ほぼ接触する多様体

微分幾何学という数学の分野において、概接触構造（おおむねちかんせいぞくせい）とは、滑らかな多様体上のある種の幾何学的構造であり、接触元構造（必ずしも接触構造とは限らない）と概複素構造とを組み合わせることで得られる。これらは、概複素多様体の奇数次元版と考えることができる。

これらは1959年にジョン・グレイによって導入されました。^[1] 佐々木繁雄は1960年にこれらを研究するために佐々木多様体を導入しました。^[2]

意味

滑らかな多様体 が与えられたとき、ほぼ接触構造は超平面分布、上のほぼ複素構造、を横切るベクトル場の３つ組である。つまり、の各点に対して、接触元（つまり、接空間の余次元が1の線形部分空間）、その上の線形複素構造（つまり、となる線形関数）、およびに含まれないの元を選択する。通常どおり、選択は滑らかでなければならない。^[3]${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (Q,J,\xi )}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Q_{p}}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle J_{p}:Q_{p}\to Q_{p}}$ ${\displaystyle J_{p}\circ J_{p}=-\operatorname {id} _{Q_{p}}}$ ${\displaystyle \xi _{p}}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle Q_{p}}$

同様に、ほぼ接触構造を 3 つの として定義することもできます。ここでは 上のベクトル場、は上の1-形式、は上の(1,1)-テンソル場であり、これらは次の 2 つの条件を満たします。または、より詳しくは、任意のおよび任意の に対して、 ${\displaystyle (\xi ,\eta ,\phi )}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle \phi ^{2}=-\mathrm {id} +\eta \otimes \xi ,\quad \eta (\xi )=1.}$$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle v\in T_{p}M}$

• ${\displaystyle \eta _{p}(v)\xi _{p}=\phi _{p}\circ \phi _{p}(v)+v}$
• ${\displaystyle \eta _{p}(\xi _{p})=1}$

横方向ベクトル場の選択は滑らかであるため、その場は接触要素の分布の共方向になります。 ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle Q}$

より抽象的に言えば、構造群を から に縮約することによって得られるG 構造として定義できます。 ${\displaystyle GL(2n+1)}$ ${\displaystyle U(n)\times 1}$

等価

一方向では、 が与えられている場合、 の各について線型写像とによる線型写像を定義でき、 の直和分解を基準に分解することにより、 の任意の について であることが直接確認できます。 ${\displaystyle (\xi ,J,Q)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \eta _{p}:T_{p}M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \phi _{p}:T_{p}M\to T_{p}M}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\eta _{p}(u)&=0{\text{ if }}u\in Q_{p}\\\eta _{p}(\xi _{p})&=1\\\phi _{p}(u)&=J_{p}(u){\text{ if }}u\in Q_{p}\\\phi _{p}(\xi )&=0.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle T_{p}M=Q_{p}\oplus \left\{k\xi _{p}:k\in \mathbb {R} \right\}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\eta _{p}(v)\xi _{p}&=\phi _{p}\circ \phi _{p}(v)+v\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle T_{p}M}$

別の方向では、 が与えられている場合、 を線型写像 の核として定義することができ、への制約が において値を持つことを確認して を定義することができます。 ${\displaystyle (\xi ,\eta ,\phi )}$ ${\displaystyle Q_{p}}$ ${\displaystyle \eta _{p}}$ ${\displaystyle \phi _{p}}$ ${\displaystyle Q_{p}}$ ${\displaystyle Q_{p}}$ ${\displaystyle J_{p}}$

プロパティ

-多様体上のほぼ接触構造が与えられたとき、次式が成り立つ: ^{[3] : 定理4.1}${\displaystyle (2n+1)}$

• ${\displaystyle \phi \xi =0}$
• ${\displaystyle \eta \circ \phi =0}$
• ${\displaystyle \phi }$ ランクは2nです。

他の多様体との関係

メトリック

先に定義した を備えたほぼ接触多様体が与えられている場合、これにリーマン計量を追加することができる。計量がほぼ接触構造と適合するとは、計量が計量適合条件を満たす場合のみである。このような多様体はほぼ接触計量多様体と呼ばれる。^[3]${\displaystyle (Q,J,\xi ,\eta ,\phi )}$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle g(\phi X,\phi Y)=g(X,Y)-\eta (X)\eta (Y)\quad {\text{ for all }}X,Y\in \Gamma (TM).}$$

