝z−1−z0¯1−z0z−1 {\displaystyle H(z)={\frac {z^{-1}-{\overline {z_{0}}}}{1-z_{0}z^{-1}}}\ }

これは に零点を持ち、 は複素共役を表します。極と零点は同じ角度にありますが、大きさは互いに逆です（つまり、複素単位円の境界を挟んで互いに鏡映し出されます）。与えられた に対するこの極零点ペアの配置は、複素平面内で任意の角度回転させても、その全域通過振幅特性を維持できます。全域通過フィルタにおける複素極零点ペアは、位相シフトが発生する周波数を制御するのに役立ちます。 1/z0¯{\displaystyle 1/{\overline {z_{0}}}}z¯{\displaystyle {\overline {z}}}z0{\displaystyle z_{0}}

実係数のオールパスフィルタを実現するには、複素オールパスフィルタを を代用するオールパスフィルタとカスケード接続することで、Z 変換を実現 できる。z0¯{\displaystyle {\overline {z_{0}}}}z0{\displaystyle z_{0}}

H（z）＝z−1−z0¯1−z0z−1×z−1−z01−z0¯z−1＝z−2−2ℜ（z0）z−1+|z0|21−2ℜ（z0）z−1+|z0|2z−2、 {\displaystyle H(z)={\frac {z^{-1}-{\overline {z_{0}}}}{1-z_{0}z^{-1}}}\time {\frac {z^{-1}-z_{0}}{1-{\overline {z_{0}}}z^{-1}}}={\frac {z^{-2}-2\Re (z_{0})z^{-1}+\left|{z_{0}}\right|^{2}}{1-2\Re (z_{0})z^{-1}+\left|z_{0}\right|^{2}z^{-2}}},\ }

これは差分方程式と等価である

y[け]−2ℜ（z0）y[け−1]+|z0|2y[け−2]＝×[け−2]−2ℜ（z0）×[け−1]+|z0|2×[け]、{\displaystyle y[k]-2\Re (z_{0})y[k-1]+\left|z_{0}\right|^{2}y[k-2]=x[k-2]-2\Re (z_{0})x[k-1]+\left|z_{0}\right|^{2}x[k],\,}

ここでは出力であり、は離散時間ステップ における入力です。 y[け]{\displaystyle y[k]}×[け]{\displaystyle x[k]}け{\displaystyle k}

上記のようなフィルタは、不安定なフィルタや混合位相フィルタとカスケード接続することで、システムの振幅応答を変化させることなく、安定なフィルタや最小位相フィルタを作成することができます。例えば、 を適切に選択することで、単位円の外側にある不安定なシステムの極をキャンセルし、単位円の内側に反映させることができます。 z0{\displaystyle z_{0}}

参照

参考文献

  1. ^誰でも使えるオペアンプ、ロン・マンシーニ、ニューネス 780750677011
  2. ^ Maheswari, LK; Anand, MMS, Analog Electronics、 pp. 213-214、PHI Learning、2009 ISBN 9788120327221。
  3. ^ Williams, AB; Taylor, FJ,電子フィルタ設計ハンドブック、McGraw-Hill、1995 ISBN 0070704414、10.7ページ。
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