アラン分散

クロックを最も簡単にテストするには、はるかに正確な基準クロックと比較します。基準クロックで測定された時間間隔τの間、テスト対象のクロックはτyだけ進みます。ここで、yはその時間間隔における平均（相対）クロック周波数です。図のように2つの連続した時間間隔を測定すると、 ( y − y ′ ) ²という値が得られます。値が小さいほど、クロックは安定して高精度であることを示します。この手順を何度も繰り返すと、 ( y − y ′ ) ²の平均値は、観測時間τにおけるアラン分散（またはアラン偏差の2乗）の2倍に等しくなります。

アラン分散（AVAR ）は、 2標本分散とも呼ばれ、クロック、発振器、増幅器における周波数安定性の指標です。David W. Allanにちなんで名付けられ、数学的には と表されます。アラン偏差（ADEV ）はシグマ・タウとも呼ばれ、アラン分散の平方根です。 ${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )}$ ${\displaystyle \sigma _{y}(\tau )}$

Mサンプル分散は、 Mサンプル、測定間隔T 、観測時間を用いた周波数安定性の尺度である。M サンプル分散は次のように表される 。${\displaystyle \tau}$

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(M,T,\tau ).}$

アラン分散は、ノイズプロセスによる安定性を推定するためのものであり、周波数ドリフトや温度影響などの系統的誤差や不完全性による安定性を推定するためのものではありません。アラン分散とアラン偏差は周波数安定性を表します。以下の「値の解釈」セクションも参照してください。

アラン分散には様々な適応型や改変型があり、特に修正アラン分散MAVARまたはMVAR、全分散、アダマール分散が挙げられます。また、時間偏差（TDEV）や時間分散（TVAR）といった時間安定性の変種も存在します。アラン分散とその変種は、計時以外でも有用であることが証明されており、ノイズプロセスが無条件に安定でない場合（導関数が存在する場合）に使用できる改良された統計ツール群です。

一般的なM標本分散は、測定におけるデッドタイムを考慮し、バイアス関数によってアラン分散値に変換できるため、依然として重要です。しかし、ほとんどのアプリケーションでは、2標本分散、つまり「アラン分散」の特殊なケースが最も重要です。 ${\displaystyle T=\tau}$

クロックのアラン偏差のグラフ例。観測時間τ が非常に短い場合、ノイズの影響でアラン偏差は大きくなります。τ が長くなると、ノイズが平均化されるためアラン偏差は減少します。τ がさらに長くなると、アラン偏差は再び増加し始めます。これは、温度変化、部品の経年劣化、その他の要因によりクロック周波数が徐々にドリフトしていることを示唆しています。エラーバーがτとともに増加するのは、 τ が大きい場合、多くのデータポイントを取得するのに時間がかかるためです。

平均時間の関数としてのアラン偏差の図。5つの典型的な状態を示しています。^{[ 1 ]} 1. ホワイト/フリッカー位相変調ノイズ（PM）：最高周波数では、位相ノイズが支配的です。これは に相当します。しかし、ホワイトPMは ですが、フリッカーPMは です。アラン分散図ではこれらを区別できません。区別するには、修正アラン分散図が必要です。2. ホワイト周波数変調ノイズ（FM）：低周波数では、周波数のホワイトノイズが支配的です。これは に相当します 。3. フリッカーFM：。これは「ピンクノイズ」とも呼ばれます。4. ランダムウォークFM：。これは「ブラウンノイズ」または「ブラウンノイズ」とも呼ばれます。この状態では、システムの周波数はランダムウォークを実行します。つまり、ホワイトノイズになります。5. 周波数ドリフト：。この状態では、システムの周波数はピンクノイズウォークを実行します。つまり、ピンクノイズになります。${\displaystyle \sigma (\tau )\propto \tau ^{-1}}$ ${\displaystyle S[f]=f^{3}}$ ${\displaystyle S[f]=f^{2}}$ ${\displaystyle \sigma (\tau )\propto \tau ^{-1/2},S[f]=f^{0}}$ ${\displaystyle \sigma (\tau )\propto \tau ^{0},S[f]\propto f^{-1}}$ ${\displaystyle \sigma (\tau )\propto \tau ^{+1/2},S[f]\propto f^{-2}}$ ${\displaystyle df/dt}$ ${\displaystyle \sigma (\tau )\propto \tau ^{+1},S[f]\propto f^{-3}}$ ${\displaystyle df/dt}$

背景

水晶発振器と原子時計の安定性を調査したところ、白色雑音だけでなくフリッカー周波数雑音も位相雑音として存在することが判明した。これらの雑音は、標準偏差などの従来の統計ツールでは推定値が収束しないため、問題となる。したがって、この雑音は発散性があると言われる。安定性を解析するための初期の取り組みには、理論解析と実測の両方が含まれていた。^{[ 2 ] [ 3 ]}

こうした種類のノイズが存在することの重要な副作用は、様々な測定方法が互いに一致しなかったため、測定の再現性という重要な側面を達成できなかったことです。これにより、発生源を比較し、サプライヤーに要求する意味のある仕様を策定する可能性が制限されます。そのため、あらゆる科学的および商業的用途は、その用途のニーズを捉えられることを期待して、専用の測定に限定されていました。

これらの問題に対処するため、デイビッド・アラン（David Allan）はM標本分散と（間接的に）2標本分散を導入した。^{[ 4 ]} 2標本分散ではすべての種類のノイズを完全に区別することはできないものの、2つ以上の発振器間の位相または周波数の時系列測定において、多くのノイズ形態を意味のある形で分離する手段を提供した。アランは、共通の2標本分散を介して任意のM標本分散を任意のN標本分散に変換する方法を提供し、すべてのM標本分散を比較可能にした。この変換メカニズムによって、 M標本分散は大きなMに対して収束しないことも証明され、そのためあまり有用ではなくなった。IEEEは後に2標本分散を推奨される指標として特定した。^{[ 5 ]}

初期の懸念事項は、測定間にデッドタイム（むだ時間）のある時間・周波数測定器に関するものでした。このような一連の測定では信号の連続的な観測が成立せず、測定に系統的なバイアスが生じてしまいます。これらのバイアスの推定には細心の注意が払われていました。ゼロデッドタイムカウンタの導入により、この必要性はなくなりましたが、バイアス解析ツールは有用であることが証明されています。

初期の懸念事項の一つは、測定機器の帯域幅が測定にどのような影響を与えるかであり、この点に注意を払う必要があった。後に、観測値をアルゴリズム的に変更することで、低い値のみが影響を受け、高い値には影響がないことが判明した。 の変更は、を測定時間軸の整数倍にすることで行われる。 ${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \tau_{0}}$