基本2形式を で定義します。すると は歪対称となり となります。 ${\textstyle \Phi }$ ${\textstyle \Phi (X,Y)=g(X,\phi Y)}$ ${\textstyle \Phi }$ ${\textstyle \eta (X)=g(X,\xi )}$

適合計量は簡単に見つけられます。つまり、それらは厳密な ではありません。適合計量を構築するには、任意の計量 を取り、 とします。これは適合計量です。文献で使用されている特殊なケースは次のとおりです。 ${\textstyle k^{\prime }}$ ${\textstyle k(X,Y)=k^{\prime }\left(\phi ^{2}X,\phi ^{2}Y\right)+\eta (X)\eta (Y)}$ $${\displaystyle g(X,Y)={\frac {1}{2}}(k(X,Y)+k(\phi X,\phi Y)+\eta (X)\eta (Y))}$$

• 接触計量多様体:さらに、および。${\textstyle \eta \wedge (d\eta )^{n}\neq 0}$ ${\textstyle d\eta =2\Phi }$
• 佐々木多様体: 正規性条件を備えた接触計量多様体。${\textstyle N_{\phi }+2d\eta \otimes \xi =0}$
• ほぼコケーラー多様体: およびとほぼ接触計量(正規性は仮定されない)。${\textstyle d\eta =0}$ ${\textstyle d\Phi =0}$

分類

これらは群の表現理論によって4096のクラスに完全に分類されている。^[4]

を -多様体上のほぼ接触計量構造とし、 とする。各点において とみなす。 に対して、は直交、既約、-不変な部分空間に分割される。 ほぼ接触計量多様体は、すべての に対して であるとき、クラスである。したがって、クラス が存在する。${\textstyle (\phi ,\xi ,\eta ,g)}$ ${\textstyle (2n+1)}$ ${\textstyle \Phi (X,Y)=g(X,\phi Y)}$ $${\displaystyle T:=\nabla \Phi \in C(V)\subset \otimes ^{3}T^{*}M,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}C(V)=\{a\mid a(X,Y,Z)&=-a(X,Z,Y),\\a(X,\phi Y,\phi Z)&=-a(X,Y,Z)+\eta (Y)a(X,\xi ,Z)+\eta (Z)a(X,Y,\xi )\}\end{aligned}}}$$ ${\textstyle n>2}$ ${\textstyle U(n)\times 1}$ $${\displaystyle C(V)=C_{1}\oplus C_{2}\oplus \cdots \oplus C_{12}.}$$ ${\textstyle U\subset \bigoplus _{i=1}^{12}C_{i}}$ ${\textstyle T_{x}\in U}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle 2^{12}}$

このような多様体は、次のように分類できます。 を計算し、それを 12 個に投影し(論文の表 III の式を使用)、コンポーネントがゼロでないクラスを識別します。 ${\textstyle \nabla \Phi }$ ${\textstyle C_{i}}$ ${\textstyle C_{i}}$

文献に記載されている具体的な事例:

• コシンプレクティック: .${\textstyle U=\{0\}(d\eta =0,d\Phi =0,\nabla \Phi =0)}$
• ほぼ-コシンプレクティック: 。${\textstyle K}$ ${\textstyle U=C_{1}}$
• ほぼ共シンプレクティック：。${\textstyle U=C_{2}\oplus C_{9}}$
• ${\textstyle \alpha }$ -監物：。${\textstyle U=C_{5}}$
• ${\textstyle \alpha }$ -ササキアン：。${\textstyle U=C_{6}}$
• トランスササキアン。${\textstyle (\alpha ,\beta ):U=C_{5}\oplus C_{6}}$
• 準ササキアン: .${\textstyle U=C_{6}\oplus C_{7}}$

例

次元の滑らかな多様体上のコシンプレクティック構造は、ほぼ接触構造を誘導する。^[5]具体的には、コシンプレクティック構造とは、 が閉1次元形式、 が閉2次元形式、そしてすべての点で となる組である。コシンプレクティック構造を生成する一つの方法は、多様体をシンプレクティック多様体に葉理化し、各多様体上のシンプレクティック構造を とし、葉理化を通る接平面に平行になるように設定することである。^[6]${\displaystyle 2n+1}$ ${\displaystyle (\eta ,\omega )}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \eta \wedge \omega ^{n}\neq 0}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \ker \eta }$

コシンプレクティック構造を構築するもう一つの一般的な方法は、時間依存ハミルトン力学を用いる方法です。位相空間を とします。位相空間における系の軌跡は における経路です。 を位相空間上の標準座標とし、時間とともに変化することが許されます。すると、 は多様体 上のほぼ接触構造を提供します。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times M}$ ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle \theta :=\sum _{i}p_{i}dq_{i},\;\omega :=d\theta ,\;\eta :=dt}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times M}$

