ほぼ素な集合

数学では、2つの集合の交差が何らかの意味で小さい場合、それらの集合はほぼ互いに素で ある^{[ 1 ] [ 2 ]。}「小さい」の定義が異なれば、「ほぼ互いに素」の定義も異なる。

意味

最も一般的な選択は、「小さい」を有限であるという意味にとることです。この場合、2つの集合の交差が有限であれば、それらの集合はほぼ素です。つまり、

${\displaystyle \left|A\cap B\right|<\infty .}$

（ここで、「| X |」はXの基数を表し、「< ∞」は「有限」を意味します。）例えば、閉区間[0, 1] と [1, 2] は、それらの交差が有限集合 {1} であるため、ほぼ互いに素です。しかし、単位区間[0, 1] と有理数集合Qは、それらの交差が無限であるため、ほぼ互いに素ではありません。

この定義は、任意の集合の集合に拡張されます。集合の集合は、その集合内の任意の2つの異なる集合がほぼ素である場合、対ごとにほぼ素、または相互にほぼ素であるとされます。接頭辞「対ごとに」は省略され、対ごとにほぼ素な集合は単に「ほぼ素」と呼ばれます。

形式的には、Iを添字集合とし、Iに含まれる各iに対し、A _iを集合とする。すると、集合の集合{ A _i  : i in I }は、 Iに含まれる任意のiとj に対して、ほぼ素である。

${\displaystyle A_{i}\neq A_{j}\quad \implies \quad \left|A_{i}\cap A_{j}\right|<\infty .}$

例えば、R ²における原点を通るすべての直線の集合は、それらの任意の2本が原点でのみ交わるため、ほぼ素である。{ A _i } が複数の集合からなるほぼ素の集合である場合、その共通集合は明らかに有限である。

${\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i}$

しかし、逆は真ではない。コレクションの交差は

${\displaystyle \{\{1,2,3,\ldots \},\{2,3,4,\ldots \},\{3,4,5,\ldots \},\ldots \}}$

は空ですが、コレクションはほぼ分離しているわけではありません。実際、このコレクション内の 任意の 2 つの異なるセットの交差は無限です。

自然数の集合上の最大ほぼ分離した族（一般にMAD族と呼ばれる）の可能な基数は、熱心な研究の対象となってきた。^{[ 3 ] [ 2 ]}このような基数の最小無限は、連続体の古典的な基数特性の1つである。^{[ 4 ] [ 5 ]}${\displaystyle \omega }$

その他の意味

「ほぼ素」は、他の意味、あるいは測度論や位相圏の意味で使われることもあります。「ほぼ素」の別の定義として、よく使われるものをいくつか挙げます（無限集合にも同様の定義が適用されます）。

• κを任意の基数とする。2つの集合AとBは、その共通部分の基数がκより小さいとき、すなわち

${\displaystyle \left|A\cap B\right|<\kappa .}$

κ = 1 の場合は単純に分離集合の定義である。

${\displaystyle \kappa =\アレフ _{0}}$

これは、 AとBの交差が有限である場合の、上記で示したほぼ分離の定義に相当します。

• m を測度空間X上の完備測度とする。Xの二つの部分集合AとBは、それらの共通部分が空集合であるとき、ほぼ互いに素である。すなわち、

${\displaystyle m(A\cap B)=0.}$

• X を位相空間とする。Xの二つの部分集合AとB は、それらの交差がXにおいて単純であるとき、ほぼ互いに素である。

参考文献

1. Kunen, K. (1980)、「集合論：独立性証明入門」、ノースホランド、47ページ
2. Jech, R. (2006)「集合論（第三千年紀版、改訂・拡張版）」Springer、p. 118
3. Eric van Douwen . 整数と位相幾何学. K. KunenとJE Vaughan編『集合論的位相幾何学ハンドブック』. 北ホラント州アムステルダム, 1984年.
4. Vaughan, Jerry E. (1990). 「第11章 小さな非可算基数と位相幾何学」. van Mill, Jan; Reed, George M. (編). Open Problems in Topology (PDF) . アムステルダム: North-Holland Publishing Company . pp.  196–218 . ISBN 0-444-88768-7。
5. アンドレアス、ブラス(2010 年 1 月 12 日)。 「第 6 章: 連続体の組み合わせ基本特性」。フォアマン、マシューで;金森章弘（編）集合論ハンドブック(PDF)。 Vol. 1.スプリンガー。ページ 395–490。ISBN​​ 1-4020-4843-2。