${\displaystyle \tau =n\tau _{0}.}$

水晶発振器の物理的性質はDB Leeson ^{[ 3 ]}によって解析され、その結果は現在Leeson の方程式と呼ばれています。発振器のフィードバックにより、フィードバック増幅器と水晶のホワイトノイズとフリッカーノイズは、それぞれホワイト周波数ノイズとフリッカー周波数ノイズのべき乗則ノイズになります。これらのノイズ形態は、時間誤差サンプルを処理する際に標準分散推定量が収束しないという影響を及ぼします。発振器の安定性に関する研究が始まった当時はフィードバック発振器の仕組みは未知でしたが、 David W. Allanによって統計ツールセットが利用可能になったのと同時に Leeson によって発表されました。Leeson効果に関するより詳細な説明については、最新の位相ノイズ文献を参照してください。^{[ 6 ]}${\displaystyle f^{-2}}$ ${\displaystyle f^{-3}}$

価値の解釈

アラン分散は、サンプリング周期にわたって連続的にサンプリングされた周波数偏差の差の二乗の時間平均の半分として定義されます。アラン分散はサンプリング間隔に依存するため、一般的にτで表されるサンプリング周期と測定対象の分布の関数となり、単一の数値ではなくグラフとして表示されます。アラン分散が低いということは、測定周期全体にわたって良好な安定性を持つ時計の特徴です。

アラン偏差は、グラフ（通常は両対数形式）や数値の表示に広く用いられています。相対的な振幅の安定性を示し、他の誤差源との比較が容易なため、好まれています。

観測時間1秒（τ = 1秒）におけるアラン偏差が1.3 × 10 ⁻⁹の場合、1秒間隔の2つの観測値間の周波数が不安定であり、相対二乗平均平方根（RMS）値が1.3 × 10 ⁻⁹であると解釈されます。10 MHzのクロックの場合、これは13 mHzのRMS移動に相当します。発振器の位相安定性が必要な場合は、時間偏差の変数を参照して使用する必要があります。

アラン分散やその他の時間領域分散を、時間（位相）と周波数の安定性の周波数領域測定値に変換することができる。^{[ 7 ]}

処方

Mサンプル分散

時系列が与えられた場合、任意の正の実数に対して、実数列を定義します。次に、サンプル分散は、列のベッセル補正分散として定義されます^{[ 4 ]}（ここでは現代的な表記形式で）：記号の解釈は次のとおりです。 ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle T,\tau }$ $${\displaystyle {\bar {y}}_{i}={\frac {x(iT+\tau )-x(iT)}{\tau }}\quad i=0,1,2,...}$$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\bar {y}}_{0},...,{\bar {y}}_{M-1}}$ $${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(M,T,\tau )={\frac {M}{M-1}}\left({\frac {1}{M}}\sum _{i=0}^{M-1}{\bar {y}}_{i}^{2}-\left[{\frac {1}{M}}\sum _{i=0}^{M-1}{\bar {y}}_{i}\right]^{2}\right),}$$

• ${\displaystyle t}$ 基準クロックの読み取り値（任意の単位）です。
• ${\displaystyle x(t)}$ は、テスト対象のクロックの読み取り値（任意単位）を、基準クロックの読み取り値の関数として表したものです。これは、平均分数周波数時系列として解釈することもできます。
• ${\displaystyle {\bar {y}}_{n}}$ は観測時間にわたるn^番目の分数頻度平均です。${\displaystyle \tau}$
• ${\displaystyle M}$ は、サンプル分散を計算する際に使用されるクロック読み取り間隔の数であり、${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle T}$ 各周波数サンプル間の時間です。
• ${\displaystyle \tau}$ 各頻度推定の時間の長さ、つまり観測期間です。

デッドタイムは、 の時間とは異なっていることによって説明できます。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \tau}$

アラン分散

アラン分散は次のように定義される。

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )=\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau ,\tau )\right\rangle ={\frac {1}{2}}\left\langle \left({\bar {y}}_{n+1}-{\bar {y}}_{n}\right)^{2}\right\rangle ={\frac {1}{2\tau ^{2}}}\left\langle \left(x_{n+2}-2x_{n+1}+x_{n}\right)^{2}\right\rangle }$

ここで、 は期待値演算子を表します。 ${\displaystyle x_{n}:=x(n\tau )}$ ${\displaystyle \langle \dotsm \rangle }$

この条件は、サンプル間にデッドタイムが発生せずにサンプルが取得されることを意味します。 ${\textstyle T=\tau }$

アラン偏差

標準偏差や分散と同様に、アラン偏差はアラン分散の平方根として定義されます。

${\displaystyle \sigma _{y}(\tau )={\sqrt {\sigma _{y}^{2}(\tau )}}。$

補足定義

発振器モデル

分析対象となる発振器は、以下の基本モデルに従うものと仮定する。

${\displaystyle V(t)=V_{0}\sin(\Phi (t)).}$

発振器の公称周波数は（サイクル/秒（SI単位：ヘルツ））であると仮定する。公称角周波数（ラジアン/秒）は次のように表される 。${\displaystyle \nu _{\text{n}}}$ ${\displaystyle \omega _{\text{n}}}$

${\displaystyle \omega _{\text{n}}=2\pi \nu _{\text{n}}.}$

全体の位相は、完全に周期的な要素と変動する要素に分けることができます。 ${\displaystyle \omega _{\text{n}}t}$ ${\displaystyle \varphi (t)}$

${\displaystyle \Phi (t)=\omega _{\text{n}}t+\varphi (t)=2\pi \nu _{\text{n}}t+\varphi (t).}$

時間エラー

時間誤差関数x ( t )は、予想される公称時間と実際の通常時間の差です。

${\displaystyle x(t)={\frac {\varphi (t)}{2\pi \nu _{\text{n}}}}={\frac {\Phi (t)}{2\pi \nu _{\text{n}}}}-t=T(t)-t.}$

測定値に対して、時間誤差系列TE( t )は基準時間関数_Tref ( t )から次のように 定義される。

${\displaystyle TE(t)=T(t)-T_{\text{ref}}(t).}$

頻度関数

頻度関数は時間経過に伴う頻度であり、次のように定義される。 ${\displaystyle \nu (t)}$

${\displaystyle \nu (t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {d\Phi (t)}{dt}}.}$

分数周波数

比周波数y ( t )は、周波数と公称周波数の正規化された差です。 ${\displaystyle \nu (t)}$ ${\displaystyle \nu _{\text{n}}}$

${\displaystyle y(t)={\frac {\nu (t)-\nu _{\text{n}}}{\nu _{\text{n}}}}={\frac {\nu (t)}{\nu _{\text{n}}}}-1.}$

平均分数周波数

平均分数頻度は次のように定義される。

${\displaystyle {\bar {y}}(t,\tau )={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }y(t+t_{v})\,dt_{v},}$

ここで、平均は観測時間τにわたって取られ、y ( t ) は時刻tにおける分数周波数誤差、τは観測時間です。

y ( t ) はx ( t )の微分なので、一般性を失うことなく次のように書き直す ことができる。

${\displaystyle {\bar {y}}(t,\tau )={\frac {x(t+\tau )-x(t)}{\tau }}.}$

推定値

この定義は、無限時間にわたって積分した統計的期待値に基づいています。現実世界ではこのような時系列は考えられないため、その場合は代わりに統計的推定量を使用する必要があります。本稿では、いくつかの異なる推定量を提示し、議論します。

コンベンション

• 分数周波数系列内の周波数サンプルの数はMで表されます。
• 時間誤差系列内の時間誤差サンプルの数はNで表されます。

  分数周波数サンプル数と時間誤差系列の関係は、次の関係で固定されている。

  ${\displaystyle N=M+1.}$

• 時間誤差サンプル系列の場合、 x _{i は}連続時間関数x ( t )のi番目のサンプルを表し、次のように 表される。

  ${\displaystyle x_{i}=x(iT),}$

  ここで、Tは測定間隔です。アラン分散の場合、Tは観測時間τに設定されます。

  時間誤差サンプル系列において、Nは系列内のサンプル数 ( x ₀ ... x _{N −1 ) を表します。従来の慣例では、インデックス 1 から}Nを使用します。
• 平均分数頻度サンプル系列の場合、平均連続分数頻度関数y ( t )のi^番目のサンプルは次のように 表されます。${\displaystyle {\bar {y}}_{i}}$

  ${\displaystyle {\bar {y}}_{i}={\bar {y}}(Ti,\tau ),}$

  これにより

  ${\displaystyle {\bar {y}}_{i}={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }y(iT+t_{v})\,dt_{v}={\frac {x(iT+\tau )-x(iT)}{\tau }}.}$

  アラン分散の仮定Tがτの場合、次のようになる。

  ${\displaystyle {\bar {y}}_{i}={\frac {x_{i+1}-x_{i}}{\tau }}.}$

  平均分数周波数サンプル系列では、M は系列内のサンプル数 ( ) を表します。従来の表記法では、1 からMまでのインデックスが使用されます。簡略化のため、平均分数周波数は平均バーを付さずに表記されることがよくあります。しかし、分数周波数と平均分数周波数は異なる関数であるため、これは正式には誤りです。デッドタイムなしで周波数推定値を生成できる測定機器は、実際には周波数平均時系列を生成します。これを平均分数周波数に変換するだけで、そのまま使用できます。${\displaystyle {\bar {y}}_{0}\ldots {\bar {y}}_{M-1}}$
• 測定間の時間はTで表され、これは観測時間τとデッドタイムの​​合計です。

固定τ推定値

最初の簡単な推定法は、定義を直接次のように翻訳することです。

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau ,M)=\operatorname {AVAR} (\tau ,M)={\frac {1}{2(M-1)}}\sum _{i=0}^{M-2}({\bar {y}}_{i+1}-{\bar {y}}_{i})^{2},}$

または時系列の場合:

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau ,N)=\operatorname {AVAR} (\tau ,N)={\frac {1}{2\tau ^{2}(N-2)}}\sum _{i=0}^{N-3}(x_{i+2}-2x_{i+1}+x_{i})^{2}.}$

ただし、これらの式はτ = τ ₀の場合の計算のみを提供します。異なるτの値を計算するには、新しい時系列を用意する必要があります。

重複しない変数τ推定値

時系列からn − 1個のサンプルを飛ばすと、隣接するサンプル間の時間をτ ₀ とする新しい（より短い）時系列が生成され、これに対するアラン分散は単純な推定量で計算できる。これらの推定量を修正して新しい変数nを導入すれば、新たな時系列を生成する必要がなくなり、元の時系列を様々なnの値に対して再利用できるようになる。推定量は以下のようになる。

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(n\tau _{0},M)=\operatorname {AVAR} (n\tau _{0},M)={\frac {1}{2{\frac {M-1}{n}}}}\sum _{i=0}^{{\frac {M-1}{n}}-1}\left({\bar {y}}_{ni+n}-{\bar {y}}_{ni}\right)^{2}}$

と、 ${\displaystyle n\leq {\frac {M-1}{2}}}$

時系列については次のようになります。

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(n\tau _{0},N)=\operatorname {AVAR} (n\tau _{0},N)={\frac {1}{2n^{2}\tau _{0}^{2}\left({\frac {N-1}{n}}-1\right)}}\sum _{i=0}^{{\frac {N-1}{n}}-2}\left(x_{ni+2n}-2x_{ni+n}+x_{ni}\right)^{2}}$

と。 ${\displaystyle n\leq {\frac {N-1}{2}}}$

これらの推定値には、利用可能なサンプルの 1/ nのみが使用されるため、大量のサンプル データが失われるという重大な欠点があります。

重複変数τ推定値

^{JJ Snyder [ 8 ]}が提案した手法は、測定値を元の系列からn個の重複系列に重ね合わせることで、より改良されたツールを提供した。重複アラン分散推定量は、Howe、Allan、Barnes ^{[ 9 ]}によって導入された。これは、処理前にn個のサンプルのブロックで時間サンプルまたは正規化周波数サンプルを平均化することと同等であることが示される。結果として得られる予測値は以下のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{y}^{2}(n\tau _{0},M)&=\operatorname {AVAR} (n\tau _{0},M)={\frac {1}{2n^{2}(M-2n+1)}}\sum _{j=0}^{M-2n}\left(\sum _{i=j}^{j+n-1}y_{i+n}-y_{i}\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {1}{2(M-2n+1)}}\sum _{j=0}^{M-2n}\left({\bar {y}}_{j+n}-{\bar {y}}_{j}\right)^{2},\end{aligned}}}$

または時系列の場合:

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(n\tau _{0},N)=\operatorname {AVAR} (n\tau _{0},N)={\frac {1}{2n^{2}\tau _{0}^{2}(N-2n)}}\sum _{i=0}^{N-2n-1}(x_{i+2n}-2x_{i+n}+x_{i})^{2}.}$

nが増加し、時系列の長さが中程度の場合、重複推定量は非重複推定量よりもはるかに優れた性能を示します。重複推定量は、電気通信の適格性評価に必要な比較測定のためのIEEE ^{[ 5 ]} 、 ITU-T ^{[ 10 ]}、およびETSI ^{[ 11 ]}標準において、推奨されるアラン分散推定量として認められています。

修正アラン分散

従来のアラン分散推定器では白色位相変調とフリッカー位相変調を分離できないという問題に対処するため、アルゴリズムフィルタリングによって帯域幅をnだけ削減します。このフィルタリングにより定義と推定器が変更され、修正アラン分散と呼ばれる別の分散クラスとして識別されます。修正アラン分散は、アラン分散と同様に周波数安定性の指標です。

時間安定性推定器

時間安定性（σ _x）の統計的指標は、しばしば時間偏差（TDEV）と呼ばれ、修正アラン偏差（MDEV）から計算できます。MDEVは白色光とフリッカー位相変調（PM）を識別できるため、TDEVは元のアラン偏差ではなくMDEVに基づいています。以下は、修正アラン分散に基づく時間分散の推定値です。

${\displaystyle \sigma _{x}^{2}(\tau )={\frac {\tau ^{2}}{3}}{\bmod {\sigma }}_{y}^{2}(\tau ),}$

同様に、修正アラン偏差から時間偏差までも同様です。

${\displaystyle \sigma _{x}(\tau )={\frac {\tau }{\sqrt {3}}}{\bmod {\sigma }}_{y}(\tau ).}$

