アルムグレン同型定理は、リーマン多様体における 平坦サイクルの空間の位相に関する、幾何学的測度論と代数位相における結果です。
この定理は、位相的に非自明なサイクル族の存在を確立するものであり、アルムグレン・ピッツのミニマックス理論において基本的な役割を果たしている。この定理は、フレデリック・J・アルムグレン・ジュニア、ジョン・T・ピッツらによって、あらゆるリーマン多様体における（おそらく特異な）極小部分多様体の存在を証明するために用いられた。閉リーマン多様体上の、係数を法とするヌルホモロガスな余次元1サイクルの特別な場合において、アルムグレン同型定理は、それが無限実射影空間と弱ホモトピー同値であることを意味する。[1]
定理の記述
M をリーマン多様体とする。アルムグレン同型定理は、M の平坦k 次元サイクルの空間のm 次ホモトピー群が、M の(m+k) 次元ホモロジー群に同型であることを主張する。この結果は、 Dold–Thom 定理の一般化であり、Almgren の (1962a (版 PhD 論文)、[2] 、 1962b (版 Topology (Elsevier) [3] ) [4]定理の k=0 の場合と考えることができる。同型は次のように定義される。G をアーベル群とし、群 G に係数を持つ平坦サイクルの空間を表す。各サイクル族に、次のように (m+k)-サイクル C を関連付ける。 の細かい三角形分割Tを固定する。T の 0-スケルトンの各頂点 v に、サイクル f(v) を関連付ける。T の 1-スケルトンの各辺 E に、 ∂E=vw において、(k+1)-鎖を最小質量の境界 f(v)-f(w) に関連付ける。この方法は、T の骨格上の帰納法によって進める。T の m 次元面に対応するすべての鎖の和が、目的の (m+k)-閉路 C となる。三角形分割と最小質量充填の選択は一意ではないが、いずれも同じホモロジー類の (m+k)-閉路となる。[5]
参考文献
さらに読む
- アルムグレン、フレデリック・ジャスティン (1962a).積分サイクル群のホモトピー群（学位論文）. OCLC 22016723.
- アルムグレン、フレデリック・ジャスティン (1962b). 「積分サイクル群のホモトピー群」.トポロジー. 1 (4): 257– 299. doi :10.1016/0040-9383(62)90016-2.
- フリードランダー, エリック・M.; ローソン, H. ブレイン (2009). 「グラフ写像とポアンカレ双対性」. Mathematische Annalen . 343 (2): 431– 461. doi :10.1007/s00208-008-0278-4. S2CID 8779502.
- A. Neves、「ミニマックス理論の新たな応用」、国際数学会議論文集、(2014)、939-957
- マルケス, フェルナンド C.; ネヴェス, アンドレ (2013). 「アルムグレン・ピッツのミニマックス理論の応用」. Current Developments in Mathematics . 2013 : 1–71 . doi : 10.4310/CDM.2013.v2013.n1.a1 .
- リマ＝フィリョ、パウロ (1993). 「一般化サイクル写像について」. Journal of Differential Geometry . 38. doi : 10.4310/jdg/1214454096 .
- ホワイト、ブライアン（1997）「FJアルムグレン・ジュニアの数学」（PDF）、アメリカ数学会誌、44（11）：1451–1456、ISSN 0002-9920、MR 1488574、Zbl 0908.01017
外部リンク
- 李、襄陽（2019）。 「Almgren-Pitts min-max に関するヤンヤン・リーのメモ」(PDF)。S2CID 221792677。
