交代多項式

代数学において、交代多項式とは、変数のうちの 2 つを入れ替えると多項式の符号が変わる 多項式 です。${\displaystyle f(x_{1},\dots,x_{n})}$

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})=-f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n}).}$

同様に、変数を並べ替えると、多項式の値は並べ替えの符号に応じて変化します。

${\displaystyle f\left(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)}\right)=\mathrm {sgn} (\sigma )f(x_{1},\dots ,x_{n}).}$

より一般的には、多項式がにおいて交代的であるとは、 の任意の2つを入れ替えると多項式の符号が変わり、 は固定であることを意味する。^{[ 1 ]}${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{t})}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle y_{j}}$

対称多項式との関係

対称多項式と交代多項式（同じ変数） の積は次のように動作します。${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$

• 2つの対称多項式の積は対称である。
• 対称多項式と交代多項式の積は交代多項式であり、
• 2 つの交互多項式の積は対称的です。

これはまさに偶奇の加法表であり、「対称」は「偶数」に、「交代」は「奇数」に対応します。したがって、対称多項式と交代多項式の空間の直和は超代数（-次数代数）を形成し、対称多項式は偶数部、交代多項式は奇数部となります。この次数は、次数による多項式の次数とは無関係です。 ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$

特に、交代多項式は対称多項式の代数上のモジュールを形成します（超代数の奇数部分は偶数部分上のモジュールです）。実際、これはn変数のヴァンデルモンド多項式を生成元とする、階数 1 の自由モジュールです。

係数環の特性が 2 の場合、2 つの概念に違いはありません。つまり、交代多項式はまさに対称多項式です。

ヴァンデルモンド多項式

基本的な交代多項式はヴァンデルモンド多項式である。

${\displaystyle v_{n}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}).}$

これは明らかに交代的であり、2つの変数を切り替えると1つの項の符号が変わり、他の項は変化しない。^{[ 2 ]}

交代多項式は、ヴァンデルモンド多項式と対称多項式の積に等しい。ここで対称多項式である。これは以下の理由による。 ${\displaystyle a=v_{n}\cdot s}$ ${\displaystyle s}$

• ${\displaystyle v_{n}}$ はすべての交代多項式の因数である。はすべての交代多項式の因数であり、 の場合、多項式はゼロになる（それらを入れ替えても多項式は変わらないので、${\displaystyle (x_{j}-x_{i})}$ ${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n})=f(x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})=-f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n}),}$

も要因です）、したがっても要因です。${\displaystyle (x_{j}-x_{i})}$ ${\displaystyle v_{n}}$

• 交代多項式と対称多項式を掛け合わせたものは交代多項式である。したがって、のすべての倍数は交代多項式である。${\displaystyle v_{n}}$

逆に、2つの交代多項式の比は対称関数であり、有理関数（必ずしも多項式ではない）となる場合もありますが、交代多項式とヴァンデルモンド多項式の比は多項式です。 シューア多項式は、このように、交代多項式をヴァンデルモンド多項式で割ったものとして定義されます。

環構造

したがって、対称多項式の環を Λ _nで表すと、対称多項式と交代多項式の環は、より正確にはとなります。ここで は対称多項式であり、判別式 はです。 ${\displaystyle \Lambda _{n}[v_{n}]}$ ${\displaystyle \Lambda _{n}[v_{n}]/\langle v_{n}^{2}-\Delta \rangle }$ ${\displaystyle \Delta =v_{n}^{2}}$

つまり、対称多項式環と交代多項式環は、判別式の平方根を付加した対称多項式環の 二次拡張です。

あるいは、次のようになります。

${\displaystyle R[e_{1},\dots ,e_{n},v_{n}]/\langle v_{n}^{2}-\Delta \rangle .}$

2 が逆関数でない場合は状況が多少異なり、異なる多項式を使用しなければならず、異なる関係が得られます。ロマニーを参照してください。 ${\displaystyle W_{n}}$

表現論

表現論の観点から見ると、対称多項式と交代多項式は、n変数の多項式環に対するn文字上の対称群の作用の部分表現です。（正式には、対称群はn文字に作用し、したがって導来対象、特に多項式環のような n文字上の自由対象に作用します。）

対称群には、自明表現と符号表現という2つの1次元表現があります。対称多項式は自明表現であり、交代多項式は符号表現です。正式には、任意の対称（または交代）多項式のスカラースパンは、対称群の自明（または符号）表現であり、多項式を乗算すると、表現はテンソルになります。

特性 2 では、これらは明確に区別できる表現ではなく、分析はより複雑になります。

の場合、対称群の表現論で説明されているように、多項式環への対称群の作用の他の部分表現も存在します。 ${\displaystyle n>2}$

不安定

交代多項式は不安定な現象である。n変数の対称多項式環は、任意の多変数の対称多項式環から、上記のすべての変数を0と評価することによって得られる。したがって、対称多項式は安定、すなわち両立的に定義される。しかし、これは交代多項式、特にヴァンデルモンド多項式には当てはまらない。 ${\displaystyle x_{n}}$

参照

• 対称多項式
• オイラー類

注記

1. ジャンブルーノ & ザイセフ (2005)、p. 12.
2. むしろ、他の項を並べ替えるだけです。 の場合、 と を切り替えるとが に、 がとれますが、符号は変わりません。${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle (x_{2}-x_{1})}$ ${\displaystyle (x_{1}-x_{2})=-(x_{2}-x_{1})}$ ${\displaystyle (x_{3}-x_{1})}$ ${\displaystyle (x_{3}-x_{2})}$

参考文献

• ジャンブルーノ、アントニオ；ザイチェフ、ミハイル（2005年）『多項式恒等式と漸近法』第122巻、アメリカ数学会ISBN 978-0-8218-3829-7。
• 交代関数の基本定理、マチュー・ロマニー著、2005年9月15日