TDEV は、時定数τ =  τ ₀の白色 PM の標準的な偏差と等しくなるように正規化されます。統計的尺度間の正規化スケール係数を理解するために、関連する統計規則を以下に示します。独立したランダム変数XとYの場合、和または差 ( z = x − y ) の分散 (σ _z ² )は、それらの分散の二乗和です (σ _z ² = σ _x ² + σ _y ² )。ランダム変数の 2 つの独立したサンプルの和または差 ( y = x _{2 τ} − x _τ ) の分散は、ランダム変数の分散の 2 倍です (σ _y ² = 2σ _x ² )。MDEV は、分散 (σ _x ^{2 ) を持つ独立した位相測定値 (} x )の 2 番目の差です。計算は二重差分であり、3 つの独立した位相測定 ( x _{2 τ} − 2 x _τ + x ) を必要とするため、修正アラン分散 (MVAR) は位相測定の分散の 3 倍になります。

その他の推定値

さらなる発展により、同じ安定性指標である周波数の分散／偏差に対する推定法が改良されましたが、これらはアダマール分散、修正アダマール分散、全分散、修正全分散、テオ分散など、それぞれ異なる名称で知られています。これらの手法は、統計をより適切に利用することで信頼限界を改善したり、線形周波数ドリフトを処理できる点で際立っています。

信頼区間と同等の自由度

統計的推定量は、使用される標本系列に基づいて推定値を算出します。推定値は真の値から逸脱する可能性があり、ある確率で真の値を含む値の範囲は信頼区間と呼ばれます。信頼区間は、標本系列内の観測値の数、主要なノイズの種類、および使用される推定量によって異なります。また、その幅は、信頼区間の値が有界範囲を形成する統計的確実性、つまり真の値がその値の範囲内にあるという統計的確実性にも依存します。変数τ推定量の場合、τ _{0 の}倍数nも変数となります。

信頼区間

信頼区間は、標本分散の分布を用いて自由度dfを持つカイ2乗分布で確立することができる：^{[ 5 ] [ 9 ]}

${\displaystyle \chi ^{2}={\frac {{\text{df}}\,s^{2}}{\sigma ^{2}}},}$

ここで、s ²は推定値の標本分散、σ ²は真の分散値、df は推定値の自由度、χ ^{2 は自由度 df を持つ}χ ²の逆累積密度分布に基づいて計算されます 。確率曲線上の 5% から 95% の範囲をカバーする 90% の確率の場合、上限と下限は次の不等式で求められます。

${\displaystyle \chi ^{2}(0.05)\leq {\frac {{\text{df}}\,s^{2}}{\sigma ^{2}}}\leq \chi ^{2}(0.95),}$

これを真の分散に再配置すると、

${\displaystyle {\frac {{\text{df}}\,s^{2}}{\chi ^{2}(0.95)}}\leq \sigma ^{2}\leq {\frac {{\text{df}}\,s^{2}}{\chi ^{2}(0.05)}}.}$

有効自由度

自由度は、推定に寄与する自由変数の数を表します。推定量とノイズの種類によって、実効的な自由度は異なります。N（サンプル点の総数）とn（τ 0 の整数倍）に依存する推定量の式は、経験的に次_のように求められています。^{[ 9 ]}

アラン分散の自由度

ノイズの種類	自由度
白色位相変調（WPM）	${\displaystyle {\text{df}}\cong {\frac {(N+1)(N-2n)}{2(N-n)}}}$
フリッカー位相変調（FPM）	${\displaystyle {\text{df}}\cong \exp \left[\left(\ln {\frac {N-1}{2n}}\ln {\frac {(2n+1)(N-1)}{4}}\right)^{-1/2}\right]}$
白色周波数変調（WFM）	${\displaystyle {\text{df}}\cong \left[{\frac {3(N-1)}{2n}}-{\frac {2(N-2)}{N}}\right]{\frac {4n^{2}}{4n^{2}+5}}}$
フリッカー周波数変調（FFM）	${\displaystyle {\text{df}}\cong {\begin{cases}{\frac {2(N-2)}{2.3N-4.9}}&n=1\\{\frac {5N^{2}}{4n(N+3n)}}&n\geq 2\end{cases}}}$
ランダムウォーク周波数変調（RWFM）	${\displaystyle {\text{df}}\cong {\frac {N-2}{n}}{\frac {(N-1)^{2}-3n(N-1)+4n^{2}}{(N-3)^{2}}}}$

べき乗則ノイズ

アラン分散は、様々なべき乗則ノイズの種類を異なる方法で扱うため、ノイズを識別し、その強度を推定するのに便利です。慣例的に、測定システム幅（高コーナー周波数）はf _Hと表記されます。

アラン分散べき乗応答

べき乗則ノイズ型	位相ノイズ勾配	周波数ノイズ勾配	べき乗係数	位相ノイズ ${\displaystyle S_{x}(f)}$	アラン分散 ${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )}$	アラン偏差 ${\displaystyle \sigma _{y}(\tau )}$
白色位相変調（WPM）	${\displaystyle f^{0}=1}$	${\displaystyle f^{2}}$	${\displaystyle h_{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{2}}}h_{2}}$	${\displaystyle {\frac {3f_{H}}{4\pi ^{2}\tau ^{2}}}h_{2}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3f_{H}}}{2\pi \tau }}{\sqrt {h_{2}}}}$
フリッカー位相変調（FPM）	${\displaystyle f^{-1}}$	${\displaystyle f^{1}=f}$	${\displaystyle h_{1}}$	${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{2}f}}h_{1}}$	${\displaystyle {\frac {3[\gamma +\ln(2\pi f_{H}\tau )]-\ln 2}{4\pi ^{2}\tau ^{2}}}h_{1}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3[\gamma +\ln(2\pi f_{H}\tau )]-\ln 2}}{2\pi \tau }}{\sqrt {h_{1}}}}$
白色周波数変調（WFM）	${\displaystyle f^{-2}}$	${\displaystyle f^{0}=1}$	${\displaystyle h_{0}}$	${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{2}f^{2}}}h_{0}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\tau }}h_{0}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\tau }}}{\sqrt {h_{0}}}}$
フリッカー周波数変調（FFM）	${\displaystyle f^{-3}}$	${\displaystyle f^{-1}}$	${\displaystyle h_{-1}}$	${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{2}f^{3}}}h_{-1}}$	${\displaystyle 2\ln(2)h_{-1}}$	${\displaystyle {\sqrt {2\ln(2)}}{\sqrt {h_{-1}}}}$
ランダムウォーク周波数変調（RWFM）	${\displaystyle f^{-4}}$	${\displaystyle f^{-2}}$	${\displaystyle h_{-2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{2}f^{4}}}h_{-2}}$	${\displaystyle {\frac {2\pi ^{2}\tau }{3}}h_{-2}}$	${\displaystyle {\frac {\pi {\sqrt {2\tau }}}{\sqrt {3}}}{\sqrt {h_{-2}}}}$

^{[ 12 ] [ 13 ]}および現代の形式で見られるように。^{[ 14 ] [ 15 ]}

アラン分散はWPMとFPMを区別できませんが、他のべき乗則ノイズの種類を分離することができます。WPMとFPMを区別するには、修正アラン分散を使用する必要があります。

上記の式は、

${\displaystyle \tau \gg {\frac {1}{2\pi f_{H}}},}$

したがって、観測時間の 帯域幅は機器の帯域幅よりもはるかに低くなります。この条件が満たされない場合、すべてのノイズ形態は機器の帯域幅に依存します。

α - μマッピング

位相変調の詳細なマッピングは次のようになる。

${\displaystyle S_{x}(f)={\frac {1}{4\pi ^{2}}}h_{\alpha }f^{\alpha -2}={\frac {1}{4\pi ^{2}}}h_{\alpha }f^{\beta },}$

どこ

${\displaystyle \beta \equiv \alpha -2,}$

または周波数変調の形式

${\displaystyle S_{y}(f)=h_{\alpha }f^{\alpha }}$

形式のアラン分散に

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )=K_{\alpha }h_{\alpha }\tau ^{\mu }}$

αとμの間のマッピングを与えることで、大幅に簡素化できる。便宜上、αとKα_の間のマッピングも示されている： ^{[ 5 ]}

アラン分散α – μマッピング

α	β	μ	Kα​
−2	−4	1	${\displaystyle {\frac {2\pi ^{2}}{3}}}$
−1	−3	0	${\displaystyle 2\ln 2}$
0	−2	−1	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$
1	−1	−2	${\displaystyle {\frac {3[\gamma +\ln(2\pi f_{H}\tau )]-\ln 2}{4\pi ^{2}}}}$
2	0	−2	${\displaystyle {\frac {3f_{H}}{4\pi ^{2}}}}$

位相ノイズからの一般的な変換

^{rad 2} /Hz単位のスペクトル位相ノイズを持つ信号は、^{[ 15 ]}によってアラン分散に変換できる。${\displaystyle S_{\varphi }}$

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )={\frac {2}{\nu _{0}^{2}}}\int _{0}^{f_{b}}S_{\varphi }(f){\frac {\sin ^{4}(\pi \tau f)}{(\pi \tau )^{2}}}\,df.}$

線形応答

アラン分散はノイズの形態を区別するために用いられるものですが、時間に対する線形応答のすべてではなく、一部の応答に依存します。これらは表に示されています。

アラン分散線形応答

線形効果	時間応答	周波数応答	アラン分散	アラン偏差
位相オフセット	${\displaystyle x_{0}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
周波数オフセット	${\displaystyle y_{0}t}$	${\displaystyle y_{0}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
直線ドリフト	${\displaystyle {\frac {Dt^{2}}{2}}}$	${\displaystyle Dt}$	${\displaystyle {\frac {D^{2}\tau ^{2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {D\tau }{\sqrt {2}}}}$

したがって、線形ドリフトは出力結果に影響を与える。実際のシステムを測定する際には、アラン分散を計算する前に、線形ドリフトやその他のドリフトメカニズムを推定し、時系列から除去する必要があるかもしれない。^{[ 14 ]}

時間と周波数のフィルタ特性

アラン分散とその関連特性を分析する際には、正規化周波数におけるフィルタ特性を考慮することが有用であることが証明されている。まず、アラン分散の定義から始める。

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )={\frac {1}{2}}\left\langle \left({\bar {y}}_{i+1}-{\bar {y}}_{i}\right)^{2}\right\rangle ,}$

どこ

${\displaystyle {\bar {y}}_{i}={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }y(i\tau +t)\,dt.}$

時系列をフーリエ変換したものに置き換えると、アラン分散は周波数領域で次のように 表すことができます。${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle S_{y}(f)}$

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )=\int _{0}^{\infty }S_{y}(f){\frac {2\sin ^{4}\pi \tau f}{(\pi \tau f)^{2}}}\,df.}$

したがって、アラン分散の伝達関数は

${\displaystyle \left\vert H_{A}(f)\right\vert ^{2}={\frac {2\sin ^{4}\pi \tau f}{(\pi \tau f)^{2}}}.}$

バイアス関数

Mサンプル分散と、定義された特別なケースであるアラン分散は、サンプル数Mの違いやTとτの関係の違いに応じて系統的なバイアスを生じます。これらのバイアスに対処するために、バイアス関数B ₁とB ₂が定義されており^{[ 16 ]} 、異なるM値とT値間の変換が可能です。

これらのバイアス関数は、MT _{0にわたって}M個のサンプルをMτ ₀観測時間に連結し、デッドタイムを測定終了時ではなくM個の測定ブロック間に分散させることで生じるバイアスを処理するには不十分である。このため、 B ₃バイアスが必要となる。^{[ 17 ]}

バイアス関数は特定のμ値に対して評価されるため、ノイズ識別法を用いて決定された支配的なノイズ形態に対してα-μマッピングを行う必要がある。あるいは、^{[ 4 ] [ 16 ]}バイアス関数を用いて測定結果から支配的なノイズ形態のμ値を推定することもできる。

B ₁バイアス関数

B1バイアス関数は、測定間隔Tと各測定の時間τを一定に保ちながら、Mサンプル分散と2サンプル分散を関連付ける。これは[ ₁₆ ]で次^のように定義 される。

${\displaystyle B_{1}(N,r,\mu )={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(N,T,\tau )\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,T,\tau )\right\rangle }},}$

どこ

${\displaystyle r={\frac {T}{\tau }}.}$

バイアス関数は分析後に

${\displaystyle B_{1}(N,r,\mu )={\frac {1+\sum _{n=1}^{N-1}{\frac {N-n}{N(N-1)}}\left[2(rn)^{\mu +2}-(rn+1)^{\mu +2}-|rn-1|^{\mu +2}\right]}{1+{\frac {1}{2}}\left[2r^{\mu +2}-(r+1)^{\mu +2}-|r-1|^{\mu +2}\right]}}.}$

B ₂バイアス関数

B ₂バイアス関数は、サンプル数N = 2、観測時間τを一定として、サンプル時間Tにおける2サンプル分散と2サンプル分散（アラン分散）を関連付ける。これは[ 16 ]で^次のように 定義される。

${\displaystyle B_{2}(r,\mu )={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,T,\tau )\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau ,\tau )\right\rangle }},}$

どこ

${\displaystyle r={\frac {T}{\tau }}.}$

バイアス関数は分析後に

${\displaystyle B_{2}(r,\mu )={\frac {1+{\frac {1}{2}}\left[2r^{\mu +2}-(r+1)^{\mu +2}-|r-1|^{\mu +2}\right]}{2\left(1-2^{\mu }\right)}}.}$

B ₃バイアス機能

B _{3バイアス関数は}、サンプル時間MT ₀と観測時間Mτ ₀の2サンプル分散と2サンプル分散（アラン分散）を関連付け、次のように 定義される^{[ 17 ]。}

${\displaystyle B_{3}(N,M,r,\mu )={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(N,M,T,\tau )\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(N,T,\tau )\right\rangle }},}$

どこ

${\displaystyle T=MT_{0},}$

${\displaystyle \tau =M\tau _{0}.}$

B _{3バイアス関数は}、観測時間τ ₀と観測間の時間T ₀のデッドタイム測定に基づいて、重複しない変数 τ 推定値と重複する変数τ推定値を通常のデッドタイム推定 値に調整するのに役立ちます。

解析後のバイアス関数は次のようになる（N  = 2の場合）

${\displaystyle B_{3}(2,M,r,\mu )={\frac {2M+MF(Mr)-\sum _{n=1}^{M-1}(M-n)\left[2F(nr)-F{\big (}(M+n)r{\big )}+F{\big (}(M-n)r{\big )}\right]}{M^{\mu +2}[F(r)+2]}},}$

どこ

${\displaystyle F(A)=2A^{\mu +2}-(A+1)^{\mu +2}-|A-1|^{\mu +2}.}$

τバイアス関数

正式には定式化されていないものの、 α - μ写像の結果として間接的に推論されている。異なるτに対する2つのアラン分散尺度を比較する場合、同じμ係数の形で同じ支配的ノイズを仮定すると、バイアスは次のように定義できる。

${\displaystyle B_{\tau }(\tau _{1},\tau _{2},\mu )={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau _{2},\tau _{2})\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau _{1},\tau _{1})\right\rangle }}.}$

バイアス関数は分析後に

${\displaystyle B_{\tau }(\tau _{1},\tau _{2},\mu )=\left({\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}\right)^{\mu }.}$

値間の変換

ある測定セットから別の測定セットに変換するには、 B ₁、B ₂、およびτバイアス関数を組み合わせることができます。まず、B ₁関数は ( N ₁、 T ₁、 τ ₁ ) の値を (2、 T ₁、 τ ₁ ) に変換し、これをB ₂関数で (2、 τ ₁、 τ _{1 ) の値に変換します。つまり、} τ ₁におけるアラン分散です。アラン分散の尺度は、τバイアス関数を使用してτ _1からτ ₂に変換できます。さらに、 B _{2を使用して (2、} T ₂、 τ ₂ ) に変換し、最後にB ₁を使用して( N ₂、 T ₂、 τ ₂ ) 分散に変換します。完全な変換は次のようになります。

${\displaystyle \left\langle \sigma _{y}^{2}(N_{2},T_{2},\tau _{2})\right\rangle =\left({\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}\right)^{\mu }\left[{\frac {B_{1}(N_{2},r_{2},\mu )B_{2}(r_{2},\mu )}{B_{1}(N_{1},r_{1},\mu )B_{2}(r_{1},\mu )}}\right]\left\langle \sigma _{y}^{2}(N_{1},T_{1},\tau _{1})\right\rangle ,}$

どこ

${\displaystyle r_{1}={\frac {T_{1}}{r_{1}}},}$

${\displaystyle r_{2}={\frac {T_{2}}{r_{2}}}.}$

同様に、 Mセクションを使用した連結測定の場合、論理拡張は次のようになります。

${\displaystyle \left\langle \sigma _{y}^{2}(N_{2},M_{2},T_{2},\tau _{2})\right\rangle =\left({\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}\right)^{\mu }\left[{\frac {B_{3}(N_{2},M_{2},r_{2},\mu )B_{1}(N_{2},r_{2},\mu )B_{2}(r_{2},\mu )}{B_{3}(N_{1},M_{1},r_{1},\mu )B_{1}(N_{1},r_{1},\mu )B_{2}(r_{1},\mu )}}\right]\left\langle \sigma _{y}^{2}(N_{1},M_{1},T_{1},\tau _{1})\right\rangle .}$

測定の問題

アラン分散またはアラン偏差を計算するための測定を行う際に、いくつかの問題によって測定値が劣化する可能性があります。ここでは、結果に偏りが生じる可能性のある、アラン分散に特有の影響について説明します。

測定帯域幅の制限

シャノン・ハートレーの定理で説明されているように、計測システムはナイキスト周波数以下の帯域幅を持つことが期待されます。べき乗法則のノイズ式からわかるように、ホワイトノイズとフリッカーノイズの変調はどちらも上限コーナー周波数に依存します（これらのシステムはローパスフィルタのみでフィルタリングされていると仮定します）。周波数フィルタの特性を考慮すると、低周波ノイズが結果に大きな影響を与えることが明確にわかります。比較的平坦な位相変調ノイズタイプ（WPMやFPMなど）の場合、フィルタリングは重要ですが、傾斜の大きいノイズタイプの場合、上限周波数はそれほど重要ではなくなります。これは、計測システムの帯域幅が次のように 広いと仮定した場合です。${\displaystyle f_{H}}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau \gg {\frac {1}{2\pi f_{H}}}.}$

この仮定が満たされない場合は、実効帯域幅を測定値とともに記載する必要があります。関心のある方は、NBS TN394を参照してください。^{[ 12 ]}${\displaystyle f_{H}}$

しかし、推定器の帯域幅をサンプル時間の整数倍で調整すれば、システム帯域幅への影響は無視できるレベルまで低減できます。通信分野では、測定結果の比較可能性を確保し、ベンダーが異なる実装を行う自由度を確保するために、このような手法が求められています。TDEV測定については、 ITU-T勧告G.813 ^{[ 18 ]が規定しています。}${\displaystyle n\tau _{0}}$

検出されたノイズの大部分が測定システムの帯域幅の通過帯域内に収まるように、 最初の倍数は無視することをお勧めします。${\displaystyle \tau _{0}}$

アラン分散のさらなる開発により、ハードウェア帯域幅をソフトウェアで削減することが可能になりました。このソフトウェア帯域幅の開発により、残留ノイズへの対処が可能になり、この手法は現在、修正アラン分散と呼ばれています。この帯域幅削減手法は、平滑化フィルタの帯域幅も変更する 修正アラン分散の拡張版と混同しないでください。

測定におけるデッドタイム

時間と周波数の多くの測定機器には、アーミング時間、タイムベース時間、処理時間という段階があり、その後でアーミングを再トリガーする場合があります。アーミング時間は、アーミングがトリガーされた時間から、開始チャネルで開始イベントが発生するまでです。タイムベースにより、停止チャネルのイベントを停止イベントとして受け入れるまでの時間が最小限に抑えられます。開始イベントと停止イベント間のイベント数と経過時間は、処理時間中に記録され、表示されます。処理が発生すると (ドウェル時間とも呼ばれます)、通常、機器は別の測定を行うことができません。処理が発生した後、連続モードの機器はアーム回路を再びトリガーします。停止イベントと次の開始イベント間の時間はデッドタイムとなり、その間は信号が観測されません。このようなデッドタイムによって体系的な測定バイアスが生じるため、適切な結果を得るためには補正する必要があります。このような測定システムでは、時間Tは隣接する開始イベント (つまり測定) 間の時間を示し、時間ベースの長さ、つまり測定の開始イベントと停止イベント間の公称長さを示します。 ${\displaystyle \tau }$

計測におけるデッドタイムの​​影響は、得られる結果に大きく影響するため、その特性を適切に定量化するための研究が数多く行われてきました。ゼロデッドタイムカウンタの導入により、この分析は不要になりました。ゼロデッドタイムカウンタは、ある計測の停止イベントが、次のイベントの開始イベントとしても使用されるという特性を持っています。このようなカウンタは、イベントとタイムスタンプのペアを、時間軸で区切られたチャネルごとに1つずつ、一連​​のデータとして生成します。このような計測は、時系列解析の順序付けにも有用であることが証明されています。

デッドタイムを伴う測定は、バイアス関数B ₁、B ₂、B ₃を用いて補正できます。したがって、デッドタイム自体はアラン分散の測定を妨げるものではありませんが、より問題を生じさせます。デッドタイムは既知である必要があり、これによりサンプル間の時間Tを確立できます。

測定長さとサンプルの有効利用

サンプル シリーズの長さNが信頼区間に与える影響と、変数τパラメーターnの影響を調べると、支配的なノイズ形式 (そのτの場合) のNとnの組み合わせによっては有効自由度が小さくなる可能性があるため、信頼区間が非常に大きくなる可能性があります。

その結果、推定値が実際の値よりもはるかに小さくなったり大きくなったりする可能性があり、結果について誤った結論に至る可能性があります。

次のことが推奨されます:

• 信頼区間はデータとともにプロットされ、プロットの読者は値の統計的不確実性を知ることができます。
• サンプルシーケンスの長さ（つまり、サンプル数N ）は、対象のτ範囲にわたって信頼区間が小さくなるように、可能な限り長く保つ必要があります。
• より優れた自由度値を提供する推定量は、アラン分散推定量の代替として、あるいはアラン分散推定量よりも優れた性能を示す場合には補完として用いることができます。その中でも、全分散推定量とテオ分散推定量は検討すべきです。
• τ ₀乗数nによって掃引されるτの範囲は、 Nに相対的な上限に制限されるため、プロットの読者は、非常に不安定な推定値によって混乱することはありません。

支配的なノイズの種類

多数の変換定数、バイアス補正、および信頼区間は、支配的なノイズの種類に依存します。適切な解釈のためには、ノイズ識別を通じて、特定のτにおける支配的なノイズの種類を特定する必要があります。支配的なノイズの種類を特定できない場合、バイアスのかかった値が生成されます。これらのバイアスの中には、数桁にも及ぶものがあり、大きな意味を持つ可能性があります。

直線ドリフト

信号に対する系統的影響は部分的にしか除去されません。位相と周波数のオフセットは除去されますが、線形ドリフトやその他の高次多項式位相曲線は除去されず、測定限界を形成します。曲線フィッティングと系統的オフセットの除去が考えられます。多くの場合、線形ドリフトの除去だけで十分です。アダマール分散などの線形ドリフト推定値も使用できます。線形ドリフトの除去は、モーメントベースの推定値を用いて行うことができます。

測定機器推定値のバイアス

従来の計測器では​​、単一のイベントまたはイベントのペアしか測定できませんでした。JJ Snyder ^{[ 8 ]}による重複測定の改良統計ツールの導入により、周波数表示の分解能が大幅に向上し、従来の数字/時間ベースのバランスが崩れました。このような方法は本来の目的には役立ちますが、アラン分散の計算にこのような平滑化された測定値を使用すると、高解像度であるという誤った印象を与えてしまいます^{[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ]。}ただし、τが長くなると、その効果は徐々に排除され、測定値の低いτ領域では値が偏ります。この偏りにより、本来よりも低い値が提供されるため、過度に楽観的な偏り（低い数値が望ましいと仮定）となり、測定の有用性は向上するどころか低下します。このようなスマート アルゴリズムは通常、タイムスタンプ モードを使用して無効にするか、回避することができます。タイムスタンプ モードは、使用可能な場合は非常に推奨されます。

実用的な測定

アラン分散の測定にはいくつかのアプローチが考えられますが、簡単な例で測定の実行方法を説明します。

測定

アラン分散の測定は、実質的に2つの異なるクロックの比較となります。基準クロックと被試験デバイス（DUT）を考えてみましょう。どちらも公称周波数10MHzです。タイムインターバルカウンタは、基準クロック（チャネルA）の立ち上がりエッジと被試験デバイスの立ち上がりエッジ間の時間を測定し、その時間差を測定します。

等間隔の測定を実現するために、基準クロックを分周して測定レートを形成し、タイムインターバルカウンタ（ARM入力）をトリガーします。このレートは1Hz（基準クロックの1PPS出力を使用）に設定できますが、10Hzや100Hzなどの他のレートも使用できます。タイムインターバルカウンタが測定を完了し、結果を出力し、次のARMに備えるまでの速度によって、トリガー周波数が制限されます。

コンピュータは、観測される一連の時間差を記録するのに役立ちます。

後処理

記録された時系列データは、位相のラップをアンラップするための後処理を必要とし、連続的な位相誤差が提供されます。必要に応じて、ロギングと測定ミスも修正する必要があります。ドリフトの推定と除去を行う必要があり、ドリフトのメカニズムを特定し、発生源について理解する必要があります。測定におけるドリフトの制限は厳しい場合があるため、発振器を安定させるには、十分な時間電源を投入する必要があります。

アラン分散は、与えられた推定値を用いて計算できます。実用上は、非重複推定値よりもデータ利用効率に優れているため、重複推定値を用いるべきです。バイアス補正を適用することでアラン分散と整合する結果が得られるのであれば、全分散推定値やテオ分散推定値などの他の推定値も使用できます。

古典的なプロットを形成するには、アラン偏差（アラン分散の平方根）を観測間隔 τに対して log-log 形式でプロットします。

機器とソフトウェア

タイムインターバルカウンタは、通常、市販の既製品を使用します。制限要因としては、シングルショット分解能、トリガージッタ、測定速度、基準クロックの安定性などが挙げられます。コンピュータによるデータ収集と後処理は、既存の市販ソフトウェアまたはパブリックドメインソフトウェアを用いて行うことができます。測定と計算をワンボックスで実現する高度なソリューションも存在します。

研究の歴史

周波数安定性の分野は長年研究されてきました。しかし、1960年代には、一貫した定義が欠如していることが判明しました。 1964年11月に開催されたNASA- IEEE短期安定性シンポジウム^{[ 22 ]}の結果を受けて、1966年2月にIEEE周波数安定性に関する特別号が発行されました。

NASA-IEEEシンポジウムでは、短期および長期安定性に関する様々な分野と用途が一堂に会し、多くの異なる研究者による論文が発表されました。論文とパネルディスカッションでは、周波数フリッカーノイズの存在と、短期および長期安定性の共通定義の確立への要望について意見が一致しました。

^{David Allan [ 4 ]} 、 James A. Barnes ^{[ 23 ]} 、 LS CutlerとCL Searle ^{[ 2 ]}、D.B. Leeson ^{[ 3 ]}などの重要な論文がIEEE Proceedings on Frequency Stabilityに掲載され、この分野の形成に貢献しました。

David Allanの論文は、Mサンプルの周波数分散を古典的に解析し、測定間のデッドタイムの​​問題と初期バイアス関数を取り上げている^{[ 4 ]} 。Allanの初期バイアス関数はデッドタイムを仮定していないものの、彼の公式にはデッドタイムの​​計算が含まれている。彼の論文は、M個の周波数サンプル（論文ではNと表記）と分散推定値の場合を解析している。この論文は、現在では標準的なα-μマッピングを提供しており、明らかに同号のJames Barnesの研究^{[ 23 ]}に基づいている。

2標本分散のケースは、頻度微分の平均を生成するM標本分散の特殊なケースです。Allanは暗黙的に2標本分散を基本ケースとして用いています。これは、任意のMに対して、2標本分散を介してM標本分散に値を転送できるためです。ツールが提供されていたとしても、2標本分散が優先されることは明確に述べられていません。しかしながら、この記事は、2標本分散を他のM標本分散と比較する方法として用いるための基礎を築きました。

ジェームズ・バーンズはバイアス関数に関する研究を大きく発展させ、^{[ 16 ]}現代的なB ₁およびB ₂バイアス関数を導入した。バーンズは、アランの論文「原子周波数標準の統計」を参照しながら、M標本分散を「アラン分散」と呼んでいる。 ^{[ 4 ]}これらの現代的なバイアス関数を用いることで、 2標本分散を介した変換によって、様々なM、T、τ値のM標本分散指標間の完全な変換が可能となった。

ジェームズ・バーンズとデイビッド・アランは、連結サンプル推定値のバイアスを扱うために、バイアス関数をB ₃関数^{[ 17 ]}でさらに拡張しました。これは、間にデッドタイムを伴う連結サンプル観測という新しい用途に対応するために必要でした。

1970年、IEEE計測計測グループ内の周波数と時間に関するIEEE技術委員会は、この分野の概要をNBS技​​術通知394として発表した。^{[ 12 ]}この論文は、エンジニアがこの分野を理解するのに役立つ、より教育的かつ実践的な一連の論文の最初のものであった。この論文では、 T = τの2標本分散を推奨し、これをアラン分散（現在は引用符なし）と呼んでいる。このようなパラメータ化を選択すると、いくつかのノイズ形式を適切に処理し、比較可能な測定値を得ることができる。これは、バイアス関数B ₁およびB ₂の助けを借りれば、本質的に最小公分母となる。

JJ Snyderは、頻度カウンタの標本統計量を用いた、頻度または分散推定の改良法を提案した。^{[ 8 ]}利用可能なデータセットからより効果的な自由度を得るには、観測期間を重複させることが重要である。これは√nの改善をもたらし、重複アラン分散推定量に組み込まれた。^{[ 9 ]}可変τソフトウェア処理も組み込まれた。^{[ 9 ]}この開発により、古典的なアラン分散推定量が改良され、同様に修正アラン分散推定量に関する研究に直接的な影響を与えた。

ハウ、アラン、バーンズは信頼区間、自由度、確立された推定値の分析を提示した。^{[ 9 ]}

教育および実践リソース

時間と周波数、そしてアラン分散、アラン偏差などの利用に関する分野は、多くの側面を含む分野であり、概念の理解だけでなく、実際の測定と後処理にも注意と理解が必要です。そのため、約40年分の教育資料が利用可能です。これらの資料はそれぞれの時代の研究の発展を反映しているため、時間の経過とともに異なる側面の指導に重点を置いています。そのため、利用可能な資料を調査することは、適切な資料を見つけるための適切な方法となるかもしれません。

最初の有意義な要約は、NBS技術ノート394「周波数安定性の特性評価」である^{[ 12 ]} 。これは、IEEE計測・測定グループの周波数と時間に関する技術委員会の成果である。この分野の概要を初めて示し、問題点を指摘し、基本的な定義を定義し、アラン分散、バイアス関数B ₁およびB ₂、時間領域測定値の変換について解説している。これは、5つの基本的なノイズタイプについてアラン分散を表にした最初の参考文献の一つであるため、有用である。

古典的な参考文献としては、 1974年のNBSモノグラフ140 ^{[ 24 ]があり、その第8章には「時間と周波数データ分析の統計」が掲載されている。 [ 25 ]}これはNBS技術ノート394の拡張版であり、測定技術と値の実用的な処理に本質的な内容が追加されている。

重要な追加事項として、「信号源と測定方法の特性」^{[ 9 ]}が挙げられます。データの有効活用、信頼区間、有効自由度、そして重複アラン分散推定量についても解説されています。これらのトピックについて学ぶ上で、本書は非常に推奨される一冊です。

IEEE規格1139「基本周波数および時間計測のための物理量の標準定義」^{[ 5 ]}は、規格の枠を超えた包括的な参考資料および教育リソースです。

電気通信分野を対象とした最近の書籍としては、ステファノ・ブレニ著『デジタル電気通信ネットワークの同期』^{[ 14 ]}があります。本書は、電気通信分野のみならず、ブレニがそれまでにこの分野で行ってきた研究の多くを要約しています。本書は、古典的な指標とMTIEのような電気通信特有の指標の両方を網羅することを目指しています。電気通信規格に関連する測定方法を検討する際に、本書は便利な参考書となります。

^{WJ Riley著[ 15 ]}のNIST特別出版物1065「周波数安定性解析ハンドブック」は、この分野を追求するすべての人にとって推奨される一冊です。豊富な参考文献に加え、現代の分析者が活用すべき幅広い指標、バイアス、関連関数を網羅しています。さらに、現代のツールに必要な全体的な処理についても解説しています。

用途

アラン分散は、水晶発振器、原子時計、周波数安定化レーザーなど、様々な高精度発振器において、1秒以上の周期における周波数安定性の指標として用いられます。短期安定性（1秒未満）は通常、位相雑音として表されます。アラン分散は、光ファイバージャイロスコープ、半球形共振器ジャイロスコープ、MEMSジャイロスコープ、加速度計などのジャイロスコープのバイアス安定性を評価するためにも用いられます。^{[ 26 ] [ 27 ]}

50周年

2016年、IEEE-UFFCは「アラン・バリアンス（1966-2016）50周年記念特別号」を刊行する予定です。^{[ 28 ]}この号のゲスト編集者は、デイビッドのNISTでの元同僚であり、最近IIラビ賞を受賞したジュダ・レヴィン氏です。

参照

• 分散
• 半分散
• バリオグラム
• 計測学
• ネットワークタイムプロトコル
• 高精度時間プロトコル
• 同期

参考文献

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外部リンク

• UFFC周波数制御教育リソース
• NIST出版物検索ツール
• David W. AllanによるAllan Varianceの概要
• デビッド・W・アランの公式ウェブサイト
• JPL出版物 – ノイズ解析と統計
• ウィリアム・ライリーの出版物
• Stable32、周波数安定性解析ソフトウェア、William Riley 著
• ステファノ・ブレニの出版物
• エンリコ・ルビオラの出版物
• Allanvar: Allan分散を用いたセンサー誤差特性評価のためのRパッケージ
• レポートツールを備えたAlavar Windowsソフトウェア。フリーウェア
• AllanTools はアラン分散のためのオープンソース Python ライブラリです。
• MATLAB AVARオープンソース MATLAB アプリケーション