ほぼ接触計量構造の構築: ^{[5] : 定理3.3}

• ${\textstyle Q=\operatorname {ker} \eta }$ （順位分布）。${\textstyle 2n}$
• および によるレーブ場（ により一意に決まる）。${\textstyle \xi }$ ${\textstyle \eta (\xi )=1}$ ${\textstyle \iota _{\xi }\omega =0}$ ${\textstyle \eta \wedge \omega ^{n}\neq 0}$
• はシンプレクティックなので、と整合するの向きを選びます。次に、上で-両立する任意の概複素構造を選びます。詳しくは、は 上でを満たし、は正定値双線型形式であり、 である必要があります。 ${\textstyle \left.\omega \right|_{Q}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \omega ^{n}}$ ${\textstyle J}$ ${\textstyle Q}$ ${\textstyle \omega }$ ${\textstyle J^{2}=-\mathrm {id} }$ ${\textstyle Q}$ ${\textstyle \omega (\cdot ,J\cdot )}$ ${\textstyle \omega (J\cdot ,J\cdot )=\omega }$
  • 明示的に、がシンプレティック形式 を持つ場合、 はその上で -互換複素形式になります。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq_{i}}$ ${\displaystyle (q,p)\mapsto (-p,q)}$ ${\textstyle \omega }$
• 設定して。${\textstyle \left.\phi \right|_{Q}=J}$ ${\textstyle \phi (\xi )=0}$

これを示すには、のすべてにおいて となることに注意してください。したがって はほぼ接触構造です。 $${\displaystyle \eta (\xi )=1,\quad \eta \circ \phi =0,\left.\quad \phi ^{2}\right|_{Q}=J^{2}=-\mathrm {id} _{Q},\quad \phi ^{2}(\xi )=0.}$$ ${\textstyle \phi ^{2}=-\mathrm {id} +\eta \otimes \xi }$ ${\textstyle TM}$ ${\textstyle (\xi ,\eta ,\phi )}$

参考文献

1. グレイ、ジョン・W. (1959). 「接触構造の大域的性質」 . Annals of Mathematics . 69 (2): 421– 450. doi :10.2307/1970192. ISSN  0003-486X.
2. 佐々木茂雄 (1960). 「概接触構造と密接な関係にある構造を持つ微分可能多様体について I」.東北数学ジャーナル. 2. 12 (3): 459– 476. doi : 10.2748/tmj/1178244407 .
3. Blair, David E. (2010). 「4. 関連する計量」. 接触多様体とシンプレクティック多様体のリーマン幾何学. Progress in Mathematics. Vol. 203 (第2版). ボストン, MA: Birkhäuser. p. 343. doi :10.1007/978-0-8176-4959-3. ISBN 978-0-8176-4958-6。
4. チニア、D.;ゴンザレス、C. (1990-12-01)。 「ほぼ接触計量多様体の分類」。Annali di Matematica Pura ed Applicata。156 (1): 15–36 .土井:10.1007/BF01766972。ISSN  1618-1891。
5. Cappelletti-Montano, Beniamino; De Nicola, Antonio; Yudin, Ivan (2013年11月). 「コシンプレクティック幾何学の概説」. Reviews in Mathematical Physics . 25 (10): 1343002. arXiv : 1305.3704 . Bibcode :2013RvMaP..2543002C. doi :10.1142/S0129055X13430022. hdl :10316/47481. ISSN  0129-055X.
6. Blair, David E. (2010). 「6. ササキアン多様体とコシンプレクティック多様体」. 接触多様体とシンプレクティック多様体のリーマン幾何学. Progress in Mathematics. Vol. 203 (第2版). ボストン, MA: Birkhäuser. p. 343. doi :10.1007/978-0-8176-4959-3. ISBN 978-0-8176-4958-6。

• ブレア、デイビッド・E. (2010). 接触多様体とシンプレクティック多様体のリーマン幾何学. 数学の進歩. 第203巻（第2版）. ボストン、マサチューセッツ州: バークハウザー. p. 343. doi :10.1007/978-0-8176-4959-3. ISBN 978-0-8176-4958-6。
• 佐々木茂雄 (1960). 「概接触構造と密接に関連する特定の構造を持つ微分可能多様体について I」.東北数学ジャーナル. 12 (3): 459– 476. doi : 10.2748/tmj/1178244